构造经典图形，解法自然生成

李良文

摘要：在解初中几何题时，如何构造经典图形和利用图形的基本结论，帮助学生快速找到解题思路，是我们教师在几何教学中必须思考的问题。

关键词：变式教学;经典图形;解法自然

中图分类号：A 文献标识码：A 文章编号：（2021）-32-458

作为教师，每天都在解题中度过，大部分几何题一眼就能找到解题思路，但是对于学生来说却“望题兴叹”，主要取决于学生能够快速找到习题中的经典图形，直接利用图形的结论，从而简化思考环节。所以我们在解初中几何题时，如何构造经典图形和利用图形的基本结论，帮助学生快速找到解题思路，是我们教师在几何教学中必须思考的问题。下面笔者以角平分线的性质为例，利用经典图形，如何设计变式例题开展教学。

1.基本图形和结论呈现

角平分线的性质：角平分线上的点到两边的距离相等

几何语言：∵ OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB

∴ PA=PB

在上面的图形中我们可以进一步得到ΔOCPΔODP，从而得到OC=OD，∠CPO=∠DPO

2.例题解析

例1：已知：如图，AD是∠EAF的角平分线，DE⊥AE，DF⊥AF，E、F分别为垂足.

思考：（1）图中有哪些三角形全等？

（2）EG和FG的关系？

（3）图中哪些角和∠EAD相等？

设计意图：选取本例，考虑从最基本的图形出发，让学生易于接受并敢于探索，同时让学生进一步熟悉角平分线的性质和基本图形，感知如何在复杂的图形找找到信息。

变式1： 如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，

求证：BE=CF。

设计意图：由题目中的已知条件让学生找到图中包含经典图，通过图形可以得到一些结论，为证明ΔBDEΔCDF提供条件。

变式2：已知，如图BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于D.

求证：PM=PN。

设计意图：让学生找到图中包含经典图形，但要得到结论，条件中缺少BD平分∠ADC，学生进一步思考就可以找到思路。

变式3：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，點F在AC上，BD=DF。求证：AB=AF+2EB。

设计意图：初中几何题经常涉及到线段相等，但是涉及到线段的和倍关系不多，学生很容易被题目的结论吓倒。此题还是要求学生能够准确的找到经典图形，并利用其基本结论AC=AE，从而把结论转化为证BE=CF，这样学生就容易找到思路。

变式4：如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为E。若SΔ ABC =36cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的长度。

设计意图：引导学生构造辅助线，题中的条件包含角平分线和一个垂直，学生为了构造基本图形，会构造另一条垂线，再根据面积从而找到解题思路。

变式5：如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，B、D分别在AM、AN上，且CD=CB.问：∠ADC和∠ABC有何关系？

设计意图：通过题目中角平分线联想到角平分线的性质，过点 C分别作AN和AM的垂线，垂足为N、M，从而构造经典图形，进一步利用基本结论解题。

3.教学感悟

几何教学的关键是引导学生感悟几何图形和理解图形，从整体感悟几何图形的结构特征，从线角关系理解图形的内在联系，从而为解体提供解题思路和方法。将复杂的图形回归简单，要有智慧、有能力、也要有决心。其实每一道几何题都是由课本中的一个或几个图形综合而成，我们在教学中要引导学生回归课本，掌握经典几何图形，从而感受几何带来的魅力。