一类向量组线性相关性的判定方法探究

尹修伟，宋贤梅

(安徽师范大学数学与统计学院，安徽 芜湖 241000)

向量组的线性相关性是线性代数教学中的重难点内容，它与矩阵、线性方程组紧密相关，是研究齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组解的结构的基础、线性空间的内积结构的重要工具，为解析几何、泛函分析等抽象内容的学习提供了直观的例子。对于大一年级的初学者来说，不太容易理解和掌握相关定义和判定方法，具体应用时容易混淆向量的维数、向量组的个数与向量组的秩之间的区别和联系。本研究将针对线性相关性进行介绍和总结分析，为线性代数初学者提供帮助。

1 向量组线性相关性的定义与判定方法

定义1[1]：给定由n维向量构成的向量组A:a1,a2,…,am，如果存在不全为零的常数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0，则称向量组A:a1,a2,…,am是线性相关的，否则称之为线性无关。

由定义1可知，向量组A:a1,a2,…,am线性相关等价于向量组A中至少有一个向量可以由其他向量线性表示，但直接用定义1判定给定向量组的线性相关性有时不是很容易。考虑由向量组A:a1,a2,…,am构成的矩阵A=(a1,a2,…,am)，根据上述定义可知，向量组A线性相关就是齐次线性方程组Ax=0有非零解，从而根据线性方程组解的存在性定理可以得到以下向量组线性相关性的判定定理：

定理1[1]：向量组A:a1,a2,…,am线性相关的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩R(A)

如果m=n，在定理1中矩阵A为n阶方阵，则有以下推论：

推论1[2]：给定向量组A:a1,a2,…,an，其中ai=(ai1,ai2,…,ain)T，i=1,…,n,则向量组A:a1,a2,…,an线性相关当且仅当矩阵A=(a1,a2,…,an)的行列式为零。

接下来举例说明定理1与推论1的一些应用。

例1：讨论向量组a1=(1,2,-1)T,a2=(2,-3,1)T,a3=(4,1,-1)T的线性相关性。

解：令A=(a1,a2,a3)，对A作初等行变换得

因此，R(A)=2，根据定理1知向量组a1,a2,a3线性相关。也可通过先计算矩阵A的行列式，再根据推论1得出向量组a1,a2,a3的线性相关性。

上例中向量组的分量事先已知，可以直接利用定理1或推论1来求解，但对于分量未知的向量组的线性相关性问题，一般无法直接求出对应矩阵的秩，很难直接利用定理1或推论1来求解，考虑文献[1]中的一个例子。

例2：已知向量组a1,a2,a3线性无关，设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1，求证：向量组b1,b2,b3线性无关。

证明：向量b1,b2,b3是未知的，直接求矩阵(b1,b2,b3)的秩比较困难，但可以结合线性无关性的定义或线性方程组来求解，文献[1]提供了三种证明方法，此处回顾其中两种。

法1：设存在实数x1,x2,x3，使得x1b1+x2b2+x3b3=0成立，由题意有

(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0,

由于向量组a1,a2,a3线性无关，根据定义1可得

解方程组得x1=x2=x3=0，根据定义1知向量组b1,b2,b3线性无关。

在例1中取单位坐标向量组e1=(1,0,0)T，e2=(0,1,0)T,e3=(0,0,1)T，则有

这说明例1与例2都可以归结为一类问题：

已知由n维向量构成的向量组A:a1,a2,…,am，此外，假定向量组B:b1,b2,…,br可以由向量组A线性表示为(b1,b2,…,br)=(a1,a2,…,am)Km×r，并记作B=AK，根据矩阵Km×r来判断向量组B:b1,b2,…,br的线性相关性。

对于这类问题，总结出以下结论：

定理3：设R(Km×r)

证明：(1)若R(Km×r)

由定理3的证明过程可以得到下述推论：

推论2：给定向量组A:a1,a2,…,am与B:b1,b2,…,br，且B=AKm×r，则向量组B可由向量组A线性表示，进一步，如果还有m=r，且|K|≠0，则向量组A与向量组B等价。

由文献[1]84页的推论可得，向量组A，B等价的充要条件为R(A)=R(A,B)=R(B)，同理，此条件只针对向量组的分量已知的情形。对于分量未知的情形来说，当两个向量组的向量个数一致时，推论2提供了一种等价性的判定方法。

例3：设b1=a1,b2=a1+a2,…,br=a1+a2+…+ar，向量组a1,a2,…,ar线性无关，求证：向量组b1,b2,…,br线性无关。

2 结语

本研究介绍了向量组线性相关性的基本概念和判定方法，如果向量组的分量是已知的，则判定向量组线性相关性较为简单。如果向量组的分量没有具体给出，本研究针对一类特殊问题，根据线性方程组解的性质总结了这类向量组线性相关性的判定方法，此方法相较于基于定义的方法使用时更方便，同时也总结了向量组等价性的一个判定方法。