高中数学人教A版（2019）数学史内容研究

凌铭君　王守峰

[摘  要] 以《普通高中教科书·数学（A版）》为研究对象，对高中数学教材中数学史的运用方式、模块分布进行文本研究，分析了该教材中数学史的使用情况，并针对存在的问题提出了建议.

[关键词] 数学史;高中数学;数学教材

《普通高中数学课程标准（2017版）》[1]中指出：“在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养;将数学文化融入教学，有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于开阔学生视野、提升数学学科核心素养.”此外，许多数学教育家也十分重视挖掘和发挥数学史的教育价值，如汪晓勤[2]、张奠宙[3]等. 由此可见，数学史作为数学文化的一个重要组成部分，在数学教育领域已经引起了广泛关注，其教育价值也为广大数学教育研究者和一线教师所认可.

目前我国已有许多学者对数学史与数学教育进行了研究. 文献[4]研究了如何将数学史融入数学教学;文献[5-8]研究了数学教材中的数学史内容;文献[9]研究了HPM视角下的教学设计;文献[10]研究了HPM与数学教师专业发展. 这些研究发现，现阶段高中数学教材中的数学史内容普遍存在以下问题：首先，数学史知识模块分布不够均匀;其次，数学史栏目分布也不均匀，数学史主要集中在阅读材料;最后，数学史运用方式单一，主要是“附加式”.

《普通高中教科书·数学（A版）》[11][12]是2019年人民教育出版社出版的高中数学教材，目前对于该版本教材的数学史内容的研究较少. 为了了解该版本教材中数学史内容的情况，本文选取《普通高中教科书·数学（A版）》（以下简称新版教材）中的必修部分，采用文本分析法，对数学史融入高中数学教材的现状进行了研究分析.

总体特征

首先，考察数学史内容及分布情况. 统计发现，在新版教材中的必修部分共出现21处数学史内容（具体如表1所示）. 其中，必修一、二教材中出现数学史的次数分别为10次和11次，两本教材中出现数学史的次数相差不大，但是在个别章节中出现数学史料的次数有较大区别.

数学史运用方式特征

对于数学史的运用方式，彭刚等[13]将其分为四种，分别为：附加式、复制式、顺应式和重构式. 需要注意的是以上四种方式并无水平高低之分，具体选择哪一种，取决于要达成的教学目标. “附加式”的主要特點是把数学史作为课堂教学的一个有益补充，讲述与数学有关的历史故事，包括数学家的名言、数学家的图片、数学家发现数学的过程或者数学历史名题等;“复制式”的主要特点是在数学教学中直接呈现历史上的数学问题，让学生直接与历史上的先哲们“对话”，体会原汁原味的数学史;“顺应式”的主要特点是根据课堂教学的需求对原始文献进行改编，古为今用、推陈出新，表面上没有历史的痕迹，但他们既传承了历史的精神，又顺应了时代的要求;“重构式”的主要特点是借鉴数学的发展历史，将核心的数学思想、方法用今天的方式表达出来，呈现出数学知识的自然发生过程，重构历史的这种方式对应发生教学法，让学生体会到数学知识的起源和发展，并获得数学探究的美好体验.

通过统计，得出了新版教材中四种数学史运用方式出现的频次，见表2.

从表2中可以看出，新版教材中数学史的运用方式以附加式为主，复制式、顺应式出现较少，重构式的运用方式则是没有出现. 这表明当前我国教材编写对于数学史融入高中数学教材的重视程度不足，或者是对于数学史融入数学教材的发掘不够充分，未能很好地将数学史的史学形态转化为教育形态.

对不同运用方式的数学史内容进一步分析发现在17处以附加式出现的数学史内容中，处于正文部分的仅有6处，其余的都在课外的阅读材料或文献阅读板块. 这表明，在新版教材中能够直接提供给教师在课堂上使用的数学史料较少. 如果教师希望利用数学史来辅助课堂教学，不仅需要教师自己去查找、收集课外的数学史料，而且需要在此基础上对史料进行加工，使其适用于中学数学的课堂教学. 但是在教学任务等各方面的压力较大的情况下，教师很少能有额外的精力和时间去做这个工作，这也是目前数学史融入高中数学教学面临的困难之一：一线教师缺乏直接可用的数学史料.

数学史知识模块分布特征

对于高中数学教材中的知识模块分布，本文根据《普通高中数学课程标准（2017版）》中对于必修课程的内容划分，从“预备知识”“函数”“几何与代数”“概率与统计”四个模块对其中包含的数学史内容进行统计和分析，见表3.

从表3中可以看出，由于课标的要求和知识模块自身的特点等，四个模块中包含的数学史内容呈现出分布不均匀的特征，其中分布在函数、几何与代数两个模块中数学史内容较多，分布在预备知识、概率和统计两个模块中的数学史内容较少. 下面针对各个知识模块的特点和课标的要求进行分析.

“预备知识”的设置是为了帮助学生完成从初中阶段数学知识相对具体到高中阶段数学知识相对抽象的过渡，是为学习高中数学课程做好心理、方式和知识技能等方面的准备. 一方面课程标准对于这部分内容的要求是为学习高中数学知识做准备，没有提出太多融入数学文化的要求;另一方面因为借助学生熟悉的、实际的问题和情境能够让学生更易于学习和接受，所以这个模块的数学史内容较少.

“函数”是贯穿高中数学课程的主线，不仅内容丰富而且对学生掌握的程度要求较高，为了达到预期的教学目的，需要教师对这一模块的内容有整体的把握，能循序渐进地进行教学. 若想较好地完成该模块的教学，需要将学生熟悉的例子与函数的发展历程相结合，先以熟悉的例子引入，再迁移到函数与现实世界的密切联系，最后辅以函数的发展历程和对人类文明的贡献，达到提升学生的数学素养的目的并增长学生对于数学发展的认识. 所以，新版教材在该主题中设置了许多的数学史内容，既可以让学生在课外阅读了解，也为教师提供了向学生介绍函数发展历程的素材.

“几何与代数”也是高中数学课程的主线之一. 该内容突出几何直观与代数运算之间的融合，通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加深学生对于数学整体性的理解. 课程标准中提出在进行这部分内容的教学时，可以适当地融入数学文化，让学生体会数系扩充中理性思维的作用，还可以组织学生收集、阅读几何学发展的历史资料，结合内容撰写报告，论述几何学发展过程中的重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献. 根据课标的要求，新版教材也在这部分设置了很多数学史内容，不仅运用方式多样，呈现的位置也涵盖了正文和阅读材料. 充分利用该模块的数学史料，不仅能加深学生对知识的理解、技能的掌握，而且能帮助学生形成对该模块的整体认识.

“概率与统计”是用来计算一些具有不确定性的事件某种结果发生概率的一种方法，也是对学生统计思维的有效训练，学习该模块能提升学生数学建模、数据分析、逻辑推理和数学运算等方面的素养. 该主题的学习需要通过日常生活中的实例来帮助学生了解概率的意义，并通过对实际问题的分析，学会使用统计的方法解决实际问题. 课程标准中也强调该模块的教学应借助实例和生活中的典型案例，没有提出贯穿概率与统计发展历程的要求，所以在该模块中的数学史内容较少. 但是该模块在历史上是有丰富且生动的史料的，通过介绍一些与古人有关的逸闻趣事和概率的发展历程既能有效提高学生对学习概率与统计的兴趣，也能让学生感受到数学中的人文情怀.

数学史栏目分布特征

根据新版教材中的栏目分布，本文分为“正文”“例题”“习题”和“阅读材料”四个部分对数学史内容的分布进行研究.

其中正文部分包括前言、探究思考、正文主体、边注;例题即在正文主体中穿插作为案例的题目;习题部分包括“文献阅读与写作”部分的实习作业和章节末尾的课后习题;阅读材料包括章节末尾的“阅读与思考”和“探究与发现”两部分.

通过统计，得出了新版教材中数学史栏目分布的特征，见表4.

从表4中可以看出，正文和阅读材料这两部分中出现的数学史内容较多. 尤其是出现在正文部分的数学史内容较之前版本有显著提高. 但是出现在例题和习题部分的数学史还是较少，且习题部分的数学史都是以学生自行查阅资料与写作为主的开放题型，由于这种题型在高考中不会出现，所以在教学中容易流于形式，不能引起师生的足够重视，其教育功能会大打折扣.

将出现次数最多的“阅读材料”部分中的数学史素材进行细分，可以分为以下四类：（1）数学概念的发展，介绍重要数学概念的产生、发展、完善和应用;（2）思想方法介绍，介绍重大数学思想方法在学科内的运用;（3）数学故事，介绍数学家生平及其重要贡献，以及相关数学趣题;（4）数学与其他，介绍数学在人类生活、生产或者其他领域的应用[6].

将新版教材的阅读材料部分中出现的数学史内容分成以上四类，并统计各类的数量，制成表格，见表5.

从表5可以看出，在新版教材中，属于数学概念的发展的阅读材料有4处，属于思想方法介绍的有2处，属于数学故事的有3处. 新版教材在阅读材料的类型分配上比较均匀，并且都注意在阅读材料中借助史料激发学生的思考，这也体现了高中阶段数学教育不同于义务教育阶段数学教育的特点. 值得注意的是，新版教材的阅读材料中没有“数学与其他”方面的数学史内容，这说明对于数学的应用这一方面的展示，新版教材都是以更贴近学生实际生活经验的方式来呈现的，体现出了新版教材在这方面的偏向，设计十分合理.

结论与建议

首先，数学史按知识模块分布不够均匀的问题依然存在. 例如，在“函数”和“几何与代数”部分设置很多数学史材料，而“概率与统计”部分，却只安排了很少的数学史内容.

其次，数学史栏目分布不均匀的问题也没有解决. 新版教材中的数学史集中在阅读材料部分，但是在实际教学中，由于教学进度和教学效果等各方面的压力，阅读材料很难在课堂教学中被提及和运用，也不能引起师生的过多关注，其应有的教育功能会大打折扣;相反，在正文、例题、习题部分出现的数学史较少，且古算题出现的频次有显著减少，而这两部分的数学史正是师生可以直接利用的教学资源，因为在教师授课、讲解例题以及学生解答习题的过程中，学生头脑中会留下与数学史有关的印象，从培养学生情感、态度和价值观的角度也是有意义的. 建议教材编写更多地关注在正文以及例题、习题中融入数学史.

再次，数学史的运用方式不够多样的问题依然显著. 新版教材中的数学史出现在阅读材料和边注的居多，且大都采用了“附加式”，以这种方式呈现的数学史在实际学习中容易被忽视，不能充分发挥其蕴含的教育价值. 建议教材编写增加“复制式”“顺应式”数学史的融入，这样一方面可以重现知识探索的过程、难点和关键点，也可以增强数学研究在学生学习中的共鸣，提高学生学习数学的自信心;另一方面将数学史料进行巧妙翻译、修改，使其易于为学生理解，从而有效提高学生学习的效率. 此外，还要重视“重构式”数学史的融入. 根据历史发生原理、弗赖登塔尔的“再创造”、理论发生教学法，“重构式”数学史在教学中可以发挥巨大的作用. 而且，在教学实践中，融入教材的“重构式”数学史为一线教师提供了直接可用的数学史料. 这种运用方式对于教师数学史素养的要求不高，可以有效解决教师缺乏直接的数学史料的困难，使得数学史融入数学课堂的程度更高，做到“不提数学史，但用数学史”.

最后，数学史在实际教学中的受重视程度需要提高. 课程标准中明确指出了数学文化应融入数学教学活动，要引导学生了解数学的发展历程. 但是在新版教材中许多数学史内容都安排在阅读材料以及正文边注等教师和学生容易忽略的位置，再加上学校教学进度和教学效果的压力、教师自身对于这部分内容的不重视等因素，数学史在实际教学中发挥的作用可以说微乎其微，自然也无法达到课程标准对数学文化的要求. 要想解决这个问题，一方面需要教材给教师提供足够多的直接可用的数学史料，让教师不费太多精力就能在课堂教学中使用;另一方面也需要教师有意识地提高自己的数学史素养，如果作为教师自身都没有了解数学的发展历程、缺乏数学史的素养，那么如何做到提升学生这方面的素养呢？

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]  汪晓勤. HPM：数学史与数学教育[M]. 北京：科学出版社，2017.

[3]  張奠宙，李士锜，李俊. 数学教育学导论[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[4]  蒲淑萍，汪晓勤. 数学史怎样融入数学教材：以中、法初中数学教材为例[J]. 课程·教材·教法，2012，32（08）：63-68.

[5]  王静. 基于数学史的高中数学教材比较研究[D].华中师范大学，2017.

[6]  李保军，叶雪梅. 文化视野下高中数学教材数学史分布的比较研究[J]. 教学与管理，2014（07）：49-52.

[7]  罗新兵，魏金英，刘阳，恩斯特姆. 高中数学教材中数学史分布的特征和模式研究——以北师大版数学必修教材为例[J]. 数学教育学报，2012，21（01）：30-33.

[8]  苏明海，苟述珍. “华师版”与“湘教版”初中数学教科书数学史内容的比较研究[J]. 数学教学通讯，2020（35）：7-9+54.

[9]  王芳，汪晓勤. HPM视角下“导数几何意义”的教学[J]. 数学教育学报，2012，21（05）：57-60.

[10] 蒲淑萍. HPM与数学教师专业发展[D].华东师范大学，2013.

[11] 章建跃. 普通高中教科书数学必修第一册[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[12] 章建跃. 普通高中教科书数学必修第二册[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[13] 彭刚，汪晓勤，程靖. 数学史融入数学教学：意义与方式[J]. 成都师范学院学报，2016，32（01）：115-120.

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