组合L型变截面梁的自由振动特性分析

牛国华， 王刚锋， 王 剑

(1. 长安大学 工程机械学院， 西安 710064； 2. 长安大学 道路施工技术与装备教育部重点实验室， 西安 710064)

作为工程结构基本构件，梁结构被广泛应用于飞机、车辆等交通运输产品[1-2]。组合梁结构一般由多根梁组成，且在各梁节点处具有连续条件。组合梁的振动问题是工程结构中的基本问题，得到组合梁振动的解析解对于产品设计及动力学分析具有重要的意义。

目前，有很多学者提出了一些组合梁结构振动特性的计算方法。王民等[3]提出了一种组合阶梯梁振动特性的计算方法，并将其方法应用于刀柄装夹铣刀系统的振动特性分析中。张文福等[4]以Timoshenko连续梁模拟索-桁架组合梁结构，利用能量变分法分析了索-桁架组合梁结构的固有振动。罗延忠[5]采用折算系数法建立了组合梁振动的运动微分方程，并分析了组合梁的振动特性。Wang[6]基于欧拉-伯努利梁理论，开发了一种用于求解微分方程得到固有频率的算法，并将其运用与非对称截面组合梁自由振动中。Georgiades 等[7-9]推导了考虑转动惯量影响的结构的线性运动方程，并将其应用于L型梁结构进行非平面运动分析。以上方法在计算效率上已有很大提高，但大多数应用于结构简单、截面形状单一的组合梁中。

此外，也有很多学者提出了一些变截面梁振动特性计算方法。鲍四元等[10]基于谱几何法和Hamilton原理，利用矩阵特征值问题研究了任意边界条件下连续多段梁的振动特性。葛仁余等[11]基于Timoshenko梁理论，利用插值矩阵法计算轴向功能梯度变截面梁的固有频率。王剑等[12]利用导纳综合法与改进的传递矩阵法，计算了存在质量偏心的阶梯梁模型的弯纵耦合振动特性。马一江等[13]基于传递矩阵法，提出了一种计算含多条裂纹变截面简支梁固有频率的方法。刘鹏等[14]基于欧拉-伯努利梁理论，利用样条有限点法计算了截面高宽度沿轴线性变化的变截面梁振动特性。Li[15]提出了一种新的精确方法，并将其应用于具有任意数量裂纹和集中质量的阶梯梁进行自由振动分析。Lee[16]利用基于欧拉-伯努利梁理论和Timoshenko梁理论的Chebyshev-tau方法，对阶梯梁进行自由振动分析。Failla 等[17]提出了一种求解非连续欧拉梁振动特性计算方法，并将其应用于具有内部平移和旋转弹簧的阶梯梁。Mao[18]提出使用ADM分解方法来研究阶梯梁自由振动，并将其应用到求解非均匀梁的振动问题。上述文献针对变截面梁振动特性提出了多种计算方法，但还存在计算效率低、精度差及推导过程繁琐等问题。另外，针对组合型变截面梁的研究还相对较少。

本文针对L型变截面梁的横向自由振动问题，推导了其固有频率及振型函数的求解过程并给出了相应算例。根据相邻梁段的力平衡条件和位移连续条件，建立整个组合梁的特征矩阵，得到解析形式的频率方程。通过求解频率方程即可得到L型变截面梁横向振动的固有频率，进一步求得振型函数。通过给出具体算例并与有限元结果对比，验证了本文方法的有效性。

1 L型梁自由振动的计算方法

1.1 梁的横向振动微分方程

基于欧拉-伯努利梁理论，各段梁长度为Li，水平梁段数为m，总段数为n的梁，自由振动的运动微分方程为

i=1,2,…，n

(1)

式中：y(x,t)为梁的横向振动挠度函数；Ei为第i段梁的弹性模量；Ii为第i段梁的截面惯性矩；ρiAi为第i段梁的的线密度。L型变截面梁模型如图1所示。

图1 L型变截面梁模型

由于梁每段的EiIi和ρiAi为常数，式(1)可表示为

i=1,2,…，n

(2)

使用分离变量法，式(2)的通解为

y(x,t)=φ(x)T(t)

(3)

其中

T(t)=e-iωt

(4)

式中，ω为横向振动的固有圆频率。

φ(x)为梁横向振动的模态振型函数，可表示为

φ(x)=C1sinβx+C2cosβx+C3sinhβx+

C4coshβx

(5)

将第i段梁的模态振型函数写成

(6)

1.2 边界条件

L型变截面梁两端的边界条件分别为一端固定一端自由。固定端位移和转角为零，可得到方程组

(7)

自由端弯矩和剪力为零，可得到方程组

(8)

式中：y′,y″,y′″表示对位移求一阶、二阶、三阶偏导。

1.3 平衡和连续条件

L型梁的变截面处存在力平衡和位移连续条件，对于横梁及竖梁，相邻两段梁连续处左侧截面与右侧截面的位移、转角、弯矩、剪力均相等，可以得到矩阵

(9)

对于连接横梁与竖梁处的直角连接点，平衡及连续条件如图2所示。

图2 直角连接点处的平衡及连续条件

由图2所示的直角连接点处的连续条件，可得位移及转角关系如下

(10)

由图2所示的直角连接点处的平衡条件，可得弯矩及剪力关系如下

(11)

综上可得到直角连接点处的平衡及连续条件如下

(12)

1.4 固有频率及振型函数的求解

结合边界条件和连续条件，构造特征矩阵H

(13)

矩阵H的各元素表达式如下推导。

由边界条件式(7)、(8)可得

h11=h13=h22=h24=1

h3,4n-3=-cosβnLn，h3,4n-2=-sinβnLn

h3,4n-1=coshβnLn，h3,4n=sinhβnLn

由平衡及连续条件式(9)可得

h4i+1,4i-3=cosβiLi，h4i+1,4i-2=sinβiLi

h4i+1,4i-1=coshβiLi，h4i+1,4i=sinhβiLi

h4i+2,4i-3=-βisinβiLi，h4i+2,4i-2=βicosβiLi

h4i+2,4i-1=βisinhβiLi，h4i+2,4i=βicoshβiLi

h4i+1,4i+1=h4i+1,4i+3=-1，h4i+2,4i+2=h4i+2,4i+4=-βi+1

其中，i=1,2,…,m-1,m+1,m+2,…,n-1。

由直角连接处的平衡及连续条件式(12)可得

h4m+2,4m-3=-βmsinβmLm，h4m+2,4m-2=βmcosβmLm

h4m+2,4m-1=βmsinhβmLm，h4m+2,4m=βicoshβmLm

h4m+1,4m+1=h4m+1,4m+3=1，h4m+2,4m+2=h4m+2,4m+4=-βm+1

其余元素皆为0。

特征矩阵H满足

Hψ=0

(14)

其中

(15)

为位移系数向量。为了求解系统的固有频率，上式需有非零解，即矩阵H的行列式必须为零。通过令特征矩阵H的特征值为零，可以求解出固有圆频率ω。将固有圆频率ω代回特征矩阵并求解方程组，可以得到第1段～第n段的振型函数的待定系数，最终得到各段梁的模态振型函数。

2 算例分析与验证

2.1 梁的主要参数

将表1中组合L型变截面梁的参数代入第一章所提出的公式及特征矩阵中，定义扫描初始频率及终止频率，使用MATLAB软件扫描出组合梁的前10阶固有频率，再将固有频率代回特征矩阵求出各段梁的振型系数，最后绘制出振型曲线，结果见下文。

表1 组合L型变截面梁的主要参数

2.2 收敛性分析

(1) 本文方法在建立特征矩阵时，随着组合梁总段数n的增加，矩阵维数随之增大且大多数元素为0，故针对此问题有必要做收敛性分析。

分别取n为10、16及20，即水平梁及竖直梁各5、8及10段时，对组合梁振动特性做收敛性分析。当n取10时，组合梁结构的物理参数如表1所示；当n取16、20时，组合梁结构的物理参数为水平梁为变截面(相邻两段相互交替，交替规律与n取10时相同)，竖直梁为等截面，各段梁长度、密度、及弹性模量均与表1相同。将3种组合梁的参数采用上述求解方法，得到前10阶固有频率，与有限元法相比各阶频率误差如图3所示。

图3 本文方法与有限元法相比各阶频率误差

由图3可知，当n取10和16时，各阶频率与有限元法相比误差均小于1%，但当n为20时，各阶频率与有限元法相比误差有的已超出1%。因此为了确保计算精度，本文方法适用于n<16的组合梁模型中。

(2) 本文方法是基于局部坐标下建立的平衡和连续方程，针对该方法下的高阶模态有必要作收敛性分析，结果如图4所示。

图4 收敛性分析结果

由图4可以看出，固有圆频率在48阶之后出现发散。由相关文献[19-20]分析可知，在车辆航天等机械结构中，低阶模态对结构影响较为重要。因此本文方法在计算组合L型梁结构振动特性时仍具有较高的准确性和收敛性，是满足实际工程需要的。

2.3 与有限元法的对比

使用表1中组合梁的参数，利用ANSYS对L型变截面梁建模及有限元分析。有限元计算中，采用beam188单元模拟。有限元分析结果与本文方法计算结果如表2所示。

表2 本文方法与有限元法固有频率对比

从表2中可以看出，本文方法与有限元法固有频率相比吻合良好，各阶误差均在0.063%以内，从而验证了本文方法的有效性。

图5给出了组合梁的前九阶振型，可以看出本文结果与有限元结果振型曲线完全吻合，从而验证了该方法的准确性。

(a) 一阶振型

3 结 论

本文研究了组合L型变截面梁的自由振动特性，主要工作及结论如下：

(1) 基于欧拉-伯努利梁理论，提出了一种考虑截面变化的L型梁自由振动特性计算方法，通过分析组合梁相邻梁段之间的平衡及连续条件，构建了整个组合梁的特征矩阵，通过求解特征矩阵得到了组合梁的固有频率及振型曲线。

(2) 通过与有限元计算结果对比，验证了本文所提出方法的有效性及准确性；并对计算结果进行了收敛性及有效性分析，结果表明本文方法适用于n<16的组合梁模型。

(3) 由于特征矩阵组装方便的特点，使得本文所提出方法在处理几何和物理参数变化的组合梁，如渐变截面L型梁的振动特性问题时具有较大的优势，进而可以为组合梁结构的设计、分析及优化等问题提供理论基础。

附录A

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

其中，i=1,2,…,m-1,m+1,m+2,…,n-1

(A.5)

(A.6)

(A.7)

其余各元素均为0。

角标含义: 例如H1:4,1:4中，前面的1:4表示第1行～第4行，后面的1:4表示第1列～第4列，其余同上。