初中几何概念教学的有效策略——以“线段中点”为例

杨小丽

(北京教育学院数学系 100044)

数学概念在数学学习中占有重要位置.“数学根本上是玩概念的, 不是玩技巧.技巧不足道也!”[1]然而在目前的数学教学中，依然大量存在着过度注重解题训练、淡化概念教学的现象.“线段中点”是一个非常简单的概念，但这样一个看似简单的概念，却是初中阶段用于形式化推理训练的第一个几何概念.本文将以“线段中点”为例，剖析几何概念教学存在的问题，并在教学实践的基础上给出教学策略.

1 “线段中点”教学问题剖析

对于“线段中点”，一种常见的教学过程是：首先花20分钟左右的时间讲比较线段的长短及线段的和与差，然后花3分钟左右的时间讲线段中点定义的文字语言和符号语言，接着花20分钟解题，最后花2分钟小结.

上述“线段中点”教学，存在以下几方面的问题：(1)没有揭示为什么要学习“线段中点”；(2)忽视对“线段中点”定义内涵的剖析；(3)关注解题，且例习题对演绎推理的要求过高，超出了大部分学生现阶段的几何思维水平；(4)忽视概念的组织和方法的学习，没有构建知识结构网络.

2 教学设计的改进与实施

为了解决上述问题，鉴于概念教学的重要性，对教材建议的课时安排进行相应调整，将线段中点作为独立的一课时进行设计与实施.

阶段一：概念引入

问题1：前面我们学习了线段的定义、表示和性质.如果我们进一步研究线段，你认为还可以研究什么？怎样研究？

师生活动：学生思考、回答，教师对学生的回答进行结构化整理.如果有学生回答研究线段上的点，教师则追问：你是怎样想到研究线段上的点的？如果学生回答不出来，教师则追问：线段是由什么元素组成的？

设计意图：通过启发式提问，让学生认识到，对于一个几何图形，除了研究其形状、大小(长度)，还可以进一步对其组成元素进行研究.对于线段这样一个基本平面图形，还可以进一步研究其组成元素——点，从而明确研究对象.

问题2：请你在线段AB上画一个点C.点C的位置有哪几种情况？

师生活动：学生画图，教师巡视，将学生不同的画法呈现在黑板相应位置.点C的三种位置情况如图1，2，3所示.

图1

追问1：对于图1-3，我们可以研究什么？分别能得到哪些结论？

师生活动：学生思考回答，教师归纳概括：可以研究线段AB,AC,BC三条线段之间的数量关系.三个图中均有AB=AC+BC,此外，图1中ACBC.

图2

图3

追问2:上述三种情况哪一种值得进一步研究？

设计意图：通过问题2让学生经历逐步聚焦研究对象的过程.线段上任意一点C将线段分为两部分，构成了三条线段.这时候可以研究这三条线段之间的大小关系.无论点C的位置在哪，都恒有AB=AC+BC成立，但随着点C的移动，线段AC与BC的大小关系在发生改变，其中有一个位置最特殊，那就是线段中点，因此值得进一步研究.

阶段二：明确定义

问题3：图2中点C的位置最特殊，值得我们进一步研究.我们把这个点叫做线段AB的中点.你能给线段中点下个定义吗？

设计意图：通过问题3培养学生的语言概括能力.

阶段三：定义剖析

问题4：你是如何理解线段中点定义的？

师生活动：学生思考回答，教师整理概括：线段中点的定义有两方面的内涵.一方面，如果知道了“点C是线段AB的中点”，就能得到“AC=BC”，另一方面，如果知道了“AC=BC(如图2，点C在线段AB上)”，就可以判断“点C是线段AB的中点”.

设计意图：通过问题4对线段中点定义进行解析，让学生知道可以从正、反两个角度来理解线段中点的定义，为学生认识“定义是推理的前提”奠定基础.在理解线段中点定义内涵的基础上，给出线段中点的符号语言.

问题5：由线段中点定义我们知道了线段AC，BC之间的数量关系，那线段AC与线段AB，线段BC与线段AB之间的数量关系是什么？

追问1：你是怎么得到的？

追问2：为什么？

阶段四：概念强化

问题7：判断下列语句是否正确？为什么？

(1)如果AC=BC，那么点C是线段AB的中点.

(2)如果AB=2AC，那么点C是线段AB的中点.

(3)如果AC+BC=AB，那么点C是线段AB的中点.

师生活动：学生回答判断结果，教师追问理由，学生举反例.

设计意图：由于线段中点定义比较简单，正例的变式很少，所以本节课中只采用了反例，目的是让学生认识到：在没有提供图的情况下，要判断一个点是否是线段中点，除了要满足一定的数量关系，“点C在线段AB上”这一位置关系的条件必不可少，以强化学生对概念的理解.此外，还可以让学生初步体会判断一个数学命题真假的思维范式：判断一个命题“为真”需要证明，而判断一个数学命题“为假”，只需要举一个反例就可以了.

阶段五：概念应用

问题8：如图4所示，点C是线段AB的中点.

图4

(1)若线段AC=5，求线段BC的长.

(2)若线段AB=10，求线段AC的长.

(3)若线段BC=5，求线段AB的长.

师生活动：学生先解决问题，师生交流，初步规范表达和书写.

设计意图：问题8从计算的角度看非常简单，几乎所有学生都能正确求出所求线段的长.然而学生的难点不在于计算，而在于如何有条理地表达推理过程.问题8的目的有两个：一是如何根据所求恰当地选择推理的依据，二是初步培养学生有条理的数学表达能力，为今后更复杂的推理奠定扎实的基础.

问题9：请大家在纸上画一条线段DE，找到它的中点F并画出来.

追问：你是怎么找到点F的？怎样说明你找的点F就是线段DE的中点？

师生活动：学生画图，师生交流.

设计意图：学生很容易找到线段DE的中点F，但是很少有学生会去思考：为什么点F是线段DE的中点.问题9最直接的目的是体会定义的判定作用；更重要的目的在于培养学生的推理意识、体会数学有别于其他学科的特点.

阶段六：概念组织

问题10：今天我们进一步对线段进行了研究，重点研究了线段中点.那为什么要研究线段中点呢？我们是如何研究线段中点的？通过研究线段中点，得到了哪些结论？

师生活动：学生回顾反思，教师提炼概括.

设计意图：问题10的目的是提炼线段的研究路径，形成知识结构，帮助学生积累数学活动经验，以顺利迁移至后续角平分线等内容的学习和研究中.

3 初中几何概念教学的有效策略

3.1 注重大观念统领，明确研究内容，体现几何图形研究的一般路径

“几何学的本质是研究空间的图形，研究图形的性质以及图形之间的关系.[2]”在这样一个大观念的引领下，对于线段的研究，有两个内容：一是对线段自身进行研究，即对线段的大小(长度)、形状以及线段的组成元素进行研究；二是对图形之间的关系进行研究,即研究线段与线段之间的关系，如数量、位置关系等.而对线段中点的研究是对线段自身的进一步研究.基于此，可以将线段的知识结构重构如图5所示.

图5 线段知识结构

因此，线段的研究路径为：(1)从现实生活中抽象出线段→(2)给线段描述性定义→(3)用符号语言表示线段→(4)研究线段的性质→(5)研究线段的组成元素：点，其特例为线段中点→(6)研究线段与线段之间的关系.

在前述改进的教学设计中，概念引入部分通过问题1和问题2，初步感知了线段的研究路径、明晰了为什么要研究线段中点，对后续学习中研究对象和研究问题的提出起到了示范作用.

3.2 注重揭示定义的内涵，体会定义是推理的逻辑起点

其次从课堂教学观察到，学生只能从一个角度理解线段中点定义的内涵.具体来说，学生只知道“如果点C是线段AB的中点”，就能够得到“AC=BC”.而进一步追问：还能怎么理解线段中点的定义，学生不知如何回答，也就是说，他们还不能理解线段中点定义的判定作用.这需要授课教师予以揭示，以让学生明确线段中点定义具有性质和判定的双重作用、是推理的逻辑起点，初步感受公理化思想.

3.3 注重概念应用的循序渐进，逐步发展逻辑推理素养

在实际教学中，在“线段中点”的应用部分，教师不仅要求学生使用简化的三段论的表达形式：“小前提，结论(大前提)”，而且还会涉及难度较大的推理.有研究[3]表明：7年级有25%的学生几何思维达到了水平3，也就是说有能力进行非形式化的证明；仅有1%的学生几何思维水平达到了水平4，即可以从已知条件出发，采用逻辑推理的方式证明命题.上述研究结果说明，教师对推理的要求大大超出了学生现有的几何思维水平.而“学生推理能力的发展是一个长期的过程，教学中必须充分考虑不同阶段学生的身心特点和认知水平”，“如果脱离学生的实际，任意拔高命题证明的难度，将使部分学生失去学习的兴趣，丧失学会数学的信心”[4].因此，作为初中几何推理的起始课，需注意对概念的应用要循序渐进、对推理的要求由易到难.

在前述改进的教学设计中，通过问题5和问题6对“线段中点”的定义进行应用；通过问题8和问题9对“线段中点”的定义、性质、判定进行简单的应用，凸显了概念应用的基础性，初步培养学生思维的条理性和推理的逻辑性，为今后更复杂的推理奠定扎实的基础，从而逐步落实逻辑推理素养的培养.

3.4 注重概念的组织，体现知识的整体性

“概念教学中，关键是要使学生建立概念的网络结构”，“通过‘组织’获得对相关概念之间联系性的认识，形成层次化的概念结构”.[5]而最后5分钟左右的课堂小结是进行“概念组织”的黄金时间.

在线段中点的小结部分，教师可在图5的基础上，将学生的回答进一步结构化，绘制图6.

图6

图6包含了以下内容：首先总结了图形与几何的研究对象是几何图形，几何图形又包括平面图形和立体图形.其次，提炼了线段的研究路径.最后，厘清了线段中点定义、性质和判定之间的逻辑关系.这样的结构图不仅包含了具体的知识点，还清晰地呈现了各个知识点之间的联系，不仅有利于学生更全面地理解线段中点的概念、厘清不同知识之间的内在联系，而且还有利于学生将其迁移至后续角等内容的学习中.如角平分线是对角自身的进一步研究、研究过程可以完全类比线段中点的研究过程；余角补角研究的是角和角之间的数量关系，对顶角和邻补角研究的是具有特殊位置关系的两个角之间的数量关系.这样就能将看似碎片化的知识点进行整体设计，有助于优化学生的认知结构，使学生对知识的掌握更加系统和深入.