结构性思维：洞察知识的全貌

朱满喜

【摘 要】运用结构性思维，有利于全面了解知识、系统掌握知识，洞察知识的全貌。教师应用知识的整体视野、教学的全局意识，并根据数学知识结构和学生认知结构特质，连线、勾面、成体，让教学更具立体性、结构性和系统性，最大限度地彰显、发掘、拓展数学学科的育人价值。

【关键词】结构性思维 一一列举 解决问题的策略

常说“数学是思维的体操”，思维是人类所具有的高级认识活动。按照信息论的观点，思维是对新输入信息与脑内储存知识经验进行一系列复杂的心智操作过程。因此，在数学教学中培养学生的思维能力非常重要。

在小学数学教学中，我们经常会提到两种思维：形象思维和逻辑思维。形象思維主要是指人们在认识世界的过程中，对事物表象进行取舍时形成的，只用直观形象的表象去解决问题的思维方法。逻辑思维则是人们在认识事物的过程中，借助于概念、判断、推理等思维形式，能动地反映客观现实的理性认识过程，又称抽象思维。形象思维和逻辑思维是两种最为基本的思维形态，以借助的材料或信息加工的方式来区分，尤其在小学数学学习中，教师应创设多样的探索情境，让学生在形象思维和逻辑思维之间来回演练，相互支持、生发，从而引导学生对知识点深度理解，培养思维能力。笔者在听课以及教学实践中发现，如果一味只是注重形象思维或逻辑思维的训练，只会在理解、发现新知时起作用，而不足以全面了解知识的起源、过程、运用等。笔者认为，教师首先要关注学生结构性思维的培养，这样才能使他们了解知识的全貌。本文以苏教版“解决问题的策略（一一列举）”教学为例，探讨结构性思维的重要性。

结构性是就客观事物的组成部分按照一定顺序进行排列组合。结构性思维是指从结构的视角分析事物的一种方法，强调从系统的结构去认识客观事物，并从中寻找最优结构，以获取最佳效能的思维方法。结构性思维是世界观和方法论体系中一种重要的思想范式，在我们的思维过程和研究活动中有特殊地位，发挥着重要作用。结构存在于每个整体与局部的关系的无穷变化中，每个局部表现整体，而局部的意义和价值又是由整体来决定的。因此在小学数学教学中培养学生的结构性思维，有利于全面了解知识，系统掌握知识，还可以洞察知识的全貌。

一、观课后个人反思

反思一：管中窥豹，以点概面——教少了

在观课“解决问题的策略（一一列举）”时常见年轻教师把“情况一个一个列举出来就是一一列举”和“列举时有序列举”作为教学重点和难点，整节课把“有序思考”“不重复”“不遗漏”三个关键词如同口号似的一再强调和说明。笔者认为，“有序思考”确实对于列举来说非常重要，但这不是本节课的全部知识点，也不是列举的全貌。对于这样一节专门讲授“一一列举策略”的新授课来说，让学生只记住了列举时要有序思考远远不够。其实，在低年级教材中已经渗透了一一列举的方法，已经让学生去有序观察、有序罗列，学生对“从小到大”“从大到小”排列已经有了丰富的活动经验。在五年级再次把“列举”作为一个新授课来教学，则需要更系统地去思考和结构化地处理教学，从解构列举，到再构列举，要让学生了解为什么要列举，什么是列举，怎么来列举，用列举对解决问题的影响，等等。

反思二：笑语盈盈，得鱼忘筌——教浅了

教学现场：教师板书课题开门见山，“一年级就学了，请写出10的分成”。对比几个作业，强调有序。小结，这样一个一个写出来，就是一一列举，列举时按顺序、不重复、不遗漏。全班学生兴致盎然、极其自信。然后例题改练习题，通过一一列举找到解决问题的答案。教师还设计了层次性的练习，非常典型的题目搭配问题的列举，在3名男生和2名女生中找一男一女来主持，有几种不同情况。学生上台表演，现场搭配，热闹非凡，确实也收到了非常好的效果。再通过拓展题——先分类再列举的题目练习，拓展对列举的运用方法。整节课学生的主体作用发挥得淋漓尽致，教师幽默风趣的语言吸引着学生，学生爱上这样的数学课，爱这样的老师。

听课的教师都极其推崇这样的课堂，对于教者的个人教学魅力笔者也是非常欣赏。很多名师课堂都有这样的共性，教师退在后面，让学生来表达、来争论，学知识的同时也生长能力。学生学得非常兴奋、非常有自信，这对于数学学习来说特别重要。但热闹背后我们也要冷静思考，学生对新知架构是否如自我感觉那样顺风顺水呢？数学思维是否如学习情感那样持续高涨和进阶呢？当然，有功底的名师往往教学气氛热烈，思维含金量也高。可是年轻教师或学生会不会只被这热闹生动的场面而兴奋得“乐不思蜀”“得鱼忘筌”，无法对数学知识进行更系统和本质的思考和学习呢？

二、备课时系统性思考

“一一列举”是五年级学习的“解决问题的策略”，学习之前学生已经做过相关的列举活动练习，如10的分成，2、3、5一共可以组成多少个不同的三位数等。如果之前的渗透是练习，那么本节课是对于“一一列举”的新授课教学。既然是新授课，就需要学生对于“一一列举”在头脑中形成更加系统和结构化的知识，不能是碎片知识的堆砌，只有站到数学知识整体、全局、结构、系统高度进行教学，才能将数学知识“拎起来”“立起来”“串起来”“连起来”，从而让数学知识连线、成片、织网。备课时基于结构化思维，希望学生对于“一一列举”这个策略有更全面、更系统和更深入的理解。

（一）什么时候要用“一一列举”

列举并非是“从条件想起”“从问题想起”这样的基本策略，它是特定问题中的一种常用策略。一般来说，出现结果比较多的时候要用列举，复杂问题无法解决时，可以从简单入手进行列举，从而发现规律。

（二）怎么用“一一列举”

列举第一步教师往往会忽视明确列举要求，这也是列举的前提。每一次列举，必定是围绕一个要求来列举，有的是“周长一定”，那么长加宽的和一定;有的是“面积一定”，那么长乘宽的积一定;有的是“每40分钟响一次”，那么时间跨度一定……但凡列举，必有一个列举要求。列举第二步是找合适的列举形式，可以是列表、画图、列算式、符号、文字、数字等，只要是简明扼要、清晰明了就好，不用太多拘泥于形式。第三步是有序思考、有序表达。列举的“有序思考”极其重要，这样才能保证列举不重复、不遗漏。列举“三步走”，正是结构化思维的训练。

（三）列举的结果是什么

一一列举了全部情况，这不是列举的结果。列举结果需要指向解决问题，所以列举后，还要分析列举情况，确定问题解决的方法。

（四）思辨认识列举的作用

本节课教的是列举，但是要让学生站在解决问题的全局高度认识列举策略，系统而思辨地认识到列举的作用。列举是解决问题过程中的一种方法，并非结果。列举是从简单列举到发现规律，最终走向解决更复杂的问题，要引导学生从列举中发现规律，如果有规律可循，就不需要再进行列举。

三、设计中结构化思维

（一）创设情境，唤起策略需求

（1）复习：回顾一下，我们已经学过哪些策略？

（2）今天学习新策略。出示例题：王大叔用22根1米长的木条围一个长方形花圃，怎样围面积最大？读题，说说有哪些关键词？根据这些关键词你能想到什么？

（3）你打算用什么方法找到面积最大的围法？

【设计意图】通过审题发现围法有多种，要找到面积最大的围法，首先要通过把多种情况都罗列出来，这是从问题出发思考，需要用列举的方法才能解决问题，是引发策略的需求。让学生初步感知题型特点，从问题出发，自下而上引发列举需求。

（二）解构步骤，体会策略过程内部结构化

1.审题分析——明确列举要求

围成的所有长方形必须遵循哪个条件？（周长22米，也就是“长+宽=11米”）

指出：情况有多种，但必须要符合“长+宽=11”，这是列举的要求。

2.自主探索——简明有序列举

（1）你打算怎样把所有的情况都表达出来？（画图、列表、算式）

（2）学生用自己的表达方式独立尝试完成列举，教师巡视。

（3）交流学生作品。学生介绍，其他同学质疑、点评。

对比作品，教师追问：为什么这样列举好？

引导、启发学生发现：一是要简单明了地表达，二是要有序思考才能做到不重复、不遗漏。

（4）小结提问：这些作品尽管表达形式有图、有表、有算式，但是有什么共同的地方？

引导学生回顾列举的要求：要有序、不重复、不遗漏。

3.发现规律——分析解决问题

所有可能的长与宽都列举出来后，并没有结束，还要根据列举的情况，分析问题，找到答案。（板书：分析解决问题）

在依次计算面积时，你发现了什么？（当周长一定，长与宽越接近，面积越大）

指出：这个规律是通过列举不同的长与宽，求出其面积后发现得到的。（发现规律）

追问：有了这个规律，当长方形的长+宽=51时，哪种情况面积最大？还需要列举吗？（不需要，直接运用规律，当长26、宽25时，面积最大）

当长+宽=50呢？（正方形是特殊的长方形，周长一样，正方形的面积比长方形大）

4.总结回顾——梳理列举要点

（1）回顾解决问题的过程，你有什么体会？

（2）在以前的学习中，我们曾经运用列举的策略解决过哪些问题？

【设计意图】充分相信学生自主探索列举策略的能力，让学生在尝试列举、交流、对比、质疑中发现列举的注意点。用教材例题，整体框架也依据教材，设计亮点处就是把列举过程进行解构，即“明确列举要求—简明有序列举—分析解决问题”三大步骤，得出结构化列举策略，让学生对整个列举解决问题的全过程有更为清晰的认识。

（三）多样练习，感知策略外部使用结构化

1.练一练1

读题“一个音乐钟，每隔一段相等的时间就发出铃声。已经知道上午9：00、9：40、10：20、11：00发出铃声，那么下面哪些时刻也会发出铃声？13：00   14：40   15：40   16：00”，自主完成。

学生交流后，教师追问：你是依据什么来列举的？列举时按照什么顺序？（40分钟响一次，时间顺序）

根据列举情况，回答问题。仔细观察对比所有列举，发现发出铃声时刻有什么规律特点？（小时数为单数是整点和40分时都会响铃，比如9：00、9：40、11：00、11：40;小时数为双数时分别在20分响铃，比如：10：20、12：20）

追问：22：00会响铃吗？

2.练一练2

读题“学校食堂某天中午供应的荤菜有3种，素菜有4种，小洪选1种荤菜和1种素菜，一共有多少种不同的搭配？”，用自己的方法来列举找到答案。

交流方法。（连线、符号、文字）

教师追问：你是依据什么来列举的？（一荤一素）列举时按照什么顺序？（先找一种荤菜配4种素菜，再依次配，三种荤菜有3个4种搭配方法）先找荤菜来配素菜，也可以先找素菜来配荤菜吗？取出一种素菜配荤菜，有几种配法？有几个几种配法？

教师再追问：不管是从荤菜出发配素菜的3个4种搭法，还是从素菜出发配荤菜的4个3种搭法，都可以用一个算式来计算吗？（3×4=12种）

教师又追问：如果食堂今日供应6种荤菜和8种素菜呢？（6×8=48种）

3.对比总结列举步骤和作用

前面完成的三题都是用列举解决问题，有什么共同的地方？（都是通过列举情况找到答案，都按照“明确列举要求—简明有序列举—分析解决问题”的步骤完成）

小结：列举是解决一些特殊问题的一种策略，往往通过前期简单数据列举可以发现规律，运用规律就可以直接解决问题。

【设计意图】再通过2道题的列举练习，再次完成列举三步骤过程，再次用结构化思维建构新知、认识新知。联合3道例题对比发现，巩固结构化思维。同时，每一题都设计追问，通过列举发现规律，借助规律无须列举就可以解决更复杂的问题，感知列举策略在解题中的作用。认识列举，更要思辨列举策略，并非本节课讲列举，那么列举就是最好的方法，发现规律是更优化的方法。

4.拓展巩固，思辨策略作用

出示题目：10个点一共可以画几条直线？

提问：你打算怎么解决问题？

引导启发：复杂的难题可以从简单开始，从简单的列举中发现规律，从而解决问题。

指导完成列举，并解决问题。

小结：化复杂为简单，从简单出发，列举情况发现规律，从而解决复杂问题。碰到难题不着急，可以从简单列举开始逐步发现规律。

【设计意图】前面3题都是直接进行列举，最后拓展题较复杂。引导学生从简单列举开始思考，也是结构化认识列举在解决问题中的作用。

教师基于系统性思考、结构化思维，忠于教材原题设计上述教学过程，突显结构性思维教學。一是列举过程内部结构化，“明确列举要求—简明有序列举—分析解决问题”三步骤，既是解构，也是再构过程，从而达到更全面掌握列举策略的目的。二是列举外部，解决问题过程的结构化，明白列举策略在解决问题中的地位和作用。通过两种结构性思维教学，才能比较清晰、全面、系统、客观地学习新知，洞察知识的全貌。结构性思维教学，要求教师具有知识的整体视野、具有教学的全局意识，要根据数学知识结构和学生认知结构特质，连线、勾面、成体，让教学更具立体性、结构性和系统性，最大限度地彰显、发掘、拓展数学学科的育人价值。