问题驱动 立足变式 生成素养

李春红

[摘  要] 文章以抽象模型——模型使用——拓展提升为路径，展示“圆的拓展应用”教学片段，通过教学实践与反思，认为基于问题驱动，立足变式训练，能帮助学生掌握几何模型的基本解题策略，能提高学生灵活运用知识的能力，能促进其数学思维水平步步提高，数学核心素养自然生成.

[关键词] 问题驱动;变式训练;数学思维;核心素养;圆的拓展应用

近期，笔者主讲了“圆的拓展应用”一课，教学中，笔者首先抽象基本的几何模型，然后通过层进式的变式题组推进教学，试题选择有代表性，难度呈阶梯式上升，整个课堂流畅自然，学生掌握了几何模型的基本解题策略. 通过变式训练，提高了学生灵活运用知识的能力，其数学思维水平步步提高，数学核心素养自然生成. 下面与各位同仁分享本课的实录与思考.

课堂片段展示

1. 抽象模型

师：在前面的数学学习中，求线段的最值或求因变量的最值屡见不鲜，同学们，想一想在求最值的问题中用的数学知识有哪些呢？

生1：利用线段的性质“两点之间，线段最短”，或垂线的性质“垂线段最短”.

生2：也可利用三角形三边关系，两边之差<第三边<两边之和来求最值.

生3：在求因变量的最值时，常需要建立二次函数的模型，然后利用二次函数最值的性质求最值.

师：很好！这些都是求最值最常用的方法，也是同学们积累的数学活动经验. 今天，我们来学习一种新的求最值的方法，即利用辅助圆求最值.

问题1：如图1所示，已知圆O的半径为4，圆O外有一点P，线段OP的长为10，设点A是圆O上任意一点，那么线段PA的最小值与最大值分别是多少？

生4：点A在圆O上运动，点A到达点B时，线段PA的长度是最小的，此时PA=PB=10-4=6;点A到达点C时，线段PC的长度是最大的，此时PA=PC=10+4=14.

师：为什么？你能说说其中的道理吗？

生4：如图2所示，连接OA，在△PAO中，根据三角形三边关系，得PO-OA

設计意图：这是一道比较常见的几何问题，通过问题的解决，向学生展现了一个几何模型，即经过圆外一点与圆心作直线，与圆有两个交点，其中一个交点与圆外的一点的距离最远，另一个交点与圆外一点的距离最近.

2. 模型使用

问题2：如图3所示，已知△ABC是直角三角形，∠B是直角，两直角边AB，BC的长分别是12和8，然后以AB为直径作半圆O与斜边AC交于点D，取弧BD上任意一点P，求线段PC的最小值.

生5：由问题1的解题经验可得，求圆外一点到圆上各点距离的最大值与最小值，就是过圆外一点与圆心作直线. 如图4所示，连接OC交半圆于点E，当点P位于点E的位置时，PC最小. 在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC==10，因为OE=AB=6，所以EC=10-6=4.

设计意图：在学生已掌握模型的基础上，立足学生的最近发展区设置问题，旨在让学生及时运用模型解决问题，培养学生的模型思想与建模意识.

变式1：如图5所示，在直角三角形ABC中，∠B是直角，两直角边AB、BC的长分别是12和8，取AB的中点D，点E是线段BC上任意一点，将△BDE沿直线ED翻折得到△B′DE，连接B′C，求线段B′C的最小值是多少.

生6：如图6所示，因为DB=DB′，所以点B′的运动路径为一个圆，圆心是点D，半径是DB，此时连接CD，当点B′位于CD与圆D的交点处时，线段B′C有最小值，最小值是CD-DB′=10-6=4.

师：由上述两道题可以看出，决定线段B′C最小值的关键是什么？

生7：首先确定点B′的运动路径，如果点B′的运动路径是圆，那么就可以转化为圆外一点到圆上各点距离的最值问题.

设计意图：在变式训练中，题中没有圆，必须根据题意找到这个隐藏的圆，这样才能转化为圆外一点到圆上各点距离的模型. 而这里判断动点运动路径的主要依据是圆的定义，即圆是到定点距离等于定长的点的集合.

变式2：如图7所示，已知△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，两直角边AB，BC的长分别为12和8，设点P是三角形内任意一点，且∠PAB=∠PBC，那么线段CP长的最小值是多少？

生8：因为∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC，所以∠PAB+∠PBA=90°. 根据三角形内角和定理，得∠APB=90°，根据直径所对的圆周角是直角，得点P在圆弧上运动，如图8所示，连接OC与圆O交于点Q，点P位于点Q时，CP有最小值，最小值为10-6=4.

设计意图：变式2从另一个角度探究了圆存在的条件，即固定线段所对的角是直角，那么直角顶点就是在圆上移动，然后利用圆外一点到圆上各点距离最小值的模型来解答.

3. 拓展提升

问题3：如图9所示，已知△ABC是等边三角形，点A在x轴的正半轴移动，点B在y轴的正半轴上移动，那么线段OC的最大距离是多少？

生9：如图10所示，连接OC，OD，DC，在Rt△OAB中，由直角三角形斜边中线的性质，得OD=AB=，在等边三角形ABC中，由解直角三角形，得DC=3，在△ODC中，由三角形三边关系，得OC

师：此题可不可以转化为圆外一点到圆上各点的距离的最值问题呢？

生10：也可以，把点A、B、C三点看作固定点，把点O看作动点，那么点O的运动路径就是以AB为直径的半圆，如图11所示.

一点反思

1. 构造数学模型，渗透数学方法

在解决几何问题的过程中，当问题不能直接解决，添加辅助线构造几何模型是有效的手段. 在构造几何模型时，切不可“想当然”地乱作辅助线，务必要将已知与求证进行有机联结，形成一条解决问题的通路，以使我们能够运用已掌握的几何模型解决问题[1]. 需要注意的是，在此过程中，掌握数学中基本的几何模型是前提条件.

2. 基于变式训练，知识自然生长

基于问题1，学生在运用三角形三边关系解决问题的过程中，得到了“圆外一点到圆上各点距离最值”的模型，后面的问题2与问题3及它们的变式训练，层层递进，学生不断经历识别模型、构造模型. 运用模型的过程. 学生在知识的自然生长中，逐渐掌握了运用数学模型解决问题的方法，体验与感悟了数形结合与转化的数学思想[2].

3. 立足问题驱动，促进深度思考

立足于问题的驱动，学生才能积极思考[3]，实现探究式教学. 苏格拉底曾言，教学不是把知识教给学生，而是把学生内心深处的知识给引导出来. 可见，问题驱动式教学是学生掌握科学知识的好方法，当然，教师也要发挥好“助产婆”的作用[4]. 在本节课中，笔者以问题为导向，层层设问，通过问的方式引导学生理清思路，探究本源，在深入思考的同时，学生的知识自然生长，素养自然生成.

参考文献：

[1]牛建萍. 渗透模型思想，培养初中生问题解决能力[J]. 教育艺术，2019（07）.

[2]刘礼祥. 变式教学的实践探索[J]. 中学数学教学参考，2020（21）.

[3]宋代晖. 问题驱动，提升数学课堂的“向心力”——以“建立一元一次方程模型”为例[J]. 中学数学教学参考，2020（30）.

[4]于连鸿. 苏格拉底“产婆术”在初中数学教学中的应用[D]. 内蒙古师范大学，2012.