从联系的观点看教学难点的类型*

钟志华

(南通大学理学院 226019)

联系的观点是如此基本，以至于常常被人们所忽视.雷钠特·N·凯恩、杰弗里·凯恩在《创设联结：教学与人脑》一书中指出：学习的本质就在于找出所学知识与学习者已经知道和看重的东西之间是如何相关的，以及信息和经验之间是怎样联系的.[1]《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出，世界上一切事物都是相互联系的.学生不应该就事论事地学习数学，不应该孤立地学习数学，不应该局限地学习数学，而应该在普遍联系中学习数学.在数学学习中要深刻体会数学知识之间、数学与其他学科之间以及数学与生活之间的联系.……要善于把学到的数学知识建成网状的知识体系，从而提高学生对数学的整体认识和宏观把握，提高学生的数学素养.[2]美国数学课程标准也非常重视“联系”，它认为要使学生了解和掌握知识之间的联系十分重要，这是数学教学中必须强调的一项重大任务.学生有了这种了解和掌握，他就能领会数学是一个有机的整体而不是一堆孤立、凌乱的东西；他对事物的考察就能从多方面去进行，思维就会更加活跃，解决问题的手法就会更加灵活多样，数学能力就能得到提高.[3]可见，联系观点不仅是我国数学课程标准倡导的核心理念，而且在美国等很多发达国家也得到广泛认同.

因此，在新知识的教学中，教师不仅需要时时注意前后知识之间是否有联系？有什么联系？而且还要进一步运用联系的观点去分析为什么学生难以发现并建立知识之间的联系？为什么难以建立非人为的实质性的联系(奥苏贝尔语)？即要运用联系的观点去分析教学难点的类型、成因及突破策略等.[5]本文运用联系的观点分析教学难点的类型.

1 从联系形成的过程看

按照联系形成的过程难点可分为：联系识别中的难点、联系解构中的难点、联系建构中的难点、联系转换中的难点、联系表征中的难点等.

1.1 联系识别中的难点

1.2 联系解构中的难点

所谓联系解构，它是分析所研究对象的构成要素、组成成分及其彼此关系的过程.在生活中，我们都有这样的经验，当碰到一件比较复杂的对象时常常要对其进行分解或分析，看看它由哪些部分或要素组成，各部分或要素之间有什么关系，…….当我们把所研究的对象分析清楚后再返回去看则会清晰很多，这其实就是解构的思想方法.比如函数这一概念的学习过程中就需要分析函数概念的内涵、三要素、外延(即函数到底包括哪些函数)、性质(研究函数应从哪些方面去进行)、函数概念的理解过程以及函数定义所体现的数学思想(到底是变量思想、对应思想还是关系思想)等，在函数概念的教学中系统、深入解构这些关系常常成为函数教学的难点.又比如对命题的研究需要搞清楚命题的前提与结论，命题的发现、证明及应用过程，命题是简单命题还是复合命题，命题中有无量词，命题的功能与适用条件，该命题与其它命题有什么联系等.如果在这些方面存在困难就可以说是联系解构中存在困难.

再比如，在解决问题过程中时常要将一个问题分解为若干小问题或将解决问题的过程分解为若干环节，特别是碰到问题中含有多个变元、多个字母时还需要进行分类讨论，在这些地方学生往往会出现解构困难.比如“已知△ABC的两边a,b是方程：x2-4x+m=0的两根，且两边夹角的余弦是方程5x2-6x-8=0的根，求这个三角形面积的最大值.”这是一道代数、几何、三角知识的综合题，学生一看到这样复杂的问题常常感觉脑子一片空白，但若能将它“拆”成以下4个基本题：(1)若△ABC的两边a,b是方程：x2-4x+m=0的两根，求a,b；(2)cosC是方程方程5x2-6x-8=0的根，求sinC；(3)由(1)、(2)写出△ABC的面积S和a之间的函数关系式；(4)求S的最大值，那么题目的结构和解题思路也就清楚多了.

1.3 联系建构中的难点

所谓联系建构，它是将所理解的对象与原有认知结构建立非人为的实质性联系的过程.联系建构中的难点通常是由于学习者认知结构不够完善或缺乏一定的数学思想方法指导.比如许多学生一般对对顶角、余角、补角、邻补角、直角、同位角、内错角、同旁内角等具体概念理解并不存在多大困难，但要他们弄清楚这些概念之间的区别与联系就比较困难，即难以将新概念很好地纳入原有的概念网络而形成概念系，这就是联系建构过程中的难点，造成这一难点的重要原因是学生没有很好地掌握分类这一重要数学思想方法；再比如，三角函数众多公式的学习一直是教学的难点，学生不能很好地理解各公式之间的内在联系，因而无法将新学习的公式(命题)纳入头脑已有的命题网络之中，造成这一现象的原因除有学生原有认知结构不够完善这一因素外，更主要的可能是学生缺乏变换这一数学思想方法，不能从变换这一角度来理解这些公式之间的内在联系.

1.4 联系转换中的难点

联系转换就是要识别变化中的“不变性”，其实质是“异中求同”.数学中有许多知识似是而非、似非而是，准确识别数学知识之间的区别与联系对深化数学理解至关重要.比如初学者在学习相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理时往往只知道它们之间的区别，而不知道它们之间的联系，而如果能用变换的观点来认识它们，就会发现相交弦定理是两直线交点在圆内的情形，而割线定理是两直线交点在圆外的情形、切割线定理是割线定理的特例、切线长定理又是切割线定理的特例，这样原来四个彼此孤立的定理通过变换这一数学思想方法巧妙地联系在一起，从而使学生不仅见树而且见林.

再比如相交线与平行线这一章有对顶角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；邻补角互补等性质，初学者对如此众多的定理常常感觉眼花缭乱，难以捉摸.如果能用变式的观点来揭示它们之间的内在联系，那么就会发现两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补这三个定理相互等价，可以彼此相互推导；而对顶角相等则是两直线平行，内错角相等这一定理的特例(两平行线互相重合时的情形)；邻补角互补又是两直线平行，同旁内角互补的特例(两平行线互相重合时的情形)；而所有上述定理又可以看做是“如果一个角的两边分别平行于另外一个角的两边，那么这两个角相等或互补”这一定理的特例.可见，如果能善于发现不同命题之间的内在联系，那么不仅有助于学生准确把握彼此之间的本质与区别，而且有助于促进学习者的深度理解.相反，如果不能很好地揭示它们之间的区别与联系就容易造成学习的困难.如有学生解“求f(x)=loga(x-1)+2，(a>0,a≠1)所恒过的点.”这道题的困难在于不善于将非标准问题转化为“求F(x)=logax，(a>0,a≠1)所恒过的点”这一标准问题，因此，虽然学生知道后者的答案，却想不到将前者转化为后者.

1.5 联系表征中的难点

联系表征是对所理解对象进行数学表征的过程.数学知识最终都要采用数学语言来进行表征，因此如果数学语言表征方面存在困难必然会造成学生数学理解困难.我们经常见到这样的现象，许多数学知识直观上理解可能不一定存在困难，但如果用严格的数学语言来表征就会出现困难，特别是那些含有特殊的、晦涩的数学名词、数学短语、较复杂的数学语句等，学生的理解尤为困难.比如学生一般都能认识三角形、圆、椭圆并能用自己的日常语言来进行描述，“三角形就是三条线段连在一起的图形”“圆就是像太阳那样圆圆的东西”“椭圆就是扁的圆”，但要学生运用正确的数学语言来定义这些概念却很困难.这里除了因为学生对这些图形的本质属性缺乏深刻认识外，语言表征能力薄弱也是非常重要的原因.

又比如函数的单调性、对称性、凹凸性以及极限等概念从直观上学生一般很容易就能理解，但用严格的数学语言来表征就很困难.这也是为什么在初中阶段虽然出现了y随着x的增大而增大(减小)、图形关于原点(y轴)对称等术语，而不出现单调性、奇偶性等概念，就是考虑到初中学生理解这些形式化的数学概念存在困难.另外，数学语言表征的困难还体现在数学语言的转换上，如果数学语言转换能力薄弱也会造成理解困难，比如许多学生一见到文字题就感到害怕，究其根由是学生不善于将文字语言转化为图形语言或符号语言；又比如有些学生虽然能对数学概念倒背如流，但若问他们到底是什么意思却一问三不知，造成这一现象的主要原因是学生未能将新知识转换成自己的内部语言(即表象型语言)或者难以用自己的语言正确地表达出来.

2 从联系的表现形式看

按照联系的表现形式教学难点可分为联系断裂型难点、联系跳跃型难点、联系隐蔽型难点、联系复杂型难点、联系模糊型难点、联系错位型难点、联系冲突型难点(也称疑点)等类型.

2.1 联系断裂型难点

所谓联系断裂型难点就是我们通常所说的“忘记”.其实质是知识之间没有形成连通的网络，亦即由于新旧知识之间非人为的、实质性联系的断裂而影响知识的正确运用和顺畅迁移.所谓非人为的联系是指新知识与原有认知结构中有关观念建立合理的或合乎逻辑的联系；实质性联系是指新的代表观念与学习者认知结构中已有的表象、有意义的符号、概念或命题的联系.这种联系要求学习者心理内部对知识的表征(或所赋予意义)与知识的客观意义应建立一种合理的或合乎逻辑的“等价关系”，否则，必然会出现知识“断链”.如很多学生记不住三角函数公式，其根本原因是只单纯地死背公式，而未能建立起公式与单位圆、象限角之间的联系.建构主义认为，学生建构知识的基本方式是同化和顺应.同化是指学习者把外在信息纳入到已有的认知结构，以丰富和加强已有的思维倾向和行为模式，使原有的知识体系得到扩大；顺应是指学习者已有的认知结构与新的外在信息产生冲突，引发原有认知结构的重组和调整，从而建立新的认知结构.同化是认知结构的量变，而顺应则是认知结构的质变.知识断链，一方面可能是由于新知识未能归入到原有认知结构，另一方面可能是虽然学习了新知识，但未能使原有认知结构得到重组和改善，因而致使学习形式化，知识表面化.比如许多学生在学习对数函数的定义时对底数a为什么必须大于0且不等于1常常感到困难，这主要就是对数函数与指数函数之间的联系断裂所致.

2.2 联系跳跃型难点

联系跳跃型难点又称为抽象性难点.这类难点通常发生在从具体事物中抽象出这类事物的共同特征与本质属性，或从较低的知识结构向较高知识结构的跃迁阶段或思维方式发生明显变化的阶段.比如从大量圆的实例中通过归纳抽象出“到一个定点距离等于定值”这一本质属性，从大量平行四边形的实例中通过归纳抽象出“两组对边分别平行”这一本质属性等就属于第一类难点；而从算术到代数式、从一元一次方程到二元一次方程组、从平面几何到立体几何的学习等则属于第二类难点.第三类难点常发生在学生思维从感性思维到理性思维、从逻辑思维到辩证思维、从正向思维到逆向思维、从综合思维到分析思维、从定性思维到定量思维等阶段.比如在初中阶段新知识的引入往往与日常生活、生产实际相联系，比较形象、直观，遵循从感性认识逐步过渡到理性认识的规律；而高中不仅涉及集合语言、函数语言等抽象的数学语言，而且对数学思想方法运用的要求比较高，解决问题时常常要综合运用化归、分类讨论、数形结合等数学思想方法才能解决.由于这类难点或发生在思维或认知发展的关键阶段，或需要具有较强的抽象概括能力，因此，教师在进行教学时应高度重视这类难点所造成的消极影响，要采取铺垫、架桥、分解、转换等方法来化难为易、化繁为简、化抽象为具体.比如刚学立体几何的学生往往思维还停留在平面几何的认识水平，他们观察立体问题时总习惯于把立体图形当成平面图形，比如有学生在求下图中的线段EF与EG(E、F、G分别为立方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、AB、A1D的中点，)的夹角时，就出现了“因为∠AEF=45°，∠A1EG=45°，所以∠FEG=180°-45°-45°=90°”这样的错误.

图1

2.3 联系隐蔽型难点

方法隐蔽型难点在教材中比较普遍，如证明“平行于同一直线的两条直线互相平行”这一定理时采用的反证法、证明三角形内角和定理时所用的添加辅助性方法、求等比数列前n项和时用的错位相减法等都属于方法隐蔽型难点；线索隐蔽型难点主要体现在运用数学思想、数学方法将零散的数学知识整理为完整的知识结构的过程中，比如用函数的观点把“数”、“式”、“方程”、“不等式”、“数列”等知识串联在一起就一直是学生代数学习中存在的线索隐蔽型难点.

2.4 联系复杂型难点

联系复杂型难点是指由于知识结构或解题过程中联系纵横交错、分支太多或“拐弯”太多等原因所造成的难点.比如在平面几何入门阶段两角之间各种关系的区别与联系一直是许多学生的难点，很多学生由于无法理清它们之间的错综复杂关系而对平面几何的学习产生畏惧.如果教师能引导学生梳理出以下关系，那无论对于突破学生的学习难点，还是对于激发学生的学习兴趣、提振学生学好数学的信心都很有裨益.

图2

又比如，在数学问题的解决中，有的需要反复分类、有的会绕很多“弯”.如果在解题时不能恰当地进行分类或在绕弯的过程中迷失方向或断了线索都有可能造成教学难点.例如“设函数f(x)对于任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0时f(x)<0，f(1)=-2.(1)求f(0)；(2)试问在x∈[-3,3]时f(x)是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由.”这道题的解决过程就要经历：(1)求f(0)；(2)根据f(x+y)=f(x)+f(y)及f(0)得到函数f(x)为奇函数；(3)将闭区间上函数的最大值、最小值问题转化为求函数的单调性区间问题；(4)联想函数单调性定义将f(x+y)=f(x)+f(y)转化为f(x+y)-f(x)=f(y)并把x+y与x分别看作是单调性定义中的x1,x2(x1>x2)；(5)由f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)及x>0时f(x)<0得到函数f(x)为单调减函数从而确定最大(小)值在端点处取得；(6)根据f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=-2求得最小值为f(3)=-6.(7)根据函数是奇函数求得最大值为f(-3)=6等如此复杂的过程，哪一个环节出了问题都会造成解题困难.

2.5 联系模糊型难点

学习者由于遗忘或对知识的理解不够深入、不够全面或对知识之间的内在联系不够清晰等原因，常常会造成学习者头脑中的知识之间联系出现模糊现象.由这些原因导致的难点称为联系模糊型难点.联系模糊型难点的表现是联系时有时无、时断时续，忽隐忽现，它常给人以一种似懂非懂、似是而非的感觉.比如在生活中经常碰到这样的现象，突然遇见一个以前的熟人，但就是叫不出名字，这其实就是思维模糊型难点的一种表现.又比如“已知f(x)是定义在(-1,1)上的单调减函数，且为奇函数，若实数a满足f(a-2)+f(4-a2)<0，求a的取值范围.”许多学生见到这题以后常常一头雾水，他们认为a的代数式在“f”的里面，怎能得到关于a的直接关系式呢？他们为如何脱去“f”一筹莫展.这些学生为什么做不出这道题呢？其关键原因在于对函数单调性的概念理解不全面、不深刻.因为这些学生通常只知道由x1f(x2)去判定函数单调减.殊不知在函数单调的前提下可以由f(x1)>f(x2)⟹x1

再比如，高中代数第一单元，许多学生学完以后感觉内容既多又杂，十分凌乱，很难理出头绪.但如果仔细梳理就会发现这一单元从总体上可以分为集合、映射和函数这三大部分.而集合这一部分又包括集合的涵义与表示、集合间的基本关系和集合的基本运算这三小部分；映射这一部分又包括对应、映射与一一映射(对应或映射的特例)等；而函数这一部分又包括函数的概念、函数的三要素(构成函数的要件)、函数的性质(内涵)、函数的类型(外延)、函数的图像(属于函数的表示问题)等.而这三大部分之间也有非常密切的联系：集合是研究映射和函数的基础和工具，而对应、映射(函数)则是研究集合之间关系的一种方法.在初中阶段研究两个集合之间的关系要么采用整体和定性的研究方法，要么采用运动和变化的观点来研究，如研究直线的平行与相交、三角形的全等与相似等既可以认为是整体研究方法也可以认为是采用了运动和变化的观点；而初中函数的研究一般采用的是运动变化的观点(变量说)，采取的是定性研究的方法(用文字语言描述函数的单调性、奇偶性).而到了高中阶段研究两个集合之间的关系则采用了分析的办法(通过研究两个集合中的元素关系来研究这两个集合之间的关系)，显然这种研究方法更精细、更严密，同时也为运用代数方法研究几何问题奠定了基础.理解了这一点，就知道为什么要先研究集合，为什么研究了集合以后马上要研究映射，为什么研究了映射以后要研究函数的性质和各种基本初等函数等等.

2.6 联系错位型难点

2.7 联系冲突型难点(也称疑点)

所谓疑点，就是指学生在学习过程中所遗留下来的疑问之处，这种疑问又可以分成两种：一种是对教材本身尚不很理解所留下的疑问.比如，有些高中学生在学完函数概念以后常常会产生“既然初中已经学过函数概念，为什么高中还要再学？”“初高中函数概念之间到底有什么区别与联系？”等疑问；另一种是对教材已经理解，但从旧知识的基础上产生了新的疑问，个别思维能力很强的学生还会提出比较新颖且具创建性的问题.比如，有学生在学了圆与圆的位置关系以后马上向老师提出质疑，他说：“老师，我觉得圆与圆的位置关系不止五种，比如一个圆从另外一个圆中穿过就不属于我们课上讲的情况.”又比如，在学了等差数列、等比数列以后，就有学生问老师“有既成等差又成等比的数列吗？”等等.诸如此类问题教师在教学过程中经常会碰到.应该说，学生在学习过程中，有疑问是完全正常的，也完全符合思维逻辑发展的过程，特别对后一种疑问，更应该积极引导，热情关注，而不应该抱着学生是在故意找茬或想让老师出洋相这样一种与学生对立的态度去对待学生的疑问.事实上，学生有疑问，正说明学生在积极思维，教师不仅应该充分认识疑问的潜在价值，如可以澄清学生疑惑、生成新的知识，产生新的发现、促进创新能力培养等；而且应该对提出疑问的学生进行鼓励，培养他们勇于提问的意识与积极性.