孤立奇点概念的教学设计

张 昶，孟凤娟

(江苏理工学院 数理学院，江苏常州 213001)

1 教学背景

理解与掌握基本概念对于学生学习好复变函数具有重要作用，进而深入分析后续相关问题。非数学专业学生的数学基础相对薄弱，数学概念抽象且不易把握，数学原理脱离实际背景，不同课程之间的知识点难以做到很好的衔接等问题，对学生理解并运用数学知识解决实际问题造成了一定阻碍。孤立奇点的分类是复变函数的一个重要组成部分和难点。因此，有必要对孤立奇点概念的引入进行恰当的教学设计，提高学生的学习兴趣，加深学生对基本概念的理解并学会熟练运用。

2 教学目标

第一，掌握孤立奇点的定义，了解孤立奇点和非孤立奇点的区别。第二，理解不同类型孤立奇点的本质区别。第三，能够根据定义判断孤立奇点的类型。

3 教学设计

第一，学生根据孤立奇点的定义判断几个例子是否为孤立奇点。第二，提出问题，介绍孤立奇点“奇异性程度”的强弱。第三，通过高数中的瑕积分和本门课程的高阶导数公式介绍“奇异性程度”的重要性。第四，归纳总结孤立奇点“奇异性程度”，将孤立奇点分为三类。第五，总结教学要点。

4 教学过程

4.1 引例

4.2 孤立奇点的“奇异性程度”

思考1：奇点就是奇异的点，那么不同函数在相同奇点处“奇异性程度”是否不同？如何刻画“奇异性程度”？

例2：1都为下列三个函数的奇点，它们的“奇异性程度”如何？

分析：

f1=1(z-1)f2=1(z-1)2f3=1(z-1)3乘以(z-1)11(z-1)1(z-1)2乘以(z-1)2z-111(z-1)

思考2：为什么要考察孤立奇点的“奇异性程度”？

4.3 孤立奇点的分类

由上述思考题引导学生思考一般函数与幂函数之间的关系，回忆洛朗展开式的相关知识。根据洛朗定理，在一定条件下，一个函数在以奇点为圆心的圆环域内可以展开为一些幂函数的和，而判断这些幂函数奇点的“奇异性程度”是容易的，进而根据函数的洛朗展开式中各项奇点的“奇异性程度”将孤立奇点分类。

通过讨论发现可去奇点的“奇异性程度”为0，故最弱，极点次之(极点的“奇异性程度”是有限的)，本性奇点的“奇异性程度”是无限的，故最强。同为极点，可根据极点的级数判断“奇异性程度”的强弱。

5 总结

本文讨论的仅是一个具有代表性概念的教学设计，在复变函数其他教学过程中实时地、有针对性地融入课程将有益于优化传统的教学理念和方法，提高复变函数的教学质量和学习效果。