关于高中数学课堂例题变式设计的教学初探

李国安（福建省永春第二中学，福建 泉州 362600）

例题可以是对学生知识掌握水平的一种检验和深化，也可以作为知识方法教授的有效策略.高中阶段的数学例题对于学生来说具有较高的难度，实际上，小学数学教学重点考查学生对基础知识的掌握程度，而初高中数学教学逐渐侧重于学生对解题方法的灵活应用，因此，学生不仅要找到例题涉及的知识点，还要找到正确的解题思路和计算方法，这也是对学生综合数学能力的一种考查.然而，传统的高中数学沿用的题海战术从某个角度来看只能通过经验教学的途径让学生了解解题方法，却难以真正实现融会贯通，学生需要的是能力上的提高，而非经验提升.通过例题变式设计，教师注重对学生能力的培养，对数学例题进行转变，实现一题多变，让学生深入一道习题，拓展更多、更深的知识层面，避免对解题失去兴趣，或者出现因学习转移过快、例题难度过大而引发的畏难心理.

一、高中数学例题变式设计的应用意义

（一）引导学生发现、解决问题

问题是人学习的主要动力，有了问题就有了学习的方向和目的，因此，发现问题，探究问题，解决问题这一系列过程本身便是学习的理想状态.然而，根据目前高中阶段学生的现状分析，很多学生对于数学问题的认知多处于教材、教师、试卷之中，他们的数学学习过程也大多集中于这些来源的问题，但实际上学生自己发现的问题往往比教师提出的问题更具教育意义，效果也更为显著.这样引导学生自己发现问题，有助于学生自主学习，养成发现问题，主动探索问题，积极提问的良好习惯.例题变式教学对于学生主动发现问题、提出问题具有明显的帮助.在应用例题变式设计一段时间和学生了解例题变式设计的原理和方向后，教师可以将例题教学“交”给学生，让学生尝试根据一个例题发现另一个例题，主动组织学生一同探索，大胆向教师提问.对于教师来说，例题变式设计教学的应用也要构建良好的课堂氛围，摒除“提问便是学习不好的表现”的认知，鼓励学生“不耻下问”，这也有利于从例题变式向“教学变式”的转变.例如，教材中的例题“画出函数的图像”，在带领学生解决问题后，教师可以指导学生试着将原题变化一下，先为学生留出一定时间，让学生以小组为单位，每个小组根据原题再出一道例题，而教师随机选择一个小组所提出的例题，交由其他小组作答，后续的结果和解题过程也完全可以交给设计该题的小组.这一活动的开展不仅能培养学生的思维灵活性，而且能促进学生的合作学习以及小组之间的互动.

（二）培养学生的数学思维能力

很多学生都会感觉高中阶段的数学难度“更上一层楼”，其概念、公式及解题方法不仅繁多而且晦涩难懂，这不仅是学习方法不够高效，而且说明了学生的数学思维能力不强.如果只将高中数学知识点看作一个个独立的“孤岛”，那么学习难度无疑会进一步提高.实际上，高中阶段的数学知识点的连贯性特点更加明显，知识点与知识点之间的联系更加紧密，因此，学生在理解知识以及解题时需要灵活应用以往的知识点.教师培养学生的数学思维能力能帮助学生在掌握、归纳与总结知识点的基础上融会贯通，灵活应用数学知识，让数学知识不再是单纯的知识积累，形成解题能力.例题变式设计能够通过灵活的例题变化让学生从中“看”到以往的知识点和解题方法，也能让学生从数学例题的灵活多变中看到灵活多变的解题方法，学会从多个角度分析问题，用以往的知识点来解决问题，在提高例题教学质量的同时简化学生的学习难度.

二、例题变式设计在高中数学教学中的应用

（一）数学思维的灵活发散

在新课改背景下，高中数学教学需要关注学生能力的养成，因此，在课堂教学中，教师要充分贯彻生本理念，以学生作为教学的中心，引导学生探索例题，交流例题，在例题解题过程中实现对学生数学思维能力和创新能力的培养.这本身也是传统教学模式的理想状态，但传统教学模式本身压制着这一趋向：过于关注解题的标准答案，学生因害怕出错而不敢尝试，甚至长时间养成的依赖心理导致不去主动探索例题，而是等待教师公布答案和解题过程.传统教学模式本身并没有给学生充足的课堂参与空间，导致学生在课堂中表现较为消沉，这对于学生能力的提高带来了不利影响.对此，教师首先要做的是实现教学理念的积极创新，贯彻生本理念，应用例题变式教学，唤醒学生的学习积极性，通过例题变式设计的趣味性和灵活性让学生产生兴趣，跟随例题的变动和教师的引导灵活发散数学思维能力.

例如，在教学“同角三角函数基本关系式”这一内容时，教师需要确保课堂教学的灵活性，灵活设计内容和过程，灵活应对学生的课堂表现.通过例题变式设计，教师能将原本枯燥无味的例题教学变得更加生动灵活.

例题变式设计的主旨在于引导学生探究三角函数关系，同时尝试着证明关系，为之后的学习过程打好基础.上述例题变式通过循序渐进的方法手段让学生们通过讨论和计算尝试着求解，三个变式的不断深入让学生灵活发散数学思维能力，每一道习题的成功解答都是下一道习题求解的基础，这也更能激发学生的探究欲望.

（二）通过例题变式设计开展概念教学

概念与公式都是高中阶段数学学习中的基础部分，这一部分的知识点通常需要学生通过理解来消化，这时，教师可以通过例题进行概念的补充讲解，让学生通过例题思考来深化概念理解效率.然而，例题补充可能造成学生理解误差的现象，因此，教师可以利用例题变式设计，在通过例题辅助理解概念知识时通过变式设计实现例题与概念的一同转换，让学生能以更多的角度分析概念，掌握概念.例如，在教学“函数”这一内容时，很多学生可能出现函数与方程分辨不清的现象，在解题时也可能出现混淆的现象，这主要是因为他们对两个知识概念的掌握不够扎实，也没能明确概念的本质.函数与方程都会通过代数表达式进行表达，一些计算题看上去非常像方程，也类似函数，因此，学生往往滞留在例题的表面难以分辨，这时，教师可以通过例题变式设计来帮助学生区分函数与方程的不同，让学生掌握两者存在的联系与共通点.多数情况下，方程都是求解未知数，而未知数本身并不会出现自变量和变异性的关系.函数中的所有自变量和因变量都是对应的，并且方程可以求解而函数没有固定的解.两者也存在一定联系，即在特殊情况下是可以转换的.如果在解函数时遇到特殊值，那么可以将函数问题转变为解方程，找到函数的参数或特殊性质.在这之后，教师可以板书例题：y＝x2＋2x＋1，求函数图像和y轴的交点坐标.实际上，这一例题也是求解x＝0 时y的值，而该题可以借此进行转换，转变为方程y＝0＋0＋1，解得坐标为（0，1），之后可以再转换为函数进行求解.教师利用例题的变式设计能帮助学生明确函数和方程之间的区别和联系，使学生将两种思想通过变式设计代入例题中，通过例题的灵活转换灵活思考，提高学生的思维能力和问题解决能力.

（三）设计开放性的变式例题

在高中数学教学过程中，学生对于课堂学习的参与性往往决定了课堂教学质量，而如何让学生积极主动地参与学习则成为教师需要重点解决的问题.对此，兴趣成为一个很好的着力点，教师可以通过趣味性的例题变式设计来提高学生的参与积极性，并设计开放性的例题，引导学生主动思考，主动创新.教师需要在例题设计上注重解题方法的同时创设灵活的思维情境，通过开放性的例题让学生脱离教材和传统解题方法的制约，在解题过程中灵活创新.这一方法本身是将例题设计中的思维变式设计交给学生，由学生经过思考提出变式的数学例题，再经过教师的引导解决例题.这一过程不仅更具趣味性，而且能让学生获得成就感，激发学生的思维能力.如例题：

教师可以让学生通过分析，尝试举出一个反例，对原本题型进行变换，如：

之后，教师可以鼓励学生大胆猜想，主动探究，再找出一个渐近线方程为的双曲线方程，求得＝1，（λ＝0）.之后，教师再对例题进行变换，让学生试着找出其他的表示形式，并分析一下和渐近线方程有没有什么区别，如渐近线方程为的双曲线方程为（λ≠0）.教师通过开放性例题的设计能为学生的数学思考拓展空间，而教师再引导学生的思维向着变式设计的方向迁移能发挥更为显著的教学效果，不仅让学生充分参与到例题教学过程中，而且能让学生感受到其中的趣味性，在自主变式提问和解答问题后也能收获成功解题的喜悦.

（四）利用问题内容形式，使学生形成完整的知识系统

高中数学中存在许多变式潜能问题.这就要求教师从多个角度具体性分析，对该问题所包含的学科内容以及知识内容进行了解，从而对问题所包含的知识点进行挖掘与利用.具体来说，作为一名高中数学教师，需要在备课期间内根据数学知识点以及学生的理解能力，为学生设计合理的数学问题，使学生在问题分析中了解数学知识.同时，在教学过程中，教师需要在例题教学中对一些辨识内容进行分析，使学生能在学习中掌握更多的解题思路，提高学生的解题自信心，全面提升教学效果，使学生在学习中达到事半功倍的目的.

例如，在高中数学“余弦定理”的教学过程中，教师在备课时，可以针对内容以及教学知识，为学生设计相应的课题内容，以使学生能在对理论知识理解的过程中对课题进行解答，从而使学生通过问题认证理论知识，使学生真正地掌握课堂教学知识.“已知，在三角形ABC中，∠B为60°，需要求证三角形的三条边A，B，C满足AC＝2A＋2C-B2.”

变式一：在三角形ABC中，在了解∠B为60°后，需要对三角形的三条边A，B，C的满足条件进行了解..

随后，学生通过思考，对该问题的内容进行了进一步分析.

变式二：在三角形ABC中，三角形的内角为等差数列，需要对三条边A，B，C满足.

教师在课堂中通过课题问题，对变式一、二进行具体分析，并与教材中余弦定理知识进行对比分析，从而使学生对余弦定理充分了解.同时，教师在对例题讲解的过程中，需要按照课题内容，给予不同的变式，根据学生解答过程的情况进行剖析，给予学生一定的鼓励，对于数学基础较差的学生进行进一步引导，使他们能在学习的过程中形成良好的数学知识体系，并对数学知识内容“余弦定理”全面了解，使他们深入了解数学知识，并提高学生对数学学习的自信心，从而在学习中不断进步.

（五）以问题背景进行变式教学，提高学生的应变能力

教师应进一步促使学生在高中数学课堂中对数学知识对象的本质属性全面了解，并在学习过程中对知识点的应用变化具体分析，了解其中的变向因素以及不变因素，从而通过数学知识的发展现状，了解数学知识点的本质内容.

例如，在高中数学“指数函数以及性质”教学过程中，教师在课前备案时需要明确本节课的教学目标，促使学生在课堂中对指数函数的概念内容深入理解，并通过问题内容促使学生深入了解指数函数的性质，从而掌握指数函数.在课堂实践过程中，学生在教师的引导下，通过对教材内容的熟读，对指数函数有了初步了解，随后，教师为学生设置了问题内容，使学生能通过问题内容印证指数函数的改变与性质，如“中国人口数量在2021 年已经增长到14 亿人，如果每年能将中国人口数量的增长率控制在1%，那么在10年后，中国人口数量将会达到多少人口（单位为亿）？”该问题的背景属于指数增长模型题.这主要是促使学生能根据题意列举并总结出，在x年后，中国人口数量将会达到y人，那么可以得出y＝14（1＋1%）x，随后，为了调动学生的学习积极性，教师要求学生能根据实际生活或其余学科的内容，以此获取其余变式内容.

变式一：针对储蓄中的复利计算利益，在已知条件本金为a，利息为r，本利为y下，需要求解出y与x之间的变量函数式.在不同的问题背景下，学生对指数函数的概念与性质进行了充分了解，并进一步总结了指数增长模型关系式，如在变式一中，设置原有量为n，年平均增长率为p，那么在x年后，y为多少，根据指数函数可以了解到y＝n（1＋p）x.在教学全面落实与实施的过程中，学生在指数函数学习过程中，通过问题背景进行辨识学习，不仅能深入地了解指数函数，而且能掌握本节课的教学知识点.

三、结语

高中数学例题变式教学的应用能够实现“一题多变”，同时在解题过程中能让学生灵活发散数学思维能力，通过灵活的解题教学让学生的思维也变得更加灵活.教师在教学过程中也要注重学生的解题过程，只有注重解题过程才有利于学生对例题变式的理解，激发学生的学习兴趣和分析问题的积极性.