结构-声强耦合腔振声响应预报研究

廖金龙， 朱海潮， 侯九霄

(海军工程大学 振动与噪声研究所，船舶振动噪声重点实验室，武汉 430033)

由弹性结构和封闭腔组成的结构-声耦合系统广泛地存在于生活和实际工程中，如起居卧室，船舶舱室，声呐探测腔等，弹性结构在外激励下产生的声辐射是舱室内噪声的主要来源。近年来，通过采用各种控制方案抑制舱内声场水平，提高舱室舒适性已成为声学领域的研究热点[1-5]，因此如何准确地预报外激励源下结构-声耦合系统的响应是进行声学设计和噪声控制的关键，具有重要的工程应用价值。

多年来，国内外学者围绕此问题开展了大量的理论和实验研究，Pan[6]最早提出采用模态耦合理论建立结构-声耦合系统模型，实现了系统响应的预测。Kim等[7]以模态耦合理论为基础，从阻抗和导纳角度进行了响应分析，并通过实验验证了预测的准确性。Geng等[8]利用有限元工具获取复杂封闭空间的声模态，结合模态耦合理论研究了复杂封闭空间耦合系统在外力激励和声激励作用下响应和有源消声问题，理论上可适用于任意封闭空间，在分析频率较高时，由于网格质量的要求，会耗费大量的计算资源。张肃等[9]采用小波迦辽金法分析了复杂结构-声耦合系统的响应，并通过实验验证了方法的准确性。上述有关结构-声耦合系统响应预报的研究主要适用于空腔深度较深、腔内介质为非致密的弱耦合情形，当空腔深度较浅、腔内介质具有较大的质量密度时，结构与声场形成强耦合，由于采用刚性壁面声模态函数和真空中结构模态函数作为基函数，在弹性边界处速度不连续，导致不能准确地预报系统响应。为此，Du等[10-11]通过引入辅助函数的方式对声场声压和结构位移傅里叶级数进行改进，使其满足边界连续性条件，实现了结构-声强耦合系统响应预报，但是辅助函数参数的引入增加了公式复杂性和系统矩阵的尺寸。陈跃华等[12-13]在此基础上，采用Chebyshev多项式级数替代改进傅里叶级数对耦合系统进行了建模，形式更加简洁，不需要借助有限元工具就可以获取耦合系统的固有频率和模态，但是由于Chebyshev多项式是加权正交，在计算中包含大量高阶积分项，计算速度较慢。Kim等[14]提出耦合系统建模降阶方法，实现了强耦合系统响应的准确预报。

在现有的文献中，对于强耦合腔体的响应预报研究并不多见，因此开展结构-声强耦合腔的振声响应分析具有重要意义。本文从能量角度出发，考虑结构-声耦合以及边界力激励的作用，对结构-声强耦合腔响应进行了分析。建立了弹性板-充水矩形背腔耦合模型，首先对系统结构和声场及其满足的边界条件进行了说明，根据能量原理用拉格朗日函数对耦合系统动力学方程进行了描述，然后用权函数为1的 Legendre多项式级数分别将结构位移函数和声场声压函数进行展开，采用Rayleigh-Ritz法对动力学方程求解得到了耦合系统的振声响应，由于Legendre多项式满足L2内积正交性，使得方程中高重积分项简化为低重积分或者直接乘积项，大大地提升了计算效率。通过与文献和数值仿真结果对比，验证了本文方法的正确性。

1 理论推导

1.1 耦合系统模型

考虑如图1的弹性板-矩形背腔耦合系统，背腔体积为V，腔内充满声速为cc，密度为ρc的重介质流体，其边界由弹性板和刚性壁面组成，弹性板厚度为h，面积为S，边界为Γ，材料密度为ρp，在简谐外力激励Fp的作用下，弹性壁面发生弯曲振动并向腔体内部辐射噪声。由于腔内介质为重流体(比如水介质)，弹性边界与封闭腔形成强耦合系统。

图1 弹性板-矩形耦合腔

假设腔内介质在受到激励前处于静止状态，则声压分布p(x,y,z)满足Helmholtz波动方程及边界条件

(1)

(2)

式中:∇为拉普拉斯算子;ω为激励频率;w(x,y)表示弹性板的位移分布;n为弹性板外法线方向。

对于弹性板，在外激励的作用下其位移振动方程为

(D∇4-ρphω2)w(x,y)=p(x,y)-

Fpδ(x-xext)δ(y-yext)

(3)

式中，D为结构弯曲刚度。对于弹性壁面约束边界条件可以用结构弯曲振动的弹簧刚度系数来描述，以边界x=0为例，其边界条件满足

(4)

(5)

式中:η为材料泊松比;ax0和Ax0分别为x=0处平移弹簧刚度和旋转弹簧刚度，通过设置平移弹簧刚度为无限大，旋转弹簧刚度为零来表示简支边界条件，设置两者均为无限大来表示固支边界条件。

直接由Helmholtz波动方程、振动方程及其边界条件求解声压分布和位移分布的理论解是困难的，本文从能量角度出发，采用拉格朗日函数对系统动力学方程进行描述，该耦合系统分为弹性板系统和封闭腔系统，其拉格朗日函数分别为

Lp=Up-Tp-Wext-Wctp

(6)

Lc=Uc-Tc-Wptc

(7)

式中:Up为弹性结构弯曲振动时的总势能;Tp为总动能;Wext为外激励对弹性结构做的功;Wctp为弹性结构与声场交界处声压对结构做的功；Uc为声场的总势能;Tc为声场的总动能;Wptc为弹性结构与声场交界处结构振动对声场做的功，由牛顿第三定理可知Wctp=-Wptc。具体的表达式为

(8)

(9)

Wext=Fpw(xext,yext)

(10)

(11)

(12)

(13)

1.2 动力学方程求解

利用Rayleigh-Ritz法对耦合系统的拉格朗日函数方程进行求解，在求解时需要选择一组试函数对声场声压和结构位移函数进行展开。通常，要求选择的试函数在对声场声压和结构位移展开时能满足任何可能的边界条件。考虑试函数条件及声模态函数和结构模态函数的正交特性，选择正交多项式簇中Legendre多项式对声场声压函数和结构位移函数进行展开，由于Legendre多项式的定义区间为[-1,1]，在对声压函数和位移函数进行展开时需要进行坐标变换，假设笛卡尔坐标系下x,y,z的定义区间分别为[0,Lx],[0,Ly],[0,Lz]，则坐标变换公式为

α=(2x-Lx)/Lx

β=(2y-Ly)/Ly

γ=(2z-Lz)/Lz

(14)

声压函数和位移函数表达式分别为

(15)

(16)

式中，Blmn和Cjq分别为(l,m,n)阶声压展开系数和(j,q)阶位移展开系数;Pl(α)为Legendre多项式。Pl(α)的表达式为

(17)

应当说明的是，相比于其他正交多项式，除了有良好的完备性和递推性之外，选择使用Legendre多项式作为试函数还有一个明显的优点。Legendre多项式在定义区间内L2内积满足权函数为1的正交条件

(18)

式中，δll′为克罗内克函数，当l=l′时为1，否则为0。这将简化耦合系统动力学方程中矩阵元素的运算。

将声压函数展开式(15)和位移函数展开式(16)代入式(8)～(13)，联立式(6)和(7)，按照Rayleigh-Ritz法，使弹性板系统和封闭腔系统的拉格朗日函数分别对声压展开系数和位移展开系数取极值

(19)

整理即可得到耦合系统动力学方程

(20)

式中:B为声压展开系数组成的列向量;C为位移展开系数组成的列向量;W为作用在弹性结构上的外激励向量;Kp和Mp分别为弹性结构的刚度矩阵和质量矩阵;Kc和Mc分别为声腔声场的刚度矩阵和质量矩阵;Kptc为弹性结构对声腔声场的耦合作用矩阵。由于Legendre多项式L2内积满足正交性，各矩阵元素中高重积分项可简化为低重积分或者直接乘积项，具体表达式为

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

通过求解上述动力学方程，可以得到声压展开系数和位移展开系数，分别代入式(15)和(16)，即可求得外激励下结构的位移振动响应和声场的声压分布。由于结构均方振速和声场均方声压是从系统能量层面描述响应水平的参量，在声学设计和全局噪声控制时更具有代表性，本文选择其作为响应分析目标。由振速和位移的关系v(x,y)=jωw(x,y)，结合Legendre多项式的正交性，均方振速和均方声压分别可表示为

式中：Λp和Λc分别为结构和声场归一化对角矩阵，由式(18)可得，其对角元素分别为

(28)

(29)

2 理论验证

2.1 收敛性和准确性分析

考虑一弹性板-矩形腔强耦合腔模型，几何参数为：Lx×Ly×Lz=0.35 m×0.29 m×0.14 m，四边简支，腔内充满水以使板腔形成强耦合。弹性板结构参数为：密度ρp=2 700 kg/m3，泊松比η=0.3，板厚h=0.015 m，杨氏模量E=72 GPa，结构阻尼ζp=0.01；水介质参数为：密度ρc=1 000 kg/m3，声速cc=1 500 m/s，介质阻尼ζc=0.01，在板表面(0.039,0.272)m位置设置一幅值为1 N的法向简谐点力。在实际的计算过程中，分别截取前Nj,Nq阶和前Nl,Nm,Nn阶Legendre多项式对声压函数和位移函数进行展开。为确保求解结果的准确性，需要对截断阶数的收敛性进行分析。根据板腔几何参数，取Nj=Nq=Nl=Nm=2Nn=2N，以有限元计算结果为准，分别构建均方振速和均方声压截断误差函数为

(30)

(31)

式中：[fL,fH]为分析频率范围，由于0～350 Hz已经包含足够多的模态频率，选择该频段进行分析。截断误差随截断阶数的变化曲线如图2所示，随着截断阶数增加，截断误差迅速减小，当N=6时，均方振速和均方声压截断误差分别为2.50%和1.62%。考虑计算资源，选择截断阶数为：Nj=Nq=Nl=Nm=2Nn=2N=12。均方振速和均方声压的理论计算结果与文献[13]的方法以及有限元计算结果的对比如图3所示，可以发现，在分析频段内，本文理论计算结果和文献[13]以及有限元结果吻合良好。

图2 截断误差曲线

(a) 均方声压

在选择COMSOL-Multiphysics中声-壳耦合模块进行有限元分析时，理论上要获得可信的结果，最大网格尺寸应小于分析频段最短波长的1/6。本文中设置最大网格尺寸为0.008 m，对应的上限分析频率为31 250 Hz，对于本文分析的频段是足够的。为了进一步分析网格尺寸对响应预报的影响，考虑使用更小的网格尺寸0.006 m。图4给出了两种网格尺寸下系统均方振速响应对比图，可以看出两者结果基本一致，验证了使用0.008 m的网格尺寸有限元计算结果作为对比的可靠性。

图4 不同网格尺寸下均方振速有限元结果

2.2 计算效率分析

文献[13]提出使用切比雪夫多项式级数对结构位移函数和声场声压函数进行展开，与之相比，本文使用Legendre多项式级数描述声压和位移，由于其满足L2内积正交性，简化了计算。在同等算力的计算机条件下使用代码实现时，影响计算效率的主要是积分项的数量，下面从一重积分项的维数对两种方法计算效率进行分析，附录给出了文献[13]中刚度矩阵，质量矩阵及耦合作用矩阵各元素的表达式。对于相同的分析模型，相同的截断阶数，根据式(21)～(25)和附录可得本文方法和文献[13]的方法的积分项的总维数分别为

(32)

(33)

比较式(32)、(33)可以看出，对于相同的截断，在采用Legendre多项式级数描述声压和位移时，由于积分项得到了简化，极大地减小了积分项的总维数，使得代码处理更加容易，计算效率得到提升。

3 振声响应参数分析

弹性板-矩形背腔是典型的结构-声耦合系统，虽然其结构简单，但是当腔内介质为重流体时，系统耦合程度增加，结构和声场的响应趋于复杂，更难以预测，寻找系统参数的影响规律是进行声学设计的关键。选择2.1节的弹性板-矩形腔模型，不改变激励信息，分析弹性板边界条件和背腔深度的变化对响应的影响。

3.1 弹性板边界条件

假设弹性板四边具有一致的边界条件，不同的边界条件可通过设置平移弹簧刚度a和旋转弹簧刚度A的不同组合来表示：平移弹簧刚度为无穷大，旋转弹簧刚度为零代表简支边界，两者均为无穷大代表固支边界，这里计算时取1010表示无穷大。

图5给出了耦合系统随边界条件和频率变化的振声响应等高线图，保持平移弹簧刚度为无穷大，旋转弹簧刚度逐渐由零增加到无穷大，代表简支向固支约束边界的过渡。一般来讲，相比于真空条件下，存在耦合作用的系统峰值频率会产生一定的偏差，这也反映了耦合作用对系统特性的影响，可用系统第一阶非零峰值频率的偏差量与真空条件下第一阶非零峰值频率的比值来表征耦合作用的强度，即：

Δ=|fcoupled,1-fin-vacuo,1|/fin-vacuo,1

(34)

(a) 均方声压

耦合强度系数随边界旋转弹簧刚度的变化如图6所示，结合图5和图6可以看出，声场均方声压与结构均方振速响应峰值频率的变化趋势是一样的。边界约束可按旋转弹簧刚度大小分为三个阶段：当A=100～102趋近于简支，当A=102～105边界约束由简支向固支过渡，当A=105～1010趋近于固支。当边界约束处于趋近于简支和趋近于固支阶段时，系统耦合强度系数基本不变，具体表现为耦合系统的响应峰值幅值和频率不随边界旋转弹簧刚度的变化而变化；处于过渡阶段时，随着边界旋转弹簧刚度的增大，边界约束由简支逐渐转变为固支，同时系统耦合强度逐渐减弱，具体表现为响应峰值频率向高频偏移，但由于耦合作用变化量较小，响应峰值幅值基本不变。

图6 边界旋转弹簧刚度变化对耦合强度系数的影响

3.2 背腔深度

改变分析模型的背腔深度，保持模型其他参数不变，分析背腔深度对耦合系统响应的影响。需要说明的是，为了保证求解精度，在利用Legendre多项式对声压函数进行展开时，腔深方向上的截断阶数应当随腔深变化进行调整，在计算中，当0

图7给出了耦合系统随背腔深度和频率变化的振声响应等高线图。为了清楚的说明峰值响应幅值的变化，图8给出了前六阶均方振速和均方声压峰值响应幅值随腔深的变化图。同时根据式(34)，可以得到耦合强度系数随边界背腔深度的变化，如图9所示，结合图7～图9可以看出，随着背腔深度的增加，耦合强度系数迅速减小，具体表现为耦合系统的响应峰值频率随背腔深度的增加迅速向高频偏移，由于耦合作用迅速减小，由板传递到腔内的能量减少，均方声压峰值幅值逐渐降低，均方振速峰值幅值逐渐增加，当腔深进一步增大，系统的耦合强度系数不再变化，振声响应峰值频率和幅值也不再随腔深的变化而变化。

图7 不同背腔深度下的振声响应

4 结 论

本文提出一种基于能量原理的强耦合腔系统响应计算方法，该方法利用Legendre多项式级数分别将声场声压函数和结构位移函数展开，结合Rayleigh-Ritz法对能量原理下拉格朗日函数形式的耦合系统动力学方程进行了求解，得到声场声压响应和结构振速响应。分析了弹性板边界条件和背腔深度对振声响应的影响，结果表明：

(1) 本方法能快速准确的预测强耦合腔的振声响应，由于Legendre多项式L2内积满足正交性，简化了动力学方程中高重积分项的计算，大大提升了计算效率。

(2) 结构边界由强约束过渡到弱约束时会导致峰值频率向低频偏移，边界条件的变化对峰值幅值的影响不明显。

(3) 随着背腔深度的增大，耦合系统峰值频率向高频偏移，同时声场均方声压峰值幅值降低，结构均方振速峰值幅值增加，由结构传递到声场的能量减少。背腔深度进一步增大，耦合系统的振声响应不再改变。

附录A

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

(A.5)

式中：Tl(α)为切比雪夫多项式，其表达式为：Tl(α)=cos(larccosα)