数学课堂教学应“顺势而导”①

余业兵 张晓斌 范美卿 龙万明

(1.西南大学附属中学校 400700；2.重庆市教育科学研究院 400015；3.重庆市育才中学校 400050)

1 问题的提出

数学课堂教学是一个动态生成的过程，它具有生成性、开放性以及多变性.课堂教学中的生成源于教师的预设，是学生的已有知识储备、数学活动经验、数学思维经验、即时的情感态度等对教师预设问题综合作用的结果.这种动态的结果有的是按教师预设的目标稳步推进的，也有的是即时的、无序的、不断变化的、不可完全预设的.那么我们如何把握这种动态课堂，以取得更好的教学效果呢？笔者认为，教师应对教学的素材包括即时产生的素材“顺势而导”，顺应数学，顺应学生，随数学知识发生发展的规律和学生的思维设计或者适时调整自身的教学设计，灵活调控，顺势引导，这样的课堂方能收到好的效果.

2 什么是课堂教学中的“顺势而导”

在瑞士结构心理学家皮亚杰看来，“人生而理性，人都有一种理解世界如何运作并找出它们存在的次序、结构和可预测性的内在需要.这种个体对世界的理解和他们的经验之间的认知平衡状态叫做趋力(equilibration)”[1].面对新知识，如果用已有知识经验可以理解，则用同化方式；否则采用顺应的方式，即调整已有的认知经验，“从而与认知系统所拥有的知识和思考方式相一致”[2]，以达到一个更高水平的平衡.人的认知发展本质就是个体面对新的刺激信息，通过不断的同化和顺应，从较低水平的平衡到不平衡再到更高水平的平衡的不断适应的过程.

根据皮亚杰平衡化建构理论，课堂教学动态过程是这样的：学生先是处于一个从较低水平的平衡状态，教师通过引导不断给予学生新的刺激信息，在学生实现同化和顺应的过程中，不断达到更高水平的平衡状态.为更好把握这种过程，促进学生认知水平更好发展和课堂效益最大化，教师给予的新刺激就必须顺应学生的已有知识结构，考虑其当前对新刺激的同化与顺应的能力水平.这样的引导本质是教师对教学诸要素的一种顺应，我们把课堂教学中这种顺应引导叫做“顺势而导”.也就是说，课堂教学中教师要善于借助学生“学”的力量来发挥教师“导”的更大力量，即所谓“借力发力”.

3 数学课堂教学应顺什么“势”而导

章建跃博士说过：“数学教学应做到取势、明道、优术.”[3]那么，就数学课堂教学而言，教师的引导应该取什么“势”呢？这里的规律又都有哪些呢？我们通过案例就顺什么“势”，怎么“导”提出自己的一些思考与想法.

3.1 数学课堂教学要顺“数学知识发生发展之势”而导

一方面，数学知识往往是以核心概念及其产生的子概念等构成的知识群而存在的，这些知识的生成具有数学特有的生长规律；另一方面，每一个数学知识都在相应的知识体系中占有一定位置，具有相应作用，它的生成具有其体系内的逻辑规律.这就要求我们教师在课堂引导时顺应这种规律，只有这样，学生获得的知识才是逻辑严密的有机整体，过程中的感悟与思维才更有序.

案例1“条件事件与积事件”教学片段

问题1已知试验Ω：“抛掷一枚质地均匀的硬币两次”，已知事件A为“第一次出现正面”， 事件B为“第二次出现正面”，事件C=A∩B.求事件A、B、C的概率并用图形来表示它们的关系，你发现了什么规律？

师：这就是说，两个事件积的概率等于概率之积.

变式若事件D：“至少有一次出现正面”，求概率P(C·D).

追问1对任意两个随机事件一定有积的概率等于概率的积吗？

师：那P(A·B)与P(A)、P(B)到底有什么关系呢？ 请看后面的问题.

追问2设事件E: “在第一次出现正面的条件下，第二次出现正面”, 求概率P(E).

师：你算出的结果与事件C一样，那么它们真的一样吗？

生3：…….(思考中，迷惘，有同学手举很高的，老师坚持等待一会儿)

师：说得非常好，结果总数变了，说明什么变了？

生3：前提条件变了，事件C的前提是这次试验Ω：“抛掷一枚质地均匀的硬币两次”，事件E的前提是事件A.

师：事件A都已经发生了还说明了什么？

生3：事件A成了必然事件.

师：很好，事件C和事件E发生的前提条件不同，事件A的随机性也不同.(即时做出表格)

不同点条件事件E积事件C发生前提这次试验事件A事件A必然事件随机事件

追问3你能用图形表达这种区别吗？

生3：条件事件是A∩B在A(条件)中占的比例，而积事件是A∩B在全集中所占的比例.

设计意图通过尝试发现积事件的概率和事件概率的积引发学生的探究欲，再进一步把条件事件和积事件做充分的比较学习，使学生在充分体会概念内部逻辑关系的同时，锻炼其发现问题和分析问题的能力，落实逻辑推理核心素养的培养.

案例评述“条件概率”这个概念一直是学生学习的一个难点和易错点，这里教师借助“条件概率”和“积事件的概率”的区别与联系(片段中侧重了区别，联系限于篇幅未在文中给出)，在引导中充分顺应条件概率概念产生发展的过程及其在概念体系中的逻辑关系，也就是顺应了数学知识发生发展之“势”，学生学起来也就不那么困难了.

3.2 数学课堂教学要顺“学生当前认知结构之势”而导

教育心理学家奥苏贝尔认为：“学习过程是在原有的认知结构的基础上，形成新的认知结构的过程.”[4]根据这一理论，学生原有的认知结构对于新的学习是一个极其关键的因素，这就要求教师的引导应充分考虑学生已有的认知结构，既不能把问题设置得过于简单，表面上课堂很热闹，而实际上学生的思维并未得到充分的锻炼；也不能设置得过难，让学生够不着，学生思维根本不能到达；更不能重复学生已经会了的发现.顺应学生的认知结构一般说来应包括两个方面:一是顺应学生已有的知识结构，即教师的引导应充分考虑学生以往所学的相关知识对新学知识可能出现的认识与理解；二是顺应学生的已有活动经验，即教师的引导要考虑学生对类似问题曾经有过的类似数学活动经验可能产生的类比迁移.

案例2“平面向量的实际背景及基本概念”教学片段

•向量集中的特殊元素

问题3向量集当中，有没有特殊的元素呢？

实数集向量集特殊元素0零向量1单位向量

追问1在实数集中，有没有特殊的元素？那么向量呢？

•向量与向量的关系

问题4我们研究了向量集中的两种特殊元素，那么向量与向量之间有没有什么特殊关系呢？

活动2如图正方形ABCD与正方形CDEF，利用图中的线段作出向量，你能发现两个向量之间的一些特殊关系吗？(两分钟独立思考，然后两分钟小组讨论)

关系两条线段两个向量相等长度相等长度相等方向相同平行所在的两直线没有公共点方向相同或相反(也叫共线)

设计意图通过类比学生熟悉的实数中的特殊元素启迪学生思维，引导学生自己发现向量集中的特殊向量；在基于学生非常熟悉的两条几何线段特殊位置关系的基础上设置开放性问题，引导学生自己发现向量中的特殊关系，积累了通过类比研究数学新对象的活动经验，促进了学生“四能”的提升.

案例评述这里教师借助了学生非常熟悉的两类已经学过的量(数量与几何线段)进行类比学习，由于借助了学生已有的知识结构和研究经验(研究实数和几何线段的经验)进行引导，这种顺应使得新知的获得不仅是学生主动思维的结果，更是为学生如何研究一种新的量提供了一个很好的范例.

3.3 数学课堂教学要顺“学生实时思维活动之势”而导

课堂教学中数学知识在学生头脑中的加工过程往往异常复杂，学生的思维也会随着教师的思维、同伴的思维、数学家的思维(或显或隐存于数学知识背后)不断变化，具有不可完全预见性，时不时会出现一些超出教师预设的意外.这就要求教师引导的重点应是在顺应学生思维活动的前提下“提供适时和恰当的支持，提升思维的深度.”[5]一般说来，这种顺应“学生思维活动”的引导需做到以下三点：一是要选好思维引导的切入点，通常是选取学生思维不易到达的地方进行引导，保持思维的复杂性和完整性；二是要善于利用学生已经解决过的问题，用其结果或用其方法或用其思维经验，引导时要多用“元认知提示语”，比如“我们前面在分析一个函数时一般会分析它的什么？对于这个函数我们又该怎样去分析它呢？”；三是要让课堂节奏慢下来，留给学生思考的空间，要通过引导让学生的思维深入下去，切忌引导问题设计太细、梯度太小而禁锢了学生的思考或用讲解掩盖了学生的思考，使学生掉入“学得多，悟得少”的误区.

案例3“函数的单调性与导数”教学片段

•在上第一个班时遇到了一点意外

环节1概念的直观感知与粗略猜想的提出

问题1求出下列函数的导函数并写出单调区间.

追问1可导函数在某一个区间上的单调性与它的导函数有什么关系？

生：导函数大于零，则函数为增函数；反之，为减函数.

环节2概念的理性思考与辨析完备

问题2你能从几何图形的角度对这个猜想做出几何解释吗？

生1：可导函数在某个区间上为增函数，从图像上看，切线的斜率大于零，故导函数大于零.

(教师用几何画板动态演示)

师：很好，这就是我们今天要学习的“函数的单调性与导数的关系”.下面我们一起对它做一般性表述：

一般地，函数f(x)在某个区间D上可导，如果在区间D上f′(x)>0，那么函数f(x)在区间D上为增函数；如果在区间D上f′(x)<0，那么函数f(x)在区间D上为减函数.

师：也就是说“可导函数f(x)在区间D上f′(x)恒大于0”对于“f(x)在区间D上为增函数”来说是充分的.下面我们来看它的应用.

一个学生突然站起来说：老师，我有一个不成熟的想法，它有充要条件吗？

师：有的，这是大学我们要研究的内容，高中阶段不做要求.

生：哦…….(一副不甘心的样子)

课后反思此处的教学处理总觉得不妥，学生思维既然能达到，为什么不顺势把充要条件讲了，况且高考、自招均要考查单调性的逆向问题，那是需要f′(x)≥0的，更重要的是讲了学生会对概念理解更深刻，既然讲了利大于弊，干脆就讲吧.教学不要机械地忠于教材，因为教材也不一定就绝对合理.

•在第二个班我们把教学设计改动了一下

环节1概念的直观感知与粗略猜想的提出

问题1求出下列函数的导函数并写出单调区间.(对题目做了调整)

追问1可导函数在某一个区间上的单调性与它的导函数有什么关系？

生：导函数大于零，则函数为增函数；反之，为减函数.

环节2概念的理性思考与辨析完备

问题2你能从几何图形的角度对这个猜想做出几何解释吗？

生1：可导函数在某个区间上为增函数，从图像上看，切线的斜率大于零，故导函数大于零.

追问1可导函数f(x)在区间D上f′(x)恒大于0，f(x)在区间D上一定为增函数吗？

生1：一定为增函数，减函数切线的斜率应该是负的吧.

师：很好，这就是我们今天要学习的函数的单调性与导数的关系.下面我们一起对它做一般性表述：

一般地，函数f(x)在某个区间D上可导，如果在区间D上f′(x)>0，那么函数f(x)在区间D上为增函数；如果在区间D上f′(x)<0，那么函数f(x)在区间D上为减函数.

师：对于教材上的这个知识，老师有些疑问…….

追问2可导函数f(x)在区间D上为增函数，一定需要f′(x)恒大于0吗？

生2：不一定，如f(x)=x3的导函数就是大于等于零的.

师：很好！也就是说“可导函数f(x)在区间D上f′(x)恒大于0”对于“f(x)在区间D上为增函数”来说仅仅是充分的.

生2：是的，它不必要.

师：老师还有一问题：

追问3可导函数f(x)在区间D上为增函数，f′(x)一定是恒大于等于0吗？

生2：一定，因为小于零的话就是减函数了.

师：这个问题改为“可导函数f(x)在区间D上为增函数，一定需要f′(x)恒大于等于0吗？”答案还是一定的吗？

生2：…….

师：请坐下，有知道的吗？

生2：老师，你绕我，前面不是讲了吗？大于0也可以啊.

追问4可导函数f(x)在区间D上f′(x)恒大于等于0，f(x)在区间D上一定为增函数吗？

生3：不一定，如f(x)=e的导函数就是恒等于零的，但它不是增函数.

师：很好，既然可以等于零，又不能恒等于零，怎样的情况才可以呢？

生3：是不是可以这样理解，只要等于零的点是单个的就行？

师：非常好！我们可以这样说，可导函数f(x)在区间D上f′(x)恒大于等于0，只要等于零的点是离散的，函数f(x)在区间D上一定为增函数.这里“离散”应该怎样理解呢？

生3：就是不能构成一条连续的线段，那样就会恒等于零了.

师：很好，于是我们可以得到一个有用的结论：

结论一般地，函数f(x)在某个区间D上可导，如果在区间D上f′(x)≥0，同时f′(x)=0的点是离散的，那么函数f(x)在区间D上为增函数.(减函数留给学生自己说)

设计意图由于高中阶段不要求掌握可导函数f(x)在某个区间D上单调的充要条件(涉及到子区间的概念学生无法理解)，实际应用时仅仅知道充分条件显然是不够的，我们在这里引导学生通过不断质疑和辨析，虽然没有给出充要条件，却得到一个非常有用的结论.

案例评述教学中的一些意外是学生即时思维的结果，有时我们加以利用，选取适当的切入点顺势导之，不但可以加深对知识的理解，还可以保持学生思维的复杂性与完整性.本例改动后的设计顺应了学生的思维，对教材内容进行了适度加工与拓展，在学生思维不易到达的地方提供了合理的支持，正是顺应了学生实时的思维活动，取得不错的效果也就顺理成章了.

3.4 数学课堂教学要顺“学生即时心理状态之势”而导

在数学教学中，我们体会到，凡是能积极、主动地参与获取知识过程的学生，他们学习数学的兴趣浓厚，求知愿望强烈，数学素养会得到较快发展.而在课堂教学中，伴随着数学知识、教师思维、同伴的思维的动态作用，学生的心理状态也在即时地发生着“化学反应”，实验结果具有不可完全预见性：关注、兴趣、期待、喜悦、兴奋、迷茫、害怕、恐惧、焦虑、冷淡、抵触、厌倦等皆有可能出现[6]，如何才能产生比较好的教学效果呢？我们认为，一个善于引导的教师往往能够根据学生的即时的情绪和心理状态，创设合适的情境，激发学生的思维，使学生产生浓厚的兴趣，让学生乐在其中，使其产生“兴趣—成功—更大的兴趣—更大的成功”的良性循环.具体地讲，要做到以下三点：一是要借助学生的好奇创设合适的“情境”激发学生思考的热情；二是要善于借助学生的错误制造矛盾冲突激发学生学习的兴趣；三是善于制造悬疑激发学生的探究欲；四是要善于在学生犯囧或犯错时用我们的恰当的语言保护学生的自尊心.

案例4“数系的扩充和复数的概念”教学片段

环节1情境再现与提出问题

问题1能否将10分成两部分，使得它们的积为40？[7]

师：这是意大利数学家卡尔达诺(1501—1576)提出的一个问题，它可以化归为求一元二次方程x2-10x+40=0的实数解.它有实数解吗？

生：负数不能开方，所以无解.

案例评述这里通过历史情境再现500年前的卡尔达诺说的这两句话，不单单是为了融入数学文化，更重要的是通过情境制造悬疑激发学生想要弄明白的欲望，“为什么写出的是两个怪东西呢？”“为什么良心要受到责备呢？”“为什么他还是要写出来呢？”学生的心理即刻产生了浓厚的兴趣，顺应学生这种心理状态之“势”而“导”，好的学习效果也就有了情感态度的保障.

4 对动态课堂中“势”与“导”的一点感悟

课无常“势”，“导”无定法.由于数学知识发生发展过程的复杂性和人的思维活动的复杂性，数学课堂中的生成总是多种多样，学生的即时反应也是千变万化的，这就导致了教师的“导”虽有一些规律可循，但也没有一种固定的方法可依，这就要求我们只有不断学习，不断摸索，不断反思，才有可能成为一位善于引导的教者.顺什么“势”，如何“导”的话题一直都在发生，也永远都会发生！