基于核心素养的高中数学概念课教学设计

陆万顺　陶闺秀

[摘  要] 数列是高中数学学习的重要内容，而数列概念作为学习数列的基础，在教学中起着举足轻重的作用. 学生只有充分掌握了数列概念，才能为学习等差数列、等比数列等知识奠定牢固的基础. 因此，文章以“数列的概念”的教学设计为例，从“对基于核心素养的高中数学概念课教学设计的理解”“教学设计与分析”“小结”三方面，初步探索基于核心素养的高中数学概念课的教学设计，力求可以在高中数学概念课教学中更好地渗透核心素养.

[关键词] 核心素养;概念课;高中数学;教学设计

对基于核心素养的高中数学概念课教学设计的理解

中学数学是由概念、命题经推理组成的逻辑体系，概念、命题和推理是逻辑思维的三大基本形式，其中，概念是逻辑思维的细胞，是反映事物本质属性和特征的思维形式[1]. 数列概念的教学蕴含着许多数学知识和重要的思想方法，是培养学生核心素养的良好素材. 基于核心素养的高中数学概念课教学设计实际上对教师提出了更高的期望，要求教师在教学中除了具有培养学生核心素养的意识外，还要具备挖掘学生核心素养培养的机会和载体的能力，从而将数学核心素养很好地融入教学. 那么，“如何将数学核心素养融入数列概念的教学”是值得教师思索的. 下面以“数列的概念”为例，文章给出了基于核心素养的高中数学概念课的教学设计与分析.

基于核心素养的“数列的概念”的教学设计与分析

1. 教材分析

“数列的概念”是人教版高中数学必修5第二章第一节“数列的概念与简单表示法”的第一课时，主要内容包括数列的定义、数列的项、数列的一般形式、数列的分类、数列与函数的关系、数列的通项公式这六部分. 作为基本概念，数列是一种特殊的函数，是数学的重要研究对象，是研究其他类型函数的基本工具[2]. 作为单元起始课，数列概念的教学有助于学生了解数列的应用、数列的本质，为后期学习等差数列、等比数列奠定牢固的基础.

2. 学情分析

学生在学习本节课之前已经学习了集合、函数等相关知识，对集合及函数的研究方法也有一定的了解，基本可以按照“概念—表示—性质—应用”这一顺序开展数列教学;并且高二学生的心理基本趋于成熟，已经具有了抽象思维的能力及独立思考的意识，这为本节课的顺利开展提供了基础经验和能力.

3. 教学目标

将《普通高中数学课程标准（2017年版）》同教材分析、学情分析相结合，制定了如下教学目标.

（1）理解数列的相关概念并能对数列准确分类. （直观想象、数据分析、数学抽象、逻辑推理）

（2）通过探究数列与函数的关系，了解数列是一种特殊的函数并能体会到数列的项与序号之间的函数关系. （直观想象、逻辑推理、数学建模）

（3）能够根据数列的通项公式列出数列的项，能够根据列出的数列的项归纳出数列的通项公式. （数据分析、直观想象、逻辑推理、数学运算）

（4）通过引入大自然、现实生活等方面的实例，经历数列概念概括这一过程，体会从特殊到一般的数学思想，感受数学的抽象美. （逻辑推理、数学建模）

4. 教学的重难点

教学重点：理解数列的相关概念;知道数列是一种特殊的函数.

教学难点：在函数的观点下理解数列概念，能够根据列出的数列的项归纳出数列的通项公式.

5. 教学方法

为了帮助学生更好地学习数列，让核心素养渗透到数列概念的教学中，笔者将问题驱动、自主探究等教学方法有机地贯穿于教学的各个环节，引导学生在感知的基础上加以抽象概括，充分遵循“（從）感知→（经）表象→（到）概念”这一认知规律. 在教学过程中充分发挥多媒体课件的作用，通过设计“问题串”，引导学生建立新知与旧知的联系，从而发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养.

6. 教学过程

（1）创设情境，引出新知.

师：（例1）观察单元主题图，每朵花的花瓣数依次是——

生：3，5，8，12.

师：（例2）观察下列图形，正方形的个数依次是——

生：1，3，6，10.

师：（例3）观察下列图形，正方形的个数依次是——

生：1，4，9，16.

师：（例4）请写出本班坐在第一排学生的学号组成的一组数.

生：29，13，45，2，14，8，51，34.

师：（例5）请写出无穷多个3构成的一组数.

生：3，3，3，3，….

师：（例6）按照从大到小的顺序写出目前通用的人民币的面额（单位：元）.

生：100，50，20，10，5，1，0.5，0.1.

设计意图：本环节作为本节课的课堂导入，笔者列举了有关大自然、现实生活等方面的实例，让学生在直观感知中抽象出数列的定义，将抽象的概念具体化，激发学生对新知的学习兴趣，进而引出本节课的课题——数列的概念.

（2）引导探索，生成概念.

问题1：观察以上6组数，它们有哪些共同特征？

生：他们都是一组数.

问题2：能随意调换以上5个例子（除例5外）的数的顺序吗？

生：不能.

问题3：我们把具有这样特征的一列数称为数列. 你能总结出数列的定义吗？（小组讨论）

注意：在这个过程中学生基本上能用自己的语言总结出数列的定义，但会存在一些问题，这时需要教师适当地引导与规范.

概念1：按照一定顺序排列的一列数称为数列.

设计意图：通过设计的“问题串”引导学生观察后分析出数列的特点，进而抽象出数列的定义，发展学生的直观想象、数学抽象等核心素养.

问题4：在这个概念中，你认为哪些字眼需要强调？

生：数、顺序.

问题5：回忆以前学过的知识，想一想：除了数列外还有什么知识点也涉及“顺序”？

生：集合.

问题6：数列和集合有什么关系呢？

生：集合讲究无序性、互异性、确定性，数列讲究有序性、可重复性、确定性.

总结：数列与集合既有联系又有区别.

问题7：在集合中，“数”称为什么？

生：元素.

问题8：在数列中，“数”称为什么？

生：项.

概念2：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.

师：排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项.

问题9：观察数列的项的概念，说一说你有什么发现.

生：数列的每一项都和它的序号有关.

一般形式：数列的一般形式可以写成a，a，a，…，a，…，简记为{a}.

师：其中，a称为数列{a}的第1项，a称为数列{a}的第n项. （此处教师要引导学生注意区分a与{a}）

问题10：根据集合的分类，思考如何对数列进行分类.

生：根据元素的个数，集合可以分为有限集、无限集. （推导出数列可以按项数分类）

分类1：按数列的项数可以把数列分为有穷数列和无穷数列.

设计意图：本环节渗透了类比迁移的数学思想，引导学生察觉数列与集合的联系，通过类比集合得到数列的项的概念、数列的第一种分类（分类1），发展学生的直观想象、逻辑推理等核心素养.

（3）聚焦函数，深化概念.

问题11：在一个数列中，知道了项数就能确定对应的项，如果用下面的形式（如图1所示）来表达这一关系，你发现了什么？

生：可以发现数列的项数与数列的项是一一对应的关系（项数“1”对应着a，项数“2”对应着a，项数“3”对应着a……项数“n”对应着a），可以想到函数.

问题12：思考数列与函数有什么关系.（小组讨论）

生：数列是一种特殊的函数.

问题13：既然数列是一种特殊的函数，你能说出数列的定义域、值域吗？

生：数列的定义域是正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}），值域就是数列所有的项组成的集合.

注意：在这一过程中，可能一部分学生只说出了数列的定义域为正整数集但忽略了有限子集{1，2，…，n}，此时教师要及时引导学生完善认知，并同前文给出的5个例子相结合，发现对于有穷数列来说，它的定义域应该是有限的.

结论：数列可以看作一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数a=f（n）当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 反过来，对于函数y=f（x），如果f（i）（i=1，2，3，…，n）有意义，那么我们就得到了一个数列：f（1），f（2），f（3），…，f（n），….

问题14：函数具有单调性，既然数列是一种特殊的函数，那么类比函数的单调性，你认为数列除了按项数分类外还可以如何分类？（分析前文5个例子）

生：可以根据数列的项的大小进行分类，分成递增数列、递减数列、既不是递增也不是递减数列.

分类2：按照数列的项的大小进行分类：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列. （可以引导学生观察前文的例4、例5，直观感知摆动数列、常数列）

问题15：数列的项数与数列的项是一一对应的关系，能否用一个式子来表示出它们的对应关系？

概念3：如果数列{a}的第n项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做数列{a}的通项公式.

设计意图：本环节聚焦函数，主要探讨数列与函数的关系、数列通项公式的概念、数列的第二种分类（分类2），通过自主探究、合作交流等方式使数列的概念得到进一步深化，使学生了解到数列是一种特殊的函数，发展学生直观想象、逻辑推理、数学建模等核心素养.

（4）运用提升，理解感悟.

题1：分别写出下面的数列.

①0～20之间的质数按从小到大的顺序构成的数列.

②0～20之间的合数的正平方根按从小到大的顺序构成的数列.

题2：根据下列数列{a}的通项公式，写出它的前5项.

①a=;②a=（-1）n+1（n2+1）.

题3：观察下面数列的特点，用合适的数填空，并写出各数列的一个通项公式.

①（ ），-4，9，（ ），25，（ ），49;

②1，，（ ），2，，（ ），.

设计意图：本环节，笔者遵循从简到难、循序渐进的原则，设置了3道练习题，让学生从最简单的按要求写出数列，到根据数列的通项公式写出数列的项，再到补充缺少的项后写出通项公式.这一环节充分考虑了每个学生，使学生在练习中发展逻辑推理、数学运算等核心素养.

（5）归纳总结.

问题16：通过本节课的学习，你都有哪些收获？（引导学生从数学知识、思想方法、数学应用三方面进行总结）

设计意图：笔者采用问题驱动的方式，让学生自己进行归纳总结，从而帮助学生梳理课堂学习的主要内容，发展学生归纳概括的能力.

（6）作业布置.

①阅讀32页的“阅读与思考”，思考斐波那契数列的特点.

②根据本节课的学习内容自主进行查漏补缺练习.

设计意图：本环节，笔者设计了多元化的数学作业，主要分为阅读、练习两种，让学生在掌握课堂知识的基础上渗透一些数学文化，使其体会数学的文化价值，发展多种核心素养.

总结

数学概念教学是在教学中向学生讲授数学概念的名称、定义、属性、本质内涵等相关内容的教学活动，是引领学生打开数学知识大门的第一步，可以培养学生的数学核心素养，同时激发学生的数学兴趣、丰富学生的数学文化底蕴、培养学生的优秀品质[3]. 因此，教师在概念教学中应始终坚持发展学生的核心素养，无论是在问题情境的创设上还是在处理新旧知识的联系上都应该处处渗透数学核心素养. 通过对“数列的概念”教学的实践分析，为了更好地落实数学核心素养，总结教学设计如下：

基于核心素养的高中数学概念课教学设计应在教学过程中充分挖掘发展核心素养的机会和载体. 例如，在探究数列定义的过程中，笔者通过设置“问题串”讓学生观察给出的数列实例，进而归纳出数列的定义，发展了学生直观想象、逻辑推理等核心素养;在数列的一般形式、数列的项、数列的通项公式的教学中渗透了逻辑推理、数学运算等核心素养;在数列的分类的教学中发展了学生的逻辑推理、直观想象等核心素养.

基于核心素养的高中数学概念课教学设计应以数学教学的基本规律为基础防止知识的建构过程与核心素养的培养本末倒置. 数学教学要以建构数学知识为基础，如果忽视了这个基础，任何三维目标、任何核心素养的培育都是空话[4].

基于数学核心素养的高中数学概念课教学设计要坚持“以学生为主”的教学原则. 新课改强调“以人为本”的学生观，主张将课堂还给学生，教师在课堂上要给予学生足够自主探究、独立思考的机会和时间，让学生在自主探究、合作交流的过程中发展数学核心素养.

基于数学核心素养的高中数学概念课教学设计要加强渗透数学文化，让学生对概念的产生背景、发展过程有一定的了解，体会数学概念的形成过程并不是一蹴而就的，并且在了解数学历史过程中体会数学家运用的思维方式，有助于提升学生的核心素养.

参考文献：

[1]  蔡海涛，林运来. 核心素养下高中数学概念课教学策略[J]. 数学通报，2019，58（09）：20-25+66.

[2]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]  刘思余，周学勇. 基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析——以初中《函数的概念》的教学为例[J]. 科技风，2021（08）：62-63.

[4]  郭岚. 高中数学“数列”教学中的核心素养培育元素思考[J]. 数学教学通讯，2019（12）：44-45.

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