不定积分一题多解问题的常见方法

杨 涛 付 裕（.四川工程职业技术学院基础部，四川 德阳 68009；.四川工商学院数理教研室，四川 成都 6745）

1 引言

不定积分计算是高等数学中的重难点之一，其常用计算方法有：换元积分法和分部积分法.然而许多学生在计算不定积分时总感到束手无策、无从下手：一方面是因为不定积分的题目类型较多，求解方法因问题的不同而变化多端；另一方面，在学习过程中学生疏于对计算方法的归纳和总结.因此，为帮助学生较好地理解和掌握不定积分的计算、熟练运用所学知识求解不定积分，本文对不定积分常见的计算方法进行归纳和总结，帮助学生理解和掌握不定积分求解方法.

2 准备知识

定义1（原函数）设函数f（x）和F（x）在区间I上有定义.若满足F′（x）＝f（x），x∈I，则称F（x）为f（x）在区间I上的一个原函数.

定义2函数f（x）在区间I上的全体原函数称为f（x）在区间I上的不定积分，记作.其中，为积分号，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，x为积分变量.

不为零的常数因子可以移到积分号前，即

两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和，即

3 不定积分计算常用方法

3.1 换元积分法计算不定积分

换元积分法是计算不定积分的常用方法，然而不定积分题目类型较多，不同类型的不定积分求解方法并不相同，这就需要我们对不定积分求解方法进行归纳和总结，并将其灵活运用于不定积分求解过程中.本文从实际出发，对一些不易求解的不定积分设置多种求解方法（换元积分法、添项法1、添项法2 及万能公式计算方法），以帮助同学们熟练掌握不定积分的计算方法，拓展计算思维.

解法1：（换元法，此方法技巧性较高）

解法2：（万能公式，常规法）

3.2 添项法计算不定积分

不定积分计算过程中，若运用添项法，则需要学生具有很高的技巧性且对三角函数公式要足够的熟悉，也需要学生平时对不定积分计算方法进行归纳和总结.例1 中运用添项法计算不定积分可以有如下两种思考.

解法3：（添项法1）

解法4：（添项法2）

从而，验证方法4 所得结果与方法1—方法3 求得结果是等价的.

3.3 线性方程组计算不定积分

换元积分法和添项法是求不定积分的有效方法之一，对于某些不定积分的计算，可运用解线性方程组的方法求解.

解：（线性方程组求解不定积分，此方法需要平时对方法的积累）

解：（线性方程组求解不定积分，且要求熟悉递推和三角函数关系）

3.4 分部积分法和线性方程组在不定积分计算中的综合运用

分部积分法是求解不定积分最常见方法，分部积分法和线性方程组在不定积分计算中的综合运用可以很好地锻炼学生的思维能力和计算能力.

虽然分部积分法是求不定积分中最常用、最基本的方法，但存在不适用的情形，如以下实例.

3.5 一些特殊函数的积分法

某些不定积分看似简单，其实并不简单，必须把分式分解才行，此时分解一般用待定系数法求出系数.

4 结束语

上述实例表明，同一不定积分计算求解方法并不唯一（如例1），有时某些不定积分的计算可以运用求解线性方程组的方式计算（如例2、例3）.因此，在计算不定积分时，选取合适的、合理的求解方法是快速解决问题的关键.针对同一问题，应从不同的角度思考问题，从已有的方法中发现新颖的解题方法，这不仅能够提高学生学习数学的兴趣，而且能够更好地提升自身的数学素养，进一步挖掘将数学知识运用于实际生活中的潜在能力.所以，在授课的过程中，教师不仅需要讲解不定积分求解的基本方法，而且要求学生熟练掌握知识点之间的联系和综合运用.