问题模型溯源 命题探究突破

吴春霞

[摘  要] 直角弦是基于曲线与直线位置所构建的特殊弦，实则为直角三角形的斜边，故具有直角三角形的特性. 由于具有圆锥曲线的背景，直角弦模型含有特殊的性质结论，以其为基础的考题较为常见，关注模型特征与命题方式极为重要. 文章对此类问题模型进行溯源，并结合实例探讨突破策略.

[关键词] 圆锥曲线;直角弦;策略;定点;向量积

圆锥曲线中的直角弦是高考数学重要考点，问题形式较为多样，探究学习需要关注试题特点，掌握一般的解题策略，并总结常见的性质结论，形成系统的模型认识，下面深入探究.

[⇩] 溯源及探究

问题：已知直线y=x+b与抛物线y2=2x相交于点A和B，且OA⊥OB（点O为坐标的原点），试求b的值.

解读：本题目是以直线与抛物线相交为背景，构建了相应的垂直关系，根据问题条件可绘制图1所示图像. 图像中有两个特点：一是直线与抛物线有两个交点，二是基于交点A和B构建了垂直关系，OA⊥OB. 从几何视角来看，以交点A和B及原点O为顶点，构建了Rt△AOB.

直角弦定义：直线与曲线相交于点A和B，若存在点P，使得PA⊥PB，则称弦AB为相对于点P的直角弦.

解析：对于上述直角弦问题可以采用联立代入的方法转化求解，过程如下.

联立直线与抛物线的方程，则有y=x+b，y2=2x，整理可得x2-2x+2bx+b2=0，两者有两个交点，则Δ>0，即Δ=4-8b>0. 设交点A（x，y），B（x，y），由韦达定理可得x+x=2-2b，x·x=b2. 又知OA⊥OB，则x·x+ y·y=0，结合直线解析式可化简为2x·x+b（x+x）+b2=0，整理可得b（b+2）=0，可解得b=-2，或b=0（舍去），即b=-2.

探究：对于上述以抛物线为背景的直角弦情形，有如下两点需要关注.

（1）对于Rt△AOB，直角弦AB为三角形的斜边，则点O位于以AB为直径的圆上，故可形成如下结论：若曲线上的点O位于以AB为直径的圆上，则OA⊥OB，AB为直角弦.

（2）上述是关于抛物线y2=2x与直线y=x-2的相交问题，实际上可化为一般形式，即y2=2px和y=x-2p. 对于直线y=x-2p，显然过定点（2p，0），故从中可衍生出如下结论：若直线l与抛物线y2=2px相交于点A和B，则OA⊥OB成立的充要条件为直线l经过点（2p，0）.

[⇩] 命题与破解

圆锥曲线中的直角弦问题常结合向量进行考查，即对于其中的垂直条件PA⊥PB，对应的向量表示为·=0. 结合上述所探究的内容，直角弦的实际考查方式有如下三种：

方式1：几何垂直与向量积、圆过定点的关系，即PA⊥PB⇔以AB为直径的圆过定点P⇔·=0;

方式2：角度的拓展，∠APB为钝角⇔点P在以AB为直径的圆内⇔·<0;

方式3：∠APB为锐角⇔点P在以AB为直径的圆外⇔·>0.

上述考查方式是从几何、向量、圆锥曲线的位置关系视角进行构建，三者之间存在紧密关联，把握三者关系是突破的关键，而在解析时可采用如下两种策略进行分步突破.

策略一：方程联立+韦达定理

第一步，设出直线AB的方程;

第二步，联立直线与曲线方程，整理为关于变量的一元二次方程;

第三步，由韦达定理写出关于根与系数的关系;

第四步，结合向量条件·=0，代入根与系数关系转化问题.

策略二：方程联立+代换求点

第一步，设出直线AB的方程;

第二步，联立直线与曲线方程，整理为关于变量的一元二次方程;

第三步，利用根与系数关系求点A坐标，结合垂直条件代换，推导点B的坐标;

第四步，由两点式求出直线AB的方程，进而探究直线恒过的定点.

上述所呈现的是圆锥曲线直角弦问题的两大解析策略，从其构建思路来看，适用于直角弦中的直线方程求解、恒过定点论证、直线与圆的位置关系问题.

[⇩] 类题深探究

圆锥曲线直角弦的问题形式较为多样，实际求解时要合理运用结论，灵活使用解题策略，充分利用数形结合、设而不求思想来转化求解.

类型一：探索直线中的参数

例1 已知椭圆C：+=1（a>b>0），其左、右焦点分别为F和F，离心率为，点I和J分别为椭圆C的右顶点和上顶点，已知△IOJ边IJ上的中线长为，试回答下列问题.

[⇩] 总结与反思

上述深入探究了圓锥曲线直角弦的结构特征，总结了命题视角及突破策略，并结合实例探讨了解题构建，下面结合教学实践深入反思.

1. 把握模型特征，探索一般结论

上述实则是探索圆锥曲线直角弦模型，关注模型特征、探究问题本质极为重要. 教学中要引导学生关注曲线与直线的相交关系，把握模型的直角特性，从函数与几何视角来综合探究，即模型由直线相交构建，同时含有垂直关系. 同时应注重模型一般结论的探索，可采用知识探究的方式，从“特殊”到“一般”，让学生经历结论的论证过程，形成深刻的数学认知.

2. 把握命题考向，总结解题策略

高考考向是教学探讨的重点，基于考向探索问题模型有利于定位考点. 如上述探究了直角弦问题模型的命题方式，构建了几何、向量、圆锥曲线位置关系三者之间的联系，有利于学生深入理解模型，完善知识体系. 实际教学中建议关注历年考题，结合实例分析命题方式，同时探究知识原理，总结解题策略. 策略总结建议包括以下两点：一是问题的知识背景、方法的知识原理，二是分步突破思路，所涉思想方法等.

3. 把握类题实例，变式拓展探究

通常问题模型在实际考查时有多种构建形式，虽问题结构不同，但知识本质是一致的. 如上述围绕直角弦模型构建了直线参数问题、点与圆的位置关系问题，实际上还包括多类存在性问题. 教学探究建议围绕核心考点进行命题构建，指导学生探索问题破解思路. 必要时可开展变式探究，从模型结论、曲线背景、设问形式、知识关联等视角进行，使学生全面掌握问题模型，拓展解题思维，提升解题灵活性.

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