回溯本源 驳倒反例

李杨

［摘 要］不完全归纳法直观又形象，但仅通过有限的实例来证实结论的正确性，可能会遗漏一些反例，得出的结论是片面和错误的。在教学“钉子板上的多边形”时，教师要带领学生追溯知识本源，避免学生用不完全归纳法时产生的错漏，以得出严谨的科学结论。

［关键词］钉子板上的多边形；反例；综合实践课

［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2022）35-0058-03

苏教版教材第九册“用字母表示数”单元后附设了一节综合实践课“钉子板上的多边形”。当学生根据教师示范的特例——多边形内只有一颗橡皮钉的情形，初步概括出“多边形的面积为多边形边上橡皮钉数的一半”这个结论后，教师要求学生用代数式表示结论，以便结论简明且具有普遍意义，但学生完全不懂该如何入手。教师只好提示“用字母表示数量关系”，并板书“a=1，S=n÷2”，随后指导学生举例证明。在展示了学生的几份作业后，教师开始归纳总结。

【教学片段】

生1（举手）：老师，我得到的结果不一样。

师：是怎么回事？

生1（在点阵图上画了一个圆形，如图1）：圆周一共经过4个点，代入公式得出S=n÷2，赋值后的结果是面积等于2，但是运用剪切拼贴方法得到的面积比2大。

师：这个例子说明了什么？

生2 ：这样的矩形点阵图应该是围不出圆形的。

生1：明明可以画出来，为什么你说不可以？

（生2意识到自己思虑不周，只得默默坐下）

师：是啊！因为在矩形点阵图上围不出圆形，所以生1这个结论是一个伪命题。现在，公布正确的结论……

（教师让学生回顾整节课，板书“猜测—证明—总结”，总结找规律的方法）

【课后交流】

笔者：生2的观点“矩形点阵图上无法围出圆形”，能够构成反驳生1的例子吗？

执教者：当然可以，矩形点阵图上确实围不出圆形。

笔者：其实生1并未心服口服。

执教者：可以画出，不代表可以圍出来，二者不是一码事。

笔者：您听过皮克公式吗？

执教者：闻所未闻。

笔者：那圆是多边形吗？

执教者：……

一、合理利用已有经验

“钉子板上的多边形”属于探究活动课，是教材新增的内容。教材是按顺序出示内部有1颗橡皮钉、2颗橡皮钉的多边形，引导学生先通过数数、计算等方法初步归纳出多边形面积与橡皮钉数量之间的换算关系，然后应用此规律，对照验证多边形围3颗、4颗橡皮钉的情形，在获得大量可靠数据后，归纳出确切结论。旧教材是将“找规律”单设成章，新教材则是将其分解后插入不同章节中。在教学“找规律”这一内容时，教材的重心落在一个“找”字上，所以这节课的主要目标不在于获得结论，而在于找的途径和手段，让学生经历规律探索的常规流程，积累数学活动经验，以此培养学生敏锐的洞察力、高度的概括力。只不过，在五年级之前学生已经对“找规律”有所涉猎，如“周期规律”“搭配规律”等。除去这些贴有“找规律”标签的专题课程，还有很多隐性的“找规律”课程，譬如算术教程中的“商不变性质”“运算律”等；图形性质教程中“三角形的三边关系”“三角形的内角和”等。只不过这些内容的侧重点在对规律的运用，对于寻找规律的探究过程则一笔带过。

可以说，“找规律”作为一种技巧，许多地方都有体现。如果教师在教学相关内容时，能有意识地提炼找规律的方法，并在教学设计时将渗透找规律的思想方法作为重要参考指标，并且长期坚持，分段实施，逐步推进，那么到了五年级，学生对于找规律的一般方法和有效策略应该已经得心应手。

然而，从这节课的情况来看，教师要么把教学这节课错当成教授“找规律”方法与技巧的专题课，要么就是不敢放权，不愿尝试以学生自主探究合作交流为主的教学方法。也就是说，如果教师目光长远，那么在一开场就应该让学生回想和梳理旧知，迁移找规律的方法技巧，而不会把它作为“新大陆”去开发。

学生的“找规律”经验十分丰富，除了常规程序，还有一些心得窍门——遵循由特殊到一般或者由简单到复杂的做法。本节课的“找规律”较以往更为复杂，存在第三变量。但庆幸的是，如果学生利用一般方法探索规律，从最基础的图形内包围1颗橡皮钉开始，合情推理、逐步推导，顺应这种思路推导就能得出科学结论。授课时，也许学生会有图形内橡皮钉数从0开始算起的想法，对此，教师不妨先顺着学生的思维，再纠正学生的错误，将起点调回a=1。如此一来，a=0这种走不通的情形反倒成了最有力的证明。

在上述教学片段中，问题的症结在于学生没有真正经历找的过程，而且执教者授课时过分纠结于图形内只有一个点的情况，在这一基本模式上耗费过多时间和精力。执教者本可以借助这节课夯实学生基础，结果事与愿违，适得其反，学生就在原地打转，信手画出一个圈圈，圈出一个点。此时，执教者顺应学生的“错误”，结果发现这个圆不符合原有规律，边缘穿过的点数除以2不等于圆的面积数，自相矛盾。执教者应该直接从指定图形（如三角形）围住一个点、两个点、三个点……慢慢总结出预设的规律，最后回过头来研究这个圆的特例，引发学生的认知冲突“为什么圆不符合这个规律？”，以此重新梳理这个规律存在的基本条件。

二、举反例不是走过场

值得一提的是，教材编排的“找规律”课程，多半运用的是不完全归纳法总结出规律，这是基于学生年龄段的选择，其益处是，学生可以借此设计丰富多彩、活泼有趣的探究活动，在游戏活动中慢慢体验规律的生成过程，形成观察、对比、推导、分析、归纳、联想、验证等能力；弊端是，这种方法得出的结论可靠性差。因此，教师应该隐藏“知情者”的身份，每次检验时引导学生寻找反例。由于教材编排的“找规律”必然能够通过有限实例不完全归纳出正确规律，久而久之，学生就会将不完全归纳法奉为圭臬，深信不疑，但是这却掩盖了不完全归纳法的缺陷，也不利于学生科学严谨态度的形成。因此，教师只有创造一种“反例推翻结论”的活动，才能破除学生对不完全归纳法的迷信。

反观教学片段中，执教者提问：“同学们，你们举的例子得出的也是这个结论吧？”后出现了反例，让人猝不及防。可见，执教者低估了反例出现的可能性，由此也可以推知，执教者在以往的“找规律”教学中，反例也常出现。执教者的教学行为显然不符合科学探究的精神主旨。根据后来“真实”的反例出现后，执教者惊慌失措的表情来看，他对教材的研究很肤浅。如果精研教材就会发现，“钉子板上的多边形”不过是皮克公式的翻版。皮克公式是奥地利数学家皮克发现的一个专用点阵中点数多少推算多边形面积的特殊公式。

说到底，反例不是洪水猛兽，如果教师事先做好充分的预设，将所有可能出现的反例考虑在内，进行充分的解析，对反例进行鞭辟入里的解读，不但可以更全面地了解原有规律，使通过不完全归纳法归纳出的规律更加严谨，而且通过这个反例，可以让学生对原规律的存在前提、适用范围、逻辑形式有深刻清晰的认识，运用时不会盲目照搬。如果提出反例的主动权掌握在学生手里，学生根据自己的理解当场反驳，教师在毫无准备的情况下就会措手不及，慌乱之中找不出合适的理由来反驳，也无法自圆其说，不但越描越黑，而且连原本帮助学生建立起来的对规律的信任也会土崩瓦解，让教学全线崩盘。当然，教师若想从容应对反例的“变故”，就得深入钻研知识背景，如围图背后的定理——皮克公式。

三、回归知识本源

数学科普读物《网点和面积》对此也有详细介绍：一幅点阵图，横竖交错着两组虚线、相邻平行线的间距相等，两组虚线的交点，就是网点。利用网点数量去推断点阵图中某个指定区域的面积，或者反过来，根据已知区域的面积去倒推经过网点的数量。于是，可以断定，“钉子板上的多边形”其实就是脱胎于“网点图中的多边形”。

教材为何将网点图换成钉子图？主要是为了迎合学生的兴趣，况且这也是数学游戏活动的常用道具，学生对此有着丰富的操作经验。然而，百密一疏，这一改，可能给学生带来认知错觉，上述案例中生2的回答“钉子板上无法围出圆形”足以证明这一点，生2 的观点从教材编写意图上看也并无不妥，但从知识本质看却是荒谬的。如果执教者了解教材知识引入过程，就不会采信生2的说辞，避重就轻转移话题，硬切到“网点图中的多边形”中，诱导学生弄清实情。

教学时，只有对知识追根溯源，才能让教学始终紧扣教学目标。收尾部分也应指向知识的本源——皮克公式和《网点和面积》一书，进行合理的拓展。需要说明的是，本课虽是一节“找规律”的课型，但是它附录在“用字母表示数”章节之后，这就意味着教师必须及时以此帮助学生巩固舊知——用代数式表示发现的规律。不过，要让学生在表达规律时主动想到用代数式表示，仅靠教师的诱导性指示——“这句话用代数式怎么表示”来体现其优越性是不够的，远没有触及代数式的真正用途——“用字母代数可以用一个式子囊括所有可能，体现的是从单个的定量到无穷的变量的发散”。从学生的真实反应看，学生并不理解“多边形面积单位数是多边形边上橡皮钉数量的一半”这句话，因为其句式太过复杂，教师应该抓住面积、图形上橡皮钉数和图形内橡皮钉数等的“动态变化”，引导学生设法用变化无穷的字母代替单个不变的数字。换言之，就是用字母的简捷、普遍的优越性来揭示代数式的本质——“表示变量之间的不变关系”。

规律结论可能很简单，但是规律的渊源却非常复杂，理论也可能非常深邃，这些都不要紧，因为学生目前不需要了解这些，要了解清楚的是教师。教师知道的无论多么详细，传递给学生的必须简洁，这就涉及规律的表达问题。如果用大段文字来描述这个规律，对学生而言佶屈聱牙、晦涩难懂，但是如果用代数式来表达，就会言简意赅、明白无误，这是数学语言的优势。找规律的过程本身就包含如何表达的问题，一开始，就应该将多边形各边穿过的点数设为n，然后将围住的面积设为a，先让学生尝试用字母表示这个数量关系，再通过一步步增加点数，让学生代入验证，检验这个公式是否还成立。多次实验后，学生自会发现这个公式的普适性，对这个公式深信不疑的同时，对规律的构建也会水到渠成。

综合以上分析，可以发现，“钉子板上的多边形”这节课可进行双线叙事，明线是寻找规律，暗线是学会用代数式来揭示规律。两条线齐头并进，或许就是这节数学综合实践课的精妙所在——“综合”是将“代数式”和“几何图形”有机结合，“实践活动”就是将点阵图换成“钉子图”。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 张伟.寓学于乐  融数于趣：以“钉子板上的多边形”教学为例[J].江苏教育研究，2020（35）：52-55.

[2] 王辉.为学而教  以学定教：《钉子板上的多边形》教学设计[J].小学教学设计，2020（35）：45-46.

[3] 刘倩.“魔法数学”路径下探索规律课型的教学实践与思考：以《钉子板上的多边形》为例[J].数学教学通讯，2020（34）：42-43.

（责编 金 铃）