借助直观模型，促进算理的理解

吴桂梅

【摘要】为了提高学生的运算能力，引导学生更好地理解算理，教师要善于借助数直线模型帮助学生理解运算的意义，借助小棒、计数器等直观模型，通过图示表征、数形结合的方式帮助学生理解算理，发展数感，拓展学生的思维。

【关键词】直观模型;算理;运算意义;位值制;  算法探索

一、计算课堂教学的现状分析

近期听到的一节两位数乘两位数的计算课，教学过程中教师忽视学生对算理的理解。评课时，大致有以下三种观点：（1）现代计算器发达，计算没必要下狠功夫抓。（2）学生在课堂上探索计算过程花费时间多，不如直接讲授算法，然后通过适量的练习进行巩固，这样的课堂教学更高效。（3）口算过程就是算理的体现，可直接让学生通过知识转化来理解算理，课本提供的点子图作用不大。以上三种认识，都是对算理认识的偏差，不使用直观模型的教学，轻视了操作、探究，学生难与将所学的知识形成脉络，达到融会贯通。

二、新课程标准对运算能力提出的要求

运算能力是学生学习数学的一种基本技能。《义务教育数学课程标准》2011年版中也明确指出，要培养学生的运算能力。小学是学生运算能力形成的重要阶段，运算能力不仅包括会算和算正确，还包括对运算的本身要理解，这样才有助于寻求合理简洁的运算途径解决问题。运算能力的三个维度：正确运算、理解算理和方法合理。因此，计算教学的目标不能只停留在学生会算和算正确的层次上，学生还要懂得解释计算的依据，为什么可以这样算，做到算法和算理的结合。学生理解了算理，才能结合具体情境对各种方法进行筛选优化，进行合理的运算。教师在教学过程中，合理运用各种直观模型，凭借图示表征、数形结合的方式，把抽象的算理具体化，可以助力学生对算理的理解。直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、长方形或点子图、数直线等。

三、巧借直观模型，促进算理的理解

算理包括运算的意义、位值制和算法的探索等。

（一）数直线模型帮助学生理解运算的意义、发展数感

在北师大版数学教材的第一册第七单元，就出现了毛毛虫图，第二册开始出现了数线。数线是数轴的雏形，数线的出现，为学生理解运算的意义提供了思维支撑。加法就是将一个加数向右平移若干个单位，乘法本质上也是加法运算，它与加法的区别在于，每次相加的数是相同的（如图1）。减法就是将被减数向左平移若干个单位，除法也可看作是减法运算，它与减法的区别在于，每次减的数都是相同的。借助数线图，学生能够直观感知加减乘除四种运算的意义，同时数线图能形象呈现运算的结果变化过程。如计算87+139，通过让学生画出数线图进行计算（图2），先算87+100=187，再算187+30=217，最后算217+9=226，把139拆分为三个相加，数线上用三段不同的长度表示100、30和9这三个数，让学生形象感知数的大小差距，通过三次的得数对比，发现当加上一个比较大的数时，结果就和原数相差较远，而加上一个比较小的数时，结果就和原数较接近。通过形象的图示表征，学生既理解了口算的计算过程，同时又发展了数感。

（二）借助小棒、计数器模型帮助理解位值制

计算的一个基本原理，相同的计数单位才能相加或相减。结合小棒和计数器使用，能很好地理解位值思想。如计算50+3和50+30，让学生摆出小棒模型，然后在小棒图下方呈现计数器。先在计数器十位上拨5颗珠子，再在个位上拨3颗珠子，十位上的5颗珠子表示5个十，计数单位是十，个位上的3颗珠子表示3个一，计数单位是一，合起来是5个十和3个一，结果是53;计算50+30，先在计数器十位上拨5颗珠子，再在十位上拨3颗珠子，十位上的3颗珠子，表示3个十，3个十和5个十的计数单位都是十，所以3能和5相加，得8个十，结果是80。通过计数器的直观呈现，让学生理解相同的数字，在不同的数位上表示的数值不一样，理解位值制思想，明确相同的计数单位才能相加减。

（三）借助点子图、方格图等进行算法的探索

计算教学过程中，如果只是教给学生计算的法则，让学生遵循固定的程序机械地进行演算，得出计算结果是没有问题的。但是，不经历算法的探索过程，单纯的竖式计算是无法乘载培养学生运算能力和思维发展的。

下面以14×12为例说明怎样借助点子图这个直观模型，进行数形结合，让学生理解笔算两位数乘两位数的算理。

教学过程如下：问题1.两位数乘两位数这个新知识，能否借助点子图，转化为我们已学过的知识进行解决？利用点子图，学生会将14×12转化为14×6×2（图3） ，还有的转化为 12×7×2，这两种转化都是把点子进行平均分。问题2.如果有些乘数不能进行平均分，你怎样圈呢？有没有一种对所有数都适合的圈法？引导学生把12个14分为10个14和2个14，先圈10个14，再圈2个14，10个14加上2个14就是12个14（图4），然后根据所圈的点子图写出口算过程，14×10=140，14×2=28 ，140+28=168。问题 3.你能结合点子图和口算方法，尝试写出竖式计算过程吗？竖式计算时，第一步用2和14相乘，第二步用10和14相乘，第三步把两次乘得的积相加。问题4.10个14还可以怎样分？2个14还可以怎样分？你能在点子图上圈出来吗？引导学生把10个14分为10个10和10个4，2个14还可以分为2个10 和2个4。（图5）口算过程：10×10=100 ， 10×4=40 ，10×2=20，100+40+20+8=168。问题5.你能用列表的方法计算吗？通过借助点子图，加强新旧知识的联系，渗透转化思想。学生理解竖式计算的来龙去脉，点子图、竖式计算、列表计算并不是割裂开来的，它们内在的算理是一致的，只是表现形式不一样。看似零散的知识，老师引导学生对知识进行重组，找到知识间的联系，找到知识的承重墙，培养转化、优化、数形结合思想，学生的思维才会得到拓展，这也将成为学生运算能力发展的重要基石。

【参考文献】

[1]《小学数学课堂教学案列透视》/斯苗儿著  北京： 人民教育出版社 2003.12

[2]《小学数学教师专业能力必修》/杨玉东，巩子坤主编  重庆：西南师范大学出版社  2012.4

[3]《小學教学设计.数学》  2021.01.02.

（责任编辑：张晓东）