通过代数运算研究数列建立数列模型解决问题

章建跃

(人民教育出版社 课程教材研究所 100081)

在处理现实中的变化问题(例如存款利率、购房贷款、放射性物质的衰变、人口增长等)时，通常采用按时序间隔一定时间记录数据的方法收集数据.如果将第n次记录的数据表示为an，那么就得到了一个数列：a1，a2，a3，…，an，….以函数的观点看，因为每一次记录的数据都是唯一确定的，所以我们可把时间作为自变量进行数学建模，得出相应的函数模型以刻画变化规律.所以，数列是一类特殊的函数.与函数的研究内容、过程和方法类似，高中阶段对数列的研究也是以“背景——概念(定义、表示、分类)——性质——特例”为基本架构，其中“特例”是指等差数列、等比数列这两类有明确的现实背景、可以给出精确的规律表达、在解决实际问题和数学问题中有重要应用价值的数列，对它们的研究按照“背景——概念——表示——性质——求和公式——应用”的路径展开.其中，数列求和是数列这一对象的独特研究内容，不仅与现实生产生活联系紧密，自古以来都是人们感兴趣的话题，求和过程中需要的代数变形技巧对人的智力具有挑战性，因此非常引人入胜，而且其中蕴含着差分、微积分等基本思想，从而使数列成为研究函数问题的一个有力工具.在研究方法上，一列数中蕴含的规律一般是从具体到抽象，通过运算发现规律，通过代数推理证明规律，因而具有鲜明的代数特点.数列的学习能有效提升学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象等素养.下面根据《普通高中数学课程标准(2017年版)》(简称“课程标准”)的要求，讨论数学学科核心素养立意的数列教材与教学问题.

1 课程定位

课程标准认为，数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用.本单元的学习，可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析,了解数列的概念；探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，建立通项公式和前n项和公式；能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用；了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性.本单元课程内容包括：数列概念、等差数列、等比数列、数学归纳法.

分析上述表述可以发现，课程标准特别强调数列的函数属性，不仅强调它是一类特殊的函数，而且要求把等差数列、等比数列分别和一次函数、指数函数联系起来，由此感受数列与函数的共性和差异.事实上，对于任意一个函数y=f(x)，x∈A，只要N⊆A，那么f(1)，f(2)，f(3)，……就是一个数列.不过，数列的研究内容和方法还是有自己的特性.例如，对于函数的研究，对应关系、图象与性质是主题，研究方法上强调数形结合，几何直观是非常重要的手段；而数列的研究中，通项公式(相应于函数的解析式)、求和公式是重点，更强调通过代数运算解决问题，其中数列的迭代问题是非常重要的.

如何理解“数列是研究其他类型函数的基本工具”？确切地说，在研究函数的变化规律时，一般是通过离散的形式(数列)，用数列的极限研究函数，这一点在高等数学中才能表现清楚.另外，如前所述，研究一个现实中的变化问题，往往要从处理这个变化过程中的数据入手，这些数据一定都是离散的，处理数据要用数列这个工具.

与函数的研究类似，对数列的研究，也是在了解数列的一般概念基础上，着重对有规律的、在现实中有大量应用的数列——等差数列、等比数列展开研究.

2 本单元内容与要求

1.数列概念

通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.

2.等差数列

(1)通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.

(2)探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.

(3)能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.

(4)体会等差数列与一元一次函数的关系.

3.等比数列

(1)通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.

(2)探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.

(3)能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.

(4)体会等比数列与指数函数的关系.

4.*数学归纳法

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.

从课程标准的内容和要求中可以发现，对数列的研究，重点在等差数列和等比数列，当然要在了解数列的一般概念和表示的基础上.课程标准规定的等差数列、等比数列内容和要求是同构的，因此两者的教材结构、学习过程具有很强的可类比性.这两类数列是最基本而有用的，对它们的概念、取值规律与应用的研究，将为学生研究其他类型的数列提供工具——我们往往通过代数变形将其他类型的数列化归为等差或等比数列.“等差”、“等比”的规律具有非常丰富的表现形式，理解并能运用这些规律解决问题，需要有比较强的代数思维、推理和运算能力.

等差数列、等比数列的许多结论，例如通项公式、前n项和公式等，都是通过不完全归纳法得出的，其正确性需要利用数学归纳法进行证明.数学归纳法本质上是把一个涉及无穷的问题转化为一个递推关系命题P(n)⟹P(n+1)，通过具体例子让学生明白第二步要证明的是一个新命题：以P(n)为条件，推出P(n+1)，这是重点，也是难点.

3 本单元的内容理解与教学思考

3.1 研究路径的构建

与函数的整体架构完全类似，本单元包括数列的一般概念和特殊的数列两部分，按照研究一个数学对象的基本套路展开，即:

数列的事实——数列的概念(定义、表示、分类)——数列的性质.

其中，数列的表示有通项公式、图象、表格、列举、递推公式等等，递推公式体现了数列的迭代特点，是一种重要形式.

等差数列与等比数列的研究路径是：

事实——概念——通项公式——性质——前n项和公式——应用.

等差数列的性质本质上是自然数及其运算的性质，特别是“平均数”，其特例是等差中项；等比数列的性质本质上是指数幂及其运算的性质，其特例是等比中项.具体的将在后面阐释.

3.2 研究数列这个数学对象的一般观念是“运算”

代数学的根源在于运算，运算是发现和证明数列所蕴含规律的基本手段.例如，三角形数、正方形数、五边形数、……的规律.

三角形数

正方形数

五边形数

以运算的方式对这些多边形数进行表达，规律就非常明显.

三角形数：1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…

其中蕴含的规律是a1=1，an=an-1+n(n>1，n∈N)；

正方形数：1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，…

其中蕴含的规律是a1=1，an=an-1+(2n-1) (n>1，n∈N)；

五边形数：1，1+4，1+4+7，1+4+7+10，…

其中蕴含的规律是a1=1，an=an-1+(3n-2) (n>1，n∈N)；

……

由此可以容易地得到任意的k边形数的排列规律：

a1=1，an=an-1+(k-2)n-(k-3) (n>1，n∈N).

分析“等差数列”这个词可以发现，“等差”是先通过减法运算发现“差相等”，然后再用严谨的数学语言表达这个规律而形成的；同样，“等比数列”中的“等比”也是通过除法运算发现“比相等”，再用严谨的数学语言表达这个规律而形成的.

等差数列、等比数列的性质，基本而重要的是数列的项与项之间确定的关系，可以拓展到项与和、和与和的关系，本质上是“运算中的不变性、规律性”，所以发现这种关系要依靠代数运算.

3.3 如何帮助学生建立数列的基本概念

建立数列的一般概念，其困难在于想到在数列的项与序号之间建立联系.数列中的每一项都有特定的位置，同样的一些数，顺序变了就是不同的数列.因此给定一个序号(即“数列中的第几位”)就有唯一确定的数与之对应，这表明“数列是一类特殊的函数”.

为了引导学生理解数列的上述本质特征，人教A版先引入数学符号(hi或si)表示数列中的数，再揭示下标i的数学含义：下标i表示数列中的数按一定顺序排列时的位置，或者说第i个位置的数只能是hi，这就从数学的角度说明了数列中的数是不能交换位置的，从而明确具体实例的本质特征——“具有确定顺序的一列数”，然后顺理成章地抽象出数列的一般形式{an}，并用符号表示为an=f(n)，从而与函数概念建立联系.以下是人教A版构建的数列概念形成过程：

1.具体实例的分析

用数学的方式分析3个实例(生活、科学、数学)，分别得出“具有确定顺序的一列数”的结论，在此过程中让学生通过模仿熟悉这样的表达方式.

2.给出定义

归纳具体实例的共同特征，给出定义，并明确相关概念(项、首项)，给出记号a1，a2，…，an，简记为{an}.

3.用函数的观点进行再认识

明确序号与项之间的对应关系an=f(n) 以及如何从一个函数中“导出”一个数列.

4.数列的表示

通项公式、表格、图象、递推公式等.

数列的表示中，递推公式反映了数列中项之间的迭代关系，是非常重要的表示形式.另外，数列的前n项和公式Sn与通项公式an之间存在的关系在研究数列问题时具有特别的作用，是用构造法进行代数证明的主要依据.

5.数列的分类

与其他数学对象类似，数列也有不同的分类标准，例如递增数列、递减数列、常数列、摆动数列，有限数列和无穷数列等.

3.4 关于等差数列

1.如何引导学生抽象等差数列的本质特征

用数学的方式观察一类事物，在空间形式上，一般从物体的组成元素(以点、直线、平面为基本元素)及其形状和位置关系入手；在数量关系上，一般通过运算发现其共性、规律性，进而得出本质特征.

一个数列{an}具有“等差”的特性，是指其相邻两项之间具有确定的关系，即an+1-an=d对任意n∈N+都成立，其中d是一个定值.如果写为an+1=an+d，那么就和自然数系的结构具有本质的一致性.自然数系中，n+1称为n的后继数，数列{an}中，an+1是an的后继项.因此，等差数列的“原型”就是自然数列.这个观点的意义是：在研究等差数列时，可以从对自然数的研究中得到启发.

人教A版构建的等差数列概念形成过程如下：

第一步，通过“北京天坛圜丘坛地面从内到外各圈的石板数9，18，27，36，45，54，63，72，81”等具体实例，设置“思考”栏目：

在代数的学习中，我们总是通过运算来发现规律.例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变化规律.类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？

把学生的思维引到“运算”，通过运算发现数列的取值规律或相邻两项之间的关系.

学生比较自然地想到数列9，18，27，36，45，54，63，72，81蕴含的规律是“18=9+9，27=18+9，…，81=72+9”，教科书把表达方式改成“18-9=9，27-18=9，…，81-72=9”，并在“边空”中提示：“改变表达方式使数列的取值规律更突出了”，再用字母代替得到a2-a1=9，a3-a2=9，…，a9-a8=9， 从而使“规律”有了一般性，由此得出取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.

第二步，再以“数列②～④是否也有这样的规律？”引导学生自己验证.

第三步，在学生充分感知等差数列本质特征的基础上，抽象出等差数列的定义.

第四步，通过迭代的方法得出等差数列的通项公式.

第五步，与一次函数建立联系.

上述过程比较完整地反应了建构一个数学对象的整体架构，其中的关键是对典型的背景材料进行结构辨析，从中发现这一类数列的代数结构——an+1=an+d(n∈N+，d为定值)，从而实现了具有创新性的意义建构.这个过程如果教师直接讲解，学生听懂没有什么困难，但如果要让学生独立完成意义建构而得出相应的代数结构，则是有较大困难的，因为其中需要有较强的代数思维，要调用自然数系结构方面的认知经验(事实上，自然数系的结构是“+1”运算，这是一种常识，而“常识往往被人遗忘”，所以调动这样的经验并不是一件容易的事情).当然，我们提倡让学生在问题引领下开展意义建构，独立发现代数结构，这样才能有效地培养学生的数学思维方式，发展学生的数学抽象、逻辑推理等素养.

2.关于等差数列的性质

以往的教科书没有专门对“等差数列的性质”展开研究，其原因不太清楚，可能是等差数列的性质太“简单”，也可能是研究某些具体的等差数列更有价值.但我们认为，对一个数学对象的完整研究应该包括“性质”.

那么，“等差数列的性质”所研究的问题是什么呢？从系统观出发，一个对象的性质首先表现在其要素之间的关系上.所以，“等差数列的项与项之间的关系”就是等差数列性质的研究主题.

等差数列的定义已经给出了相邻两项之间的关系，是研究性质的出发点.可以提出的问题是：

(1)等差数列{an}中，相邻三项有什么关系？相邻四项呢？……可以得到2ak=ak-1+ak+1，ak+ak+3=ak+1+ak+2等；

(2)把“相邻”改为“等距”，如

am，ap，an满足p-m=n-p，有2ap=am+an；

am，ap，aq，an满足q-m=n-p，有am+an=ap+aq；

特别地，有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…；等等.

研究这些问题，可以增强学生对“等差”含义的理解，同时也为推导前n项和公式埋下伏笔.可以发现，这些性质是以数列的项为基本对象，通过运算发现规律、得出性质.如果与前n项和公式联系，还可以发现更多的性质.

3.关于等差数列的前n项和

我们知道，推导等差数列前n项和公式中，发现“倒序求和”这个巧妙的方法是关键.问题是，如何才能使“发现”做到自然而然呢？我们认为，这应该从分析“倒序求和”的本质入手.

对于等差数列{an}，因为a1+an=a2+an-1=…=an+a1，用两种方式表示Sn：

Sn=a1+a2+a3+…+an，

①

Sn=an+an-1+an-2+…+a1．

②

将①②两边分别相加，得

=n(a1+an).

由此得到等差数列{an}的前n项和的公式.分析这个过程可以发现，推导等差数列{an}前n项和公式的核心思想是：

利用等差数列的性质“等差数列{an}中，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq”，将不同数求和化归为相同数求和.

数量关系上看是利用了“平均数”概念：

(2)“倒序求和”所利用的就是等差数列前n项的平均数.

从等差数列的概念和通项公式出发，由Sn=na1+d[1+2+…+(n-1)]，可知等差数列前n项和归根到底是求1+2+…+n.

在等差数列{an}中，看看a1=1，d=1这一特例，考察一下它与一般等差数列的关系，不难发现：最简单、最本质的等差数列就是1，2，3，…，n…，这就是等差数列的原型.其他都是它的“变式”——a1代表不同“起点”，d代表不同“步长”.

研究等差数列时，想想自然数列的性质是很有启发的.从自然数系的结构、问题、方法出发思考等差数列的内容，体现了自然数系的模型作用，体现了返璞归真的思想，还体现了以简驭繁的力量.

4.“等差数列前n项和”的教学过程设计

推导等差数列{an}的前n项和公式，就是要用确定等差数列的基本量a1，an，d，n等表示Sn.代数学中的各种公式和定理绝大部分都是用归纳法由具体到抽象、由低次到高次、由一元二元到多元逐步归纳而发现，再通过数学归纳法去论证其正确性.为此，我们先从一个历史传说开始.

问题1200多年前，高斯的老师提出了1 + 2 + 3 + … + 100 =？当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯用下面的方法迅速算出了正确答案

(1+100)+(2+99)+…+(50+51)

=101×50=5050.

高斯的算法实际上解决了等差数列

1，2，3，…，n，…

①

前100项的和的问题.

你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质？

师生活动：如果学生不能回答，可以追问.

追问1：设an=n，那么高斯的算法可以怎样表示？你能说说这个方法的奥妙所在吗？

将高斯的算法表示为a1+a100=a2+a99=…=a50+a51，联想到已有的性质，可以归纳出这个方法的奥妙之处是：

利用“等差数列{an}中，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq”，使不同数求和转化成了相同数(即101)求和，从而简化了运算.

设计意图：通过问题和追问，引导学生将具体数列的求和问题一般化，帮助学生洞察其中蕴含的代数结构和解决问题的一般性思想方法，形成“利用等差数列的性质推导求和公式”的心向.

追问2：你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？

师生活动：由学生独立完成.学生可能有不同的方法，教学时要强调“高斯的方法”的含义.

设计意图：使学生注意到“首尾配对”需要考虑项数的奇偶性.

追问3：你能利用高斯的算法推导出数列①的前n项和公式吗？

师生活动：由学生仿照高斯的算法，独立推导公式.这里的困难是要对n进行奇偶讨论，可以引导学生从具体到抽象进行分析.在推出公式后，组织全班讨论如下问题.

问题2我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇、偶进行讨论，比较麻烦.能否设法避免讨论？

师生活动：通过讨论得出，等式的涵义是：把Sn加两次，而结果是n个(n+1)相加.

追问2：受此启发，联系等差数列的性质，你能给出新的推导方法吗？

师生活动：学生通过自主活动、小组交流，得出“倒序求和”法：

Sn=1+2+3+…+n，

Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+1，

将上述两式的两边分别相加，可得

2Sn=(n+1)+[(n-1)+2]+

[(n-2)+3]+…+(1+n)

=n(n+1)，

问题3上述方法妙在哪里？这种方法能推广到求等差数列{an}的前n项和吗？

师生活动：通过独立思考、合作交流，得出：

方法的妙处在于将1+2+3+…+n“倒序”为n+(n-1)+(n-2)+…+1，再将两式相加，得到n个相同的数(即n+1)相加，从而把不同数相加转化为n个相同数相加.

对于等差数列{an}，因为a1+an=a2+an-1=…=an+a1，完全类似的可得

Sn=a1+a2+a3+…+an，

①

Sn=an+an-1+an-2+…+a1．

②

①+②，得

=n(a1+an)．

由此可得等差数列{an}的前n项和的公式.

师生活动：学生通过自主活动，结合通项公式和前n个自然数之和的公式，推出所求公式.

师生活动：由学生独立完成.

设计意图：通过不断地推广、一般化，帮助学生在认识前n个自然数求和的方法及公式的代数结构的基础上，归纳出倒序求和法和等差数列前n项和公式，并通过对公式的不同推导方法、公式的结构特征和多元联系表示等探究活动，使学生在获得公式的同时，体会推导代数公式的基本方法，领悟从具体事例中发现一般规律的数学思想，体验归纳法在推导代数规律中的普遍意义.

问题4回顾推导等差数列前n项和公式的过程，你认为其中的关键是什么？

师生活动：通过讨论，得出如下认识：

(1)明确推导等差数列求和公式所要解决的问题是什么对得到推导方法有重要意义；

(2)要强调利用等差数列的定义、通项公式和性质解决问题的重要性；

(3)代数的研究中，归纳是根本大法，要注意用一般性的眼光观察特殊实例，从中得到解决一般问题的启发；

(4)“倒序相加”非常巧妙地利用了等差数列的性质，利用前n项的平均数将不同数求和转化为相同数求和；

(5)代数中，对公式进行适当变形有助于发现蕴含在其中的“奥秘”；

(6)代数和几何相互为用，可以提高对代数问题的认识深度(如“三角垛”解释“倒序求和”法)；等等.

3.5 关于等比数列

1.利用研究等差数列的经验研究等比数列

观点：等比数列所研究的内容、过程和方法与等差数列是“同构”的，所以从等比数列的概念、性质到前n项和以及应用，都可以让学生通过类比展开自主学习.从教学站位上看，这里的关键还是要基于数学的整体性，在一般观念的统领下展开研究.具体而言是：通过运算发现规律；通过类比“等差”结构得出“等比”结构；通过归纳发现等比数列的代数结构，得出通项公式、前n项和公式；建立多元联系表示(特别是比例性质)形成等比数列的认知结构；等等.

(1)从“等差”到“等比”

只要将“如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差”中的“差”换为“比”，就得到了等比数列的定义.

只要将“如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项”中的A换为G，“差”换为“比”，就得到了等比中项的定义.

(2)从减法运算到除法运算

等差数列通项公式的归纳等比数列通项公式的归纳a2-a1=d,a3-a2=d,……an-an-1=d,左右两侧分别依次相加,得到an= a1+(n-1)d.a2a1=q,a3a2=q, ……anan-1=q,左右两侧分别依次相乘,得到an=a1qn-1.

(3)从算术平均到几何平均

等差数列的性质主要体现在算术平均数的各种性质上，等比数列的性质主要体现在几何平均数的性质上.

等差数列等比数列a,A,b成等差数列,则2A=a+ba,G,b成等比数列,则G2 =a·b若m+n=p+q,则am+an=ap+aq若m+n=p+q,则am ·an = ap ·aqan=am+(n-m)dan = am ·qn-m

另外，比例性质在等比数列的研究中也有用武之地：

得a2+a3+a4+…+an

=q(a1+a2+a3+…+an-1),

于是

Sn-a1=q(Sn-an)=q(Sn-a1qn-1),

可得

2.等比数列前n项和公式

首先要明确研究的问题：用等比数列的基本量a1，q，n表示前n项和.

与等差数列前n项和公式的推导类似，等比数列前n项和公式的推导本质上是利用等比数列的定义和性质进行代数变形.

从Sn=a1+a2+a3+…+an=a1(1+q+q2+…+qn-1)可知，数列

1，q，q2，…，qn

是等比数列的“原型”.由

Sn=1+q+q2+…+qn，

qSn=q+q2+…+qn+qn+1，

等式两边分别相减可得

除利用比例性质外，还可以有其他方法.例如：

由公式

an+1-bn+1

=(a-b)(an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn)，

令a=1，b=q，即得

3.6 关于数学归纳法

1.数学归纳法的理论基础

皮亚诺公理：

(1)1是一个正整数；

(2)每个正整数a都有一个后继数(即a+1)仍是正整数；

(3)1不是任何正整数的后继数；

(4)若a与b的后继数相等，则a与b相等；

(5)设S是正整数集合N*的子集，若

①1属于S；

②当k属于S时，k的后继数(即k+1)一定也属于S，则S=N*.

这几条公理反映了正整数集合有序性的本质特征，由此可推出：

正整数集合是一个无限的良序集，它的任何非空子集中的元素都可以依大小关系排序，并在其中存在最小数.

第5条也称为数学归纳法原理，它给出了证明一个集合是正整数集合的一种方法，是数学归纳法的理论基础.

2.数学归纳法是演绎推理还是归纳推理

在形式逻辑中，从“特殊”到“一般”的推理，叫做归纳推理；从“一般”到“特殊”的推理，叫做演绎推理.

演绎推理的一般形式是三段论，即“大前提——小前提——结论”.其中，大前提(M-P)是一个一般性的命题(凡满足条件M的对象都有性质P)，小前提(S-M)是指某个特殊对象满足大前提中的条件(对象S满足M)，结论(S-P)是指这个对象符合大前提中的结论(S有性质P).

用数学归纳法证明一个具体命题P对于全体正整数成立时，大前提正是皮亚诺公理中的数学归纳法原理，这是一个公认的一般性真命题，需要证明的是小前提，即适合具体命题P的正整数集合S满足大前提中的条件①和②，由此得出结论S=N*，即任意正整数n都满足命题P.

因此，数学归纳法是按照三段论展开的严格的演绎推理，即在确立一般性大前提的基础上，针对具体命题证明小前提，获得关于具体命题的结论.

数学归纳法中，第(1)步(证明“n=1时命题P成立”)称为“奠基”，第(2)步(证明“若n=k时P成立，则n=k+1时P也成立”)称为“递推”.第(1)步多为验证的形式，而第(2)步的实质是证明一个“递推关系”：

以“n=k时P成立”为前提，推证 “n=k+1时P成立”.

事实上，这是一个新的命题.

3.人教A版对数学归纳法的处理

与以往教材比较，新的人教A版对数学归纳法的处理有较大变化，特别是在两个步骤的含义、第二步到底要干一件什么事情等问题上，给出了更加具有操作性的讲解，其目的是帮助学生更好地理解数学归纳法的本质.

(2)确立思想方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立.

(3)以“多米诺骨牌”为背景，思考使所有多米诺骨牌全部倒下的条件，得出：第一块骨牌倒下；任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.

(4)类比多米诺骨牌问题，回顾猜想an=1的过程：

……

归纳共性，得出推理的一般结构：

以ak=1为条件，结合已知条件推出ak+1=1.(*) 这样，在a1=1和(*)成立的条件下，就可以由n=1成立，得出n=2成立；由n=2成立，得出n=3成立；……所以，对于任意正整数n，猜想都成立.

(5)给出数学归纳法原理.

(6)通过“思考：数学归纳法的本质是什么？两步之间有什么关系？”引导学生辨析原理，得出：

记P(n)是一个关于正整数n的命题.把数学归纳法的证明形式改写为

条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k+1)也为真.

结论：P(n)为真.

接着教科书强调：在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n=n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：

若P(k)为真，则P(k+1)也为真.

将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0+1)真，……，P(k)真，P(k+1)真,……从而完成证明.

值得指出，人教A版明确“第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k+1)也为真”，并且在用数学归纳法证明具体问题的过程中，先引导学生具体写出第二步要证明的命题，例如，证明等差数列的通项公式

an=a1+(n-1)d

①

正确性的第二步是证明一个命题：

如果n=k时①式是正确的，那么n=k+1时①式也是正确的.

这对学生理解数学归纳法的本质具有很好的促进作用.教学时应注意落实这个意图，先让学生明确写出第二步要证明的新命题，分析清楚证明新命题时需要使用的条件(特别是要以“P(k)为真”为关键条件)，然后再进行具体推理论证.

4 小结

综上所述，数列单元要以“运算”为一般观念，通过运算发现和提出问题，通过运算得出数列的取值规律，通过运算发现解决问题的方法.例如，在明确“数列的性质就是数列各要素、相关要素之间关系”的基础上，通过运算发现等差数列、等比数列的性质.

在等差数列、等比数列的研究中，通过推导各种各样的代数公式，利用等差数列、等比数列的性质，特别是灵活运用“平均数”研究“等差”问题，灵活运用“比例性质”研究“等比”问题，可以进一步提升学生的代数推理和数学运算等素养.

数列是一种特殊的函数，要注意引导学生以函数的观点看数列，体会数学的整体性.等差数列与一次函数、等比数列与指数函数之间存在着密切的联系，所以教学中要注意让学生有意识地把数列纳入函数的体系中，从函数的观点看数列的概念，发现和理解数列的性质，认识数列的应用价值等.

另外，要使学生意识到，在数列中推导各种各样公式的方法是不完全归纳法，这种方法并不严密，所得出的公式需要通过数学归纳法进行证明，所以建议把数学归纳法作为必学内容.