补形在立体几何问题中的应用

李秀元　武刚

摘要：直观性是立体几何问题的突出特点，借助物体感受空间形态，借助直观图形培养学生空间想象能力，达到提升直观想象核心素养的目的.图形残缺（不全面）是制約学生认知的关键因素.本文从7个角度，展示补充图形为问题解决带来的好处.

关键词：立体几何;直观;补形;空间想象

中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0061-03

直观性是立体几何问题的一个突出特点.借助几何图形，感知空间点、线、面的位置关系、形态变化与运动规律.图形残缺不明是制约学生认知的一个关键因素.补全图形是基于逻辑推理，发展学生空间想象能力的重要手段.下面从7个角度，展示补形为问题解决带来的好处.

一、补形判断位置关系

线面位置关系的判断，是立体几何发展空间想象能力的重要方式，主要涉及到线面平行和线面垂直.图形残缺会影响到学生对关系判断依据的确认，补全图形可以很好地解决直观判断这一问题.

三、补形确定平面的交线

解析确定两个平面交线的理论依据在于公理3和公理1.由于平面AEF和平面ABCD有公共点A，故只需找到两平面另外的一个公共点即可.过点E作EN⊥DC，交DC于点N，连接NB，则BF∥EN，而BF≠EN，所以EF和NB延长必相交，设交点为M，连接AM.因为M∈EF，所以M∈平面AEF.同理，M∈平面ABCD，即点M为平面AEF和平面ABCD的公共点.所以，直线AM为平面AEF与平面ABCD的交线.

四、补形求二面角的大小

六、补形求点面距离

七、补形求外接球的体积（表面积）

我们知道，任何三棱锥都有外接球.我们更知道，任何长方体都有外接球，且球心为对角线的中点.一般情形下三棱锥的外接球球心是不易确定的，如果能将三棱锥补形成长方体，解决问题也就轻而易举了.

参考文献：

[1]人教社课程教材室.普通高中课程标准实验教科书数学（必修2）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[责任编辑：李璟]

作者简介：李秀元（1973.11-），男，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.