手持“数学思想方法”利剑，远离“迷思概念”

黄红　田羿

【摘要】数学概念是宏伟的数学大厦之基础，也是数学教学工作的重难点。虽然教师在教学中各出奇招，但效果往往差强人意。学生在学习概念的过程中容易出现偏差，频频产生迷思，远离数学知识内容的本质。而数学思想方法是指向数学的本质，教师运用数学思想方法指导概念教学，可以转化“迷思概念”。

【关键词】迷思概念;数学思想;数学思想方法

笔者参加了2020年中山市中考数学阅卷工作，负责批改第21题：已知关于x，y的方程组与的解相同。（1）求a，b的值;（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解，试判断该三角形的形状，并说明理由。这道题目是一道8分题，全市的平均分是4.48分，大约有三分之一的学生对此题束手无策。分析学生的答題情况，学生不是对二元一次方程的解法和勾股定理的逆定理不熟悉，而是对二元一次方程的解、二元一次方程组的解、特殊三角形这些概念的理解不透彻。学生没有抓住概念的本质，最终在应用知识解决具体问题的时候出现障碍。因此，笔者认为若想让学生远离“迷思概念”，抓住数学知识的本质，教师应该在课堂上“亮”出数学知识的本质——数学思想方法。

一、概念界定

（一）迷思概念

查阅百度百科，“迷思概念”和现在的学科概念不同。在教学中把头脑中存在的与科学概念不一致的认识叫做“迷思概念”。

（二）数学思想

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程总目标中提到：通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。史宁中教授认为，数学思想可以归类为以下三种基本思想：抽象、推理和模型。

（三）数学思想方法

数学方法是用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。数学方法是应用数学思想解决问题的显现步骤。由于初中生的知识储备量和理解能力均有限，在数学思想和数学方法上不作严格的区分，统称为“数学思想方法”。在初中教学中，常见的数学思想方法有：字母表示数、分类讨论、数形结合、特殊与一般、类比、化归、整体、方程、函数、建模等。

二、“迷思概念”出现的原因

（一）学生缺乏自主思考的习惯

概念是抽象的事物，若只是望文生义，没有对概念的内涵和外延进行深层次的思考，大脑很难对它们留下深刻且正确的认识，更谈不上灵活应用。受快餐文化的影响，学生在“内卷”的漩涡中通过补课的方式进行预习。因为要在短时间内把整本书提前学一遍，补习教师无法让学生经历知识发生、发展的过程，他们往往单刀直入，直接把概念抛出来，挤出大量的时间进行解题训练。这样的概念教学往往逼迫学生死记硬背，无法进行自主思考。返校后，这些学生以为提前学过了，容易轻视正规课堂，不认真听课。随着时光的流逝，学生不是把“囫囵吞枣”式学到的数学概念彻底遗忘，就是把各种概念混淆了，从而出现迷思。而且，因为缺乏自主探索的经历，学生的畏难情绪会越来越强烈，害怕做深层次的思维体操，自然离数学学习的真谛和快乐越来越远。

（二）教师不懂得如何进行概念教学

幸运的是越来越多的教师开始关注并重视概念教学。但是，在初中三年数学的教学中涉及到代数、几何、概率与统计三大类概念，一共272个概念。这些概念按照不同的方式进行定义，概念之间有着千丝万缕的联系。许多教师愿意在概念教学中花时间与力气，但他们往往只关注概念的个体，缺乏数学思想方法的指导，找不到概念教学的规律与通法，无法将一块块的概念红砖建成数学概念的大厦。

三、利用数学思想方法远离“迷思概念”策略的实践

（一）分类讨论的数学思想方法在概念教学中的应用

分类讨论的数学思想方法在初中数学教学中应用广泛，也是学生比较容易理解和掌握的一种数学思想方法。在初中生刚入学阶段，学生的认知水平有限。在课堂中，特别是概念教学课堂上，教师加大分类讨论这种数学思想方法的渗透，学生既可以习得这一宝贵的思想方法，又可以对新学习的概念建立正确的认识，获得成就感。笔者本着用数学思想方法指导概念课堂教学的原则，开设了一节概念课，并做了部分教学简录。《有理数》部分教学简录：

问题1：回顾一下，我们在小学阶段认识了哪些数？

学生1：1，2，3…

学生2：0，，，0.2，2%…

学生3：5.331，π…

教师对以上数进行分类后，继续提问。

教师：学了负数之后，我们又认识了哪些数？

学生4：我们可以直接在刚才所列举出来的数前面加上“-”号，也就是有-1，-2，-3，0，-，-，-0.2，-2%，-5.331，-π…

教师：你的方法很好，对负数的理解也很到位。

问题2：你会根据一定的依据，给这些数进行分类吗？请同学们先独立思考，然后与小组成员进行讨论，并由小组代表发言。

学生5：我们小组是这样分的：1，2，3，，，0.2，2%，5.331，π都属于正数;

-1，-2，-3，-，-，-0.2，-2%，-5.331，-π都属于负数;0单独分一组。

教师：我认为这种分法可行，分类的依据是以0为基准，按照正负数进行分类，还有不同的分法吗？

学生6：我们将这些数分成整数和小数。整数：0，1，2，3，-1，-2，-3…小数：，，0.2，2%，5.331，π，-，-，

-0.2，-2%，-5.331，-π…

教师：你可以告诉我们，所谓的整数是什么？

学生6：像1，2，3…这样的数是正整数;像-1，-2，-3…这样的数是负整数;正整数、0、负整数统称为整数。（教师板书）

教师：小学的时候把像0，1，2，3这样的数称为整数，引入了负数之后，我们对数的认识扩充了，你能立足于小学的知识，跟我们分享你对整数的全新理解，做到了活学活用。

教师：小数怎么理解呢？

学生6：小学时学习的小数属于正小数，在正小数前添加了“-”号后就变成负小数，正小数和负小数统称为小数。

教师：你这个分法很有价值，还有不一样的分法吗？

（其他小组发言后，师生一起点评。）

教师：我们一起观察，，0.2，2%，5.331，-，-，-0.2，-2%，-5.331这些数，它们除了是小数，还有什么特点？

学生7：我发现，这些数都可以化成分数的形式。

教师：确实，这些数都可以写成两个整数比的形式——（p，q都是整数，q≠0）。我们称之为分数。其中，像，，

0.2，2%，5.331…这样的数称为正分数，像-，-，-0.2，-2%，-5.331…这样的数称为负分数，正分数与负分数统称为分数，而整数和分数统称为有理数。（教师板书）

学生8：老师，请问π属于什么数？

教师：你这个问题问得很好，π属于整数吗？

学生8：π不属于，是小数。

教师：这个小数有什么特点？

学生8：π是无限不循环小数。

教师：对的，因为无限不循环小数不能写成（p，q都是整数，q≠0）的形式，所以也就π不属于分数，自然就不属于无理数了。而无限循环小数是可以化成（p，q都是整数，q≠0）的形式，属于分数。将来，我们会学到π是属于有理数外的另一类数——无理数。

“有理数”这一词从西方传过来，英文名叫rational number。虽然rational通常的意义是“理性的”，但这个词来源于古希腊，就是“可比”的意思，所以rational number应理解成整数的“比”。其实，我们可以将整数化成整数比的形式，如，2化成的形式。

教学思考：整个概念产生的过程，学生的参与面广，热情度高，能积极参与到数学活动中。在经历了若干次对数进行分类的探索后，学生体会到了分类讨论数学思想方法的奇妙之处，能将看似杂乱无章的数进行有序归类，化零为整。最后，當教师介绍有理数的概念时，学生不会产生困惑和抗拒感，体会到这只是源于一种数的特殊分类。

（二）类比的数学思想方法在概念教学中的应用

人类拥有强大的学习能力，能类比过去的研究方式，创造新的纪元。正如美籍匈牙利数学家波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人。”在数学概念的教与学中，类比的数学思想方法能起到引领的作用。例如，以二次函数的概念教学为例，学生容易在此产生迷思。教师需要关注学生已有的知识，以学生的最近发展区为目标进行组织教学。学生在八年级已经学习了一次函数，积累了一定的学习经验。因此，教师可以先带领学生回顾一次函数概念的研究方法，接着鼓励学生运用类比的思想方法开展二次函数概念的研究。从具体的问题情景引入，得到若干个函数，接着观察这些函数的共同点，最终归纳总结得到二次函数的概念（形式定义）。

当然，二次函数概念的研究过程中也体现了字母表示数的数学思想方法。若要继续对二次函数概念进行一个更加立体的研究，师生在分类研究二次函数的图像和性质时，要充分发挥数形结合的数学思想方法，巩固对二次函数概念的正面认识。由此可见，一个数学概念的教学，往往需要“调动”多个数学思想方法进行指导与引领。

总之，数学概念的学习与数学思想方法的习得互相促进。数学思想方法是转化“迷思概念”的一把利剑，但利剑何时出鞘也有所讲究。教师不应刻意地将数学思想方法时常挂在嘴边，而是以“随风潜入夜，润物细无声”的形式，让学生在经历一次又一次的数学活动过程中学会掌握数学思想方法这一工具，建立正确的数学概念的认知，从此远离概念学习迷思的苦海。

参考文献：

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社，2012.

[2]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京师范大学出版社，2016.

[3]潘红玉.初中数学思想方法教学的思考与实践[J].中学数学教学参考，2019（32）.

[4]王亚媛.数学思想在初中数学教学中的渗透[J].数学教学通讯，2020（11）.

[5]印冬建.基于数学思想统领下的单元教学——以“消元——解二元一次方程组”为例[J].中学数学：初中版，2020（6）：3.

责任编辑  陈小凤

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