关于向量两个维度的量化表示

张青雨

【摘要】向量展现了几何与代数的双重特性，是解决几何、代数、物理问题的重要工具，但其基础逻辑较为复杂，很多学生难以理解，自然无法在实际中应用.因此，本文从向量两个维度的量化表示入手进行研究，以期帮助学生量化实际的应用逻辑，并结合例题剖析，全面优化学生的解题思路，切实提高教学效率和教学质量，同时为向量教学提供一定的参考.

【关键词】高中数学;向量理解;维度量化;数学语言

在高中数学教学内容中，向量占据了重要地位，它在其他数学知识的学习上也发挥着很大的作用.向量自身的属性比较特殊，它可以将多个数学知识有机联系在一起，切实提高教师教学的有效性.向量兼具了大小和方向，需要用多个实数进行确切表达.对于一个拥有双重身份的概念，教师在实际教学过程中要引导学生从正确的角度入手，深入分析双重维度的量化表达方式.

一、向量学习的重要性

向量作为高中数学教学中的重点内容之一，具有双重身份，系统地研究、掌握向量内容可以让学生的计算能力以及思维能力得到大幅度提高，为学生未来的学习奠定良好的基础.不仅如此，向量中的数形结合思想可以促进学生对数学本质的理解，让数学教学工作得到全面的提高.从数学课程改革发展的趋势来看，向量作为解决数学问题的重要工具，可以有效促进学生解题能力的提高.但从目前来看，很多学生在向量理解上还存在问题，故教师必须提高学生对向量的理解，才能充分发挥向量的实际应用价值.向量最初应用在物理学中，而后逐渐被应用到了高中数学中.它以数、量和运算为根本，向量的加减法、数乘向量、向量的数量积都是非常重要的内容.高中阶段的向量学习旨在为下一阶段的学习奠定基础.作为几何代数化的重要组成部分，加强对关于向量两个维度的量化表示的学习，可以让学生建立学习自信心，从而在学习其他数学知识的过程中能和其他学科联系在一起，以发展的眼光看待向量和中学数学的结合.

二、向量两个维度的量化表示

第一，对向量的理解.向量是在数量的基础上多了一个维度，它其实是两个维度的量：数量+方向.因此，理解向量是学生的一个难点，尤其要在方向上加重对向量的理解.因此，数形结合在向量中的体现极其重要.

第二，在数量维度上，可以用向量的模来表示，那么按照教材的逻辑，如何用数学语言（公式）来表示方向这个维度呢？所以，我们需要引入向量的坐标表示，从而将向量的两个维度都进行量化，用数学语言进行表示.

1.利用向量坐标实现向量维度量化

根据平面向量的基本定理，可知平面内任意一个向量OP在以另一组不共线的向量OA，OB为基底时，它有且仅有唯一的有序实数对（λ，μ）使得OP=λOA+μOB.而逆推可得基底（λOA，μOB）对应于向量OP.这种量化方式可以让向量OP在坐标系中的坐标更加合理，将其和三角函数结合在一起综合性会更强，可以更好地完成相关解题内容的处理.

平面几何和平面向量之间也有着密切的联系，但从目前来看，由向量的夹角可以推断出几何图形的垂直关系，故利用向量的坐标运算可以确定图形的位置关系.在高中数学中，向量的坐标运算是几何问题代数化的重要工具，学生需要具备数与形的转化能力和较强的逻辑思维能力.而这种向量两个维度的量化表示无疑可以帮助学生更好地完成学习，将向量的作用发挥到最大.以下题为例，其中就运用到了向量的坐标运算，将向量的两个维度进行量化，从更好地分析并解题.

例题在△AOB中，有OA，OB，AB三条边，其中M和N分别为OA，OB两边上的点，在三角形中，BM，AN相交于点P，已知OA=a，OB=b，OM=λa（0<λ<1），ON=μb（0<μ<1），OP=p，求如何用a，b表达OP=p.

解题从图1和已知数据来看，可以推斷出OP=p=ON+NP或者OP=p=OM+MP，此时，假设MP=mMB=m（OB-OM）=m（b-λa），

又ON=μb，设NP=nNA=n（OA-ON）=n（a-μb），

进而将两个式子合二为一，化简后就可以得到p=na+μ（1-n）b=λ（1-m）a+mb.在此基础上，借助方程思想就可以进一步求出向量OP用a，b的表达式p=λ（1-μ）1-λμa+μ（1-λ）1-λμb.

由上可知，向量的方向性非常重要，要想准确地将p表达出来，可利用向量和向量之间的运算得到线段的数量关系，然后根据向量坐标得出不同点坐标之间的数量关系.由此可知向量坐标表达能力的重要性.在立体几何运算中，这种量化表达方法也具有重要作用，这是因为在立体几何运算中也可以将其转化为平面问题进行解决，但需要注意向量的方向性.

2.借助数量和方向完成向量维度量化

在立体几何解题中也可以利用向量的方法进行求解，如根据坐标得到线面角的大小，或者借助向量的方向、数量特性等得到线面角的大小.在立体几何解题过程中，学生需要具备立体化思维能力，借助向量的加法、比例关系等得到相应的结果，有效解决三角函数问题.

例题某正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长分别为a和2a，求直线AC1和平面ABB1A1所成角的大小.

本题可借助数量和方向完成向量维度量化，则可以有效判定线与面所成的角，利用向量进行解决效率较高，难度也会相对降低.

解题从图2和已知条件中能够明确得到A，B，A1，C1四点的坐标，取A1B1的中点D，其坐标也可以求出，按照图2完成辅助线的连接，能够进一步得到向量DC1，AB，AA1的坐标，按照相应的向量规律，可知DC1·AB=0，DC1·AA1=0，因此可知直线DC1和平面ABB1A1相互垂直，而直线AC1和平面ABB1A1之间的夹角为∠C1AD，根据向量坐标和向量夹角公式就可以得到角的大小为30°.

三、向量两个维度的量化表示的教学建议

由上可知，向量在三角关系和几何中得到了广泛应用，其方法简单，理解直观，可以将坐标、线段、向量联系在一起.但学生对其的理解还存在很多问题，无法真正发挥向量的价值，尤其是很多学生无法理解

向量两个维度的量化表示.在实际教学中，向量的概念和定理都较为抽象，故教师在教学中将其量化表示是必要的，这可以确保学生更容易理解向量内容，同时认识到用向量解题的便利性.

（一）联系实际展开量化表示教学

向量最開始出现在物理学中，都是具有大小和方向的向量，教师可以借助实际案例，更好地表现出向量的模以及单位向量的概念.高中阶段，学生可以接触到的向量主要表现在大小和位置关系两个方面，结合实际生活案例可以让这两个维度得到更好的量化.比如，某公交车先向东开出500米，后又向北开出600米，然后又向西南开出200米，求公交车和起始点之间的距离和方位.利用向量可以很好地解决这一问题，建立平面直角坐标系就可以得到向量表达式.将数学知识和实际生活相结合，不仅能让学生理解向量的实际应用价值，也可以使其了解向量的基本性质.教师在数学教学中应用位移、速度、加速度等物理量作为向量的因素，能让学生更好地感受到向量的存在，从而对向量形成更加清晰的理解.

（二）重视联系强化量化表示教学

从理论的角度出发，向量的代数性质贯穿整个高中数学，向量的运算同数的运算之间有着紧密的联系，因此，教师在实际教学过程中可以引导学生对向量运算的规律进行总结和归纳，同时使学生明确向量的几何意义，有效实现向量代数运算和位置关系之间的转化，实现对向量两个维度的量化表示.比如，当ab=0时，向量a和b之间属于垂直关系.在高中数学教学中，几何代数化的教学可以让学生更好地认识图形和空间，快速解决问题.教师在教学中有意识地渗透这一思想，对学生未来的学习具有重要的促进作用.在“平面向量”这一知识的教学过程中，教师要让学生充分认识到向量概念和向量运算的重要性，明确平面向量和空间向量之间的区别，对向量形成多元、多维的认识.新时期，受到多方面因素的影响，数学教学方式日益丰富，课堂也朝着多元化的方向发展，面对不同的教学方式和教学渠道，教师的教学要贴合学生实际以及教学需求.在对一些抽象的数学知识进行教学中，教师可以借助多媒体技术进行教学，帮助学生理解几何体知识，培养空间逻辑意识，也可以进行实际操作，使学生感受学习立体几何的乐趣.

（三）巩固基础优化量化表示教学

现如今，高中数学教学在朝着“夯实基础、回归教材”的方向努力，故教师要正确对待数学基础知识，从而让学生认识到基本功的重要性.很多学生在学习向量时一味地借助向量特点展开计算，忽略了向量中的基础概念、定理、公式等基本问题，在应用时想不起来，也无法第一时间从变式中找到关键.因此，教师在向量量化表示的教学过程中应重点针对基础概念、定理、公式进行讲解，尤其是概念的核心内容和附加条件，不仅要让学生牢记熟记，还要能够做到灵活应用和熟练掌握.向量作为苏教版数学教材中最为基础的部分，其涉及了大量的概念，而且很多概念都较为抽象，如果学生对概念掌握不牢固，那么真正做题时就会出现问题.因此，教师在教学时要适度放缓，确保每个重要的概念都讲解清楚，并让学生在掌握概念的基础上利用课后练习题对知识点进行巩固.此时，教师可以借助问题引导法，让学生以小组为单位，自主阅读教材，找出关键性概念，并在初步阅读后，先自己完成课后练习题，在教师讲解和小组分析后，重新对练习题进行审视，以加深印象，巩固思考，强化认识，真正理解向量两个维度的量化表示.

综上所述，向量是数形结合体，虽然具有数形的特点，但是又不同于数形，它在解决数学问题中发挥着至关重要的作用.教师在向量教学中量化两个维度的表示，可以让学生对数学问题形成更加全面的理解，让数学教学质量得到提高，还可以让学生产生最直观的感受，切实激发学生的想象力.这种表示方法可以让学生更好地借助向量这种工具，运用数形结合的方式解决问题，真正理解向量的多重意义.

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