多维关联启发，应用替换突破

谢永

摘 要：为了能够最大限度提升高中数学不等式的教学实效性，本文通过对高中数学不等式的教学案例进行分析，充分发挥多维关联启发的作用，让学生的思维能够在应用替换的过程中得到突破，有效提升高中学生的数学水平。

关键词：高中数学;不等式;教学案例

在高中数学不等式的教学过程中，教师应该紧密结合教学内容选取合理的教学方法，充分激发学生学习不等式内容的兴趣，引导学生打破常规的教学思想，全面践行新课程深化改革的要求，从而达到强化高中数学不等式教学实效性的目的。

一、明确课程改革标准，准确把握三维目标

不等式的教学内容是高中数学课程教学中的重要组成部分，所以强化高中数学不等式教学具有重要的意义。其中，因为不等式教学中所涉及的证明法具有灵活多变性，需要学生在掌握的过程中准确把握相关的技巧性，所以导致部分学生在后续的学习过程中无法将掌握的技巧应用到解题过程中。为了能够更好地解决这个问题，教师便可以在日常的教学过程中明确课程改革标准，准确把握三维目标，将不等式内容所具备的“淡化特殊技巧，强调通式通法”的特点充分凸显出来，合理的设计一些具有较强技巧性的不等式恒等变性的案例，有效拓展学生的学习思路，促使学生准确把握不等式的实际应用价值，让学生明白不等式与我们实际生活的联系，从而为强化学生的数学水平奠定坚实的基础。

二、尊重学生的主体地位，加强学生的数学应用意识

当前高中数学新课程深化改革背景下积极倡导学生主动、勇于探索的学习，让学生的数学思维能力在自主探究的过程中得到提升，有效增强学生的数学应用意识。因此，在高中数学不等式内容的教学过程中，教师应该积极转变传统的教学方法，充分凸显出教师“导课”的精准性，更好地体现出学生“学”的显效性，从而最终实现教学相长的目的。同时，由于高中数学既是基础教育的重要组成部分，又是引导学生向高等教育学习过渡的重要阶段，所以课程教学内容在设置的过程中必须充分展现出教学内容的基础性和发展性。例如：在“两个正数的均值不等式”这节内容的教学过程中，教师可引导学生采取类比分類的方法进行归纳，自主猜想三个证书的均值不等式和n个正数的均值不等式主要表达的形式是怎么样的呢？通过采取设问的方式来引导学生主动投入到数学课堂中，充分凸显出学生在数学不等式课堂学习中的主体地位，有效增强学生的数学应用意识。这种方法在应用的过程中不但能够降低教师的教学负担，而且还能够让学生的自主学习能力得到提升，促使学生深入感受到数学知识点的魅力。尤其是部分在数学课堂学习过程中感觉困难的学生，教师便可以指导他们在数学课堂中积极思考：“我能在数学课堂中学习到所需要的数学知识吗？我的数学素养是否能够通过数学课堂学习得到发展呢？数学对于我们的实际生活是否有价值呢？”老师在选取教学内容的过程中需尽量为学生构建共同的学习基础，适当在课堂教学中留白，让学生能够根据自己的实际情况去选取数学知识进行探究，为提升学生的数学水平创造良好的条件。

三、指导学生认真观察，大胆进行假设

在高中数学不等式内容的教学过程中，教师可合理的使用教学语言来引导学生表达情绪，促使学生将注意力快速集中到数学课堂中，让学生的学习情绪在释放时能够与教师的教学内容形成共鸣，以此调动起学生学习不等式内容的积极性和主动性。同时，教师通过指导学生进行典型例题分析，引导学生认真观察题干所设计的条件和问题，让学生大胆的进行猜测，以便能够找到不等式内容的解答思路。

例如：已知，请学生们通过证明是否存在。

例题解析：这道例题在解答过程中的难点并不是不等号左侧第三项，可根据题干的条件，明确了解和均大于0，而第三项大于0.因此，在解答的过程中只需要证明前两项的和大于第三项绝对值，便能够得出答案。

因此，可将的证明替换为，并采取通分、化简、消除分母的形式演变为证明。当证明到这一步的时候，学生便能够轻松的开展下面的证明过程。根据这个题型的解答过程，能够清晰地发现仔细观察各项之间的关系，便能够在原有不等式较为复杂的情况下采取简单化的方式进行原本复杂的论证，并通过结果替换来进行更加容易理解的证明关系，从而得出解答结果。

四、立足于基本不等式，指导学生掌握解答技巧

在当前高中数学不等式内容的教学过程中，其基本不等式的内容较容易出现，这也是当前高考中主要涉及的知识，如定义域、值域、面积等。因此，高中学生在数学课堂的学习过程中必须准确掌握基本不等式的特点，这样才能够避免在解题的过程中出现问题。例如：在解答基本不等式，已知实数，则的最大值为多少？我们应该令得，。

所以

当且仅当即a=b时取等号。所以最大值为。

通常学生在解答上述不等式案例的过程中存在着一定的难度性，其主要原因是这个练习题的重要就是让学生学会处理齐次分式的处理方式，以及基本不等式在解决最值问题中对于核心之一“积定和有最小值;和定积有最大值”的理解及构造转化。因此，学生在解答这个题目的过程中，可通过分析题干中的条件将分母进行整体的代换、拆分，从而构造出积定的形式求出最大值。其中，整体代换（换元）是这种类型练习题解答过程中较为常见的方法，一是引导学生思考齐次分式的结构形式可以进行如何的改变，再以此作为基础实现结构形式的变化得到积定的形式;二是设置目标函数的最值的求解基于基本不等式，让练习题的针对性和探索性的特点能够充分凸显出来，并在解答的过程中以分式的相关知识点作为主要的切入口，明确基本不等式在解决最值问题中的基本结构，这样便能够非常快速的得出结果。

五、合理应用计算公式，对应采取换元策略

在高中数学不等式内容的教学过程中，当教师在进行上一个题型的总结之后，便可以灵活的采取教学语言来回顾固定的公式，尤其是自变量或者是因变量存在的约束条件的公式，让已学内容能够与现学的内容之间建立起一定的关联性。同时，教师还可以紧密结合教学内容和学生的实际情况引出经典的例题，指导学生深入分析一些公式存在的相似之处，再进行对应换元，便能够帮助学生更好地掌握这种类型题目的解答方法。

例如：已知有实数x，y，存在，如果x+y+m>0这个不等式恒成立，试求实数m的取值范围。

针对这个例题在解析的过程中，学生可通过题干的条件明确m值的取值范围，再准确进行x和y的取值范围，并通过掌握x，y之间的关系，这样如果直接进行求解的难度性较大。因此，当暂时无法找到对应的公式时，则可以适当地将上述的公式进行变形：

上述的式子在通过变形之后便能够得出两个数的平方的和等于1，便能够将联合起来，再设。这样便能够根据正弦值、余弦值的取值范围为[-1，1]，从而求出x，y的取值范围。

本题的解答过程非常明确，即学生通过对问题进行观察分析，建立灵活的思維方式，再无法从以往公式的关系中找出对应的公式时，则需要将对应的公式进行变形。同时，还需要充分利用公式对变量的约束条件来进行题干求解，让整个数学的求解过程能够更加的简化，以此帮助学生在正确解题的过程中掌握不等式的相关知识点。

六、巧妙引入不等式求解数学思想，增强学生的解题能力

在高中数学课程的教学过程中，函数、不等式、数列、集合都是非常重要的组成部分，而数学思想则主要涉及分类讨论、函数和方程思想等内容;数学方法则主要包括了换元法、归纳法和反证法等内容。当学生在数学课堂的学习过程中，在初步理解了相关数学知识点之后，再根据解题的实际需求选取合理的数学思想和方法，这样便能够让学生更好地解决数学问题。

例如：假设函数，当a>0时，试求：。

解析：，也就是，计算得出：，，这时常数a>0，便可以将原不等式转变一下形式，得出：

∴当0

得出：，当a≥1是，其解集为{X|X≥0}

通过对这个数学问题的题干进行分析之后，当学生理解了题意时，便可以根据解题需要选取合适的数学思想和方法，有效提升高中数学不等式教学的实效性。尤其是现代信息教育技术快速发展的背景下，通过立足于不等式求解的数学思想进行解答，便能够有效增强学生的不等式知识的运用能力。

七、采取数形结合的方法，拓展学生的数学思维

将数形结合的方法与传统课堂教学方法相比较，更能够吸引学生将注意力快速投入到课堂的学习过程中，对拓展学生的数学思维，锻炼学生的发散思维具有重要的意义，能够为学生后期学习数学知识奠定坚实的基础。其中，当学生在数学习题的解答过程中遇到问题或者是不会解答的题目时，可直接放弃或者是跳过，再采取数形结合的思维来进行数学问题审视，以便学生能够更加准确的掌握数学知识，并在不断学习的过程中逐步建立起完整的数学知识体系。

例题：在求解x2-x-2>0（x<0）时，其一元二次不等式x2-x-2>0（x<0）所对应的一元二次方程x2-x-2=0，这样方程式通过求解，便能够得出x1=-1、x2=2。其中，一元二次方程式x2-x-2=0所对应的二次函数x2-x-2>0（x<0）的图象与x轴之间存在着两个交点，即P1=（-1，0），P2=（-2，0）。这样一元二次方程x2-x-2=0的方程根所对应的函数图像与x轴之间的交点横坐标。这样在解答的过程中便可以根据函数y=x2-x-2的图，而函数y=x2-x-2的图像上的点M（x，y）的性质如下：

根据解答之后，得出不等式x2-x-2>0（x<0）的解集为（）

通过采取数形结合的方法，能够让学生更加快速的得出答案，促使学生的数学思维得到拓展，从而有效提升学生的数学素养。

结束语

在高中数学不等式内容的教学过程中，通过指导学生建立多维度的解题思路，找到准确、简便的解答方法，总结和归纳不等式知识的解题方法和替换技巧，有利于提升高中数学不等式的教学实效性，有效增强学生的数学素养。

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