数学实验要“透过现象看本质”

练琼莺

[摘  要] 文章以“你有多少種画平行线的方法”一课为例，谈在数学实验教学中教师如何设计、展示活动，如何引导学生设计、描述和总结实验操作流程，进而从不同的实验操作方法中思考并提炼出问题的本质.

[关键词] 数学实验;实验操作;本质

数学实验是学生通过动手动脑，以“做”为支架的数学教与学的活动方式，是在教师的引导下，学生运用有关工具，通过实际操作，在认知与非认知因素参与下进行的一种发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的数学活动[1]. 如果只有实际操作，而缺乏对操作现象的分析与思考，那就可能失去发现数学结论、理解数学知识、验证数学结论的大好机会，从而成为“表面的热闹”. 那么，如何引导学生透过实际操作中的现象体会数学的本质呢？下面笔者结合“数学活动：你有多少种画平行线的方法”进行阐述，不当之处，敬请指正.

总体分析

1. 内容分析

“你有多少种画平行线的方法”是一节数学活动课，活动内容主要是对“过一点画已知直线的平行线”的画法进行探索和阐释. 其中，对平行线多种画法的探索需要化归为“三线八角”模型，对画法的阐释需要回归到平行线的判定定理，因此，这节活动课是平行线判定定理的拓展和应用.

2. 学情分析

在小学阶段，学生会用平移三角尺的方法画平行线，却不知其所以然. 学习了平行线的性质和判定定理之后，学生对之前画平行线的方法有了进一步的理解. 在此基础上，当画图工具减少时，该如何准确地画出平行线？当没有画图工具时，该如何折出平行线？这些问题对学生来说很新奇，也具有一定的挑战性.

3. 活动环节总体设计思路

教师通过不断减少画图工具，引导学生“画一画”“说一说”“折一折”，让学生经历画法的探究过程及阐释过程，使学生更深刻地认识画平行线的本质及证直线平行的方法，培养学生言之有据和复习总结的学习习惯.

教学过程

1. 活动1：画一画

问题提出：关于平行线，我们已经学了判定定理和性质定理，这节课我们来认识画平行线的方法. 那么，过直线外一点如何画这条直线的平行线呢？

活动要求：请大家拿出准备好的纸、笔及画图工具（直尺、三角尺等），先在纸上画一条直线a，并取直线外一点P（如图1），过点P画直线a的平行线. 你能想到几种画法？如何说明你画的直线与已知直线平行？

小组活动：学生动手操作，自主探究;教师巡视指导，发现问题并及时解决.

活动展示：收集不同的画法，并传屏至白板，让有相应画图方法的学生阐释原理. 下面是教学片段.

师：老师收集了一些同学的画法，大家请看屏幕. 请相应的同学认领图片并站起来回答问题. 请说一说这幅图（如图2）的画法和画法依据.

生1：我的画法是平推三角尺，依据是“同位角相等，两直线平行”.

师：哪两个角相等呢？我没有找到，请你标出来.

生1：（上台标注，此处略）这两个角相等，而且等于30°.

师：很好！其实这是一个“三线八角”模型（板书图3），可以用平行线的判定定理来证明. 请大家思考这里的直尺和三角尺的作用分别是什么.

生2：直尺相当于截线，平推三角尺可以保持角相等，这样就有同位角相等了.

师：精辟！用这一原理来画图的同学请举手.

生3：我想到了很多画法，不仅可以平推（三角尺中的）30°角，还可以平推90°角、60°角、45°角！

生4：把三角尺换成直尺也行！直尺有90°角. （学生频频点头）

生5：不用直尺和三角尺，我用两本书也可以！（教师走过去，把画法拍下来投屏，如图4，引起一片轰动）

师：妙！前面都用到了两种工具，一个充当截线，另一个平推以产生相等的同位角.

师：（出示学生画法图5、图6）大家请看屏幕. 有同学仅用了一把直尺，这样画出来的是平行线吗？

生6：是！都是90°.

师：请你上台并标出来.

生6：依据是“同旁内角互补，两直线平行”.

师：没错. 这里巧妙地利用了直尺与刻度线互相垂直的特殊位置关系，通过画垂线的方法画出了平行线. （板书图7）

师：仅用一种工具，还有别的画法吗？

生7：用一把三角尺也可以，只要有刻度就行.

生8：没有刻度也可以，借用尺子天然的直角. （教师拍照传屏，如图8、图9）

生9：不用尺子，用书也可以，书也有天然的直角. （学生点头）

师：是的，这几种方法都是利用画垂线的方法来画的. 请大家总结用这种方法画平行线的一般步骤.

生10：先画已知直线的垂线l1，再画垂线l1的垂线l2 .

师：很好. 垂线l1实际上是“三线八角”模型中的截线，垂线l就是所要画的平行线. （板书一般步骤：1.先画截线;2.画截线的垂线，即为平行线）

2. 活动2：折一折

问题提出：如果不能借助其他工具，只能用折纸的方法，你能折出平行线吗？

问题1：如图10，在一张半透明的长方形纸片ABCD内部任取一点P，请过点P折出长方形的一边AB所在直线的平行线，并说明理由.

？摇？摇？摇？摇

活动要求：折一折，试一试，画出折痕，并说明理由.

活动展示：请学生上台演示折法并说明. 下面是教学片段.

生11：这样翻折（如图11），（展开后）∠AEF和∠A都是直角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可知EF与AB平行.

师：为什么∠AEF是直角？

生11：由翻折可知∠DEF=∠AEF，又∠DEF+∠AEF=180°，所以∠DEF=∠AEF=90°.

师：嗯. 那照你这样折叠，对折法有什么要求吗？

生11：翻折后点D和点C都要在矩形短边上，且折痕要经过点P.

师：同学们听明白了吗？此处应该有掌声. （掌声响起）

师：这里实际上也是在构造“三线八角”模型. 那截线是哪一条呢？

生（齐）：AD.

师：是的，其实这是将其化归为我们前面“画垂线”的方法——巧妙地利用了矩形天然的垂线（AD是垂线l1），再通过对折垂线l1（即截线），得到截线的垂线（板书图12）.

问题2：如图13，在一张半透明的正方形纸上任取一点P，然后画一条线段a，如何折出过点P且与a平行的线？

活动要求：折一折，试一试，画出折痕，并说明理由.

活动展示：请学生上台演示折法并进行说明. 下面是教学片段.

生12：对折a，得到a的垂线b，这样就变成了“问题1”. 接下来，折叠b，使折痕经过点P，得到b的垂线c（如图14）.

师：你很会思考. “问题2”的截线需要自己折，折完其实就变成“问题1”了. 学习就是要多思考，多总结方法，将复杂的问题转化为我们已经解决的问题. 这节课，我们通过画和折的方法得到了平行线，你们有什么收获吗？

生13：画或者折已知直线的平行线，其实就是构造“三线八角”模型.

生14：当工具少时，作垂线的方法很有效.

……

教学思考

1. 显化操作痕迹，让数学实验有迹可循

这节课设计了4个问题，分别是用2个工具画、仅用1个工具画，以及没有工具时需要用折一折的方法解决的2个问题. 这4个问题相互关联、层层递进，但实质都是构造“三线八角”模型. 如何让学生更快地发现问题的本质以及问题之间的关联性，是这节课的关键. 学生最熟悉的方法是平推法，平推法的结果就是两条互相平行的直线. 如果仅从结果来看，很难证明所画直线与已知直线平行. 因此，实验操作时，有必要显化操作痕迹，让学生从过程中思考证明方法，这样还能为解决后续更复杂的问题做铺垫.

那么，如何显化操作痕迹呢？首先，应关注操作中的细节. 平推法中直尺的作用是什么？三角尺的作用又是什么？当学生明白直尺的作用实质是构造“三线八角”模型中的截线，而平推三角尺是为了得到相等的同位角时，学生的思维就能够快速打开了，进而把直尺和三角尺用同等功效的物体来代替. 其次，将操作过程抽象为几何图形. 在平推法中将直尺抽象为直线，在折纸时描出折痕等，每一种方法对应相应的几何图形. 最后，从目的出发，寻找操作和证明的关键信息，并在几何图形中有效地表示出来，如角標等. 这样便容易从几个图形中找到共性并发现问题的本质.

2. 依据说理，让数学实验讲道理

这节课尤其重视每一种方法对应的证明方法. 通过想一想、说一说，学生会发现证明都需要归结为平行线的判定定理. 那么，当学生无从下手或找不到解决方法时，会自然而然地联想到前面构造“三线八角”模型的方法. 如，“问题1”解决起来比较困难，很多学生虽然能很快折出大概的样子，但是说不清是怎么折的以及怎么证明. 当“需要证明”这个问题驱动着学生往下思考时，他们就容易想到要有截线，这样就能比较顺利地想到特殊位置的截线，即作垂线的方法了.

在数学实验中，学生可能会碰到说不明白的操作，如“问题1”，生11开始回答时是用比较含糊的“这样翻折”来表述的，然后得到两个互补的同旁内角. 此时教师可通过“由果索因”追问学生，使学生厘清操作，从而完善表达.

3. 数学实验要透过“操作的现象”看“数学的本质”

首先，对于“画一画”中的平推这一操作，教师应该让学生明白平推的作用是什么——产生相等的同位角. 其次，对于“折一折”中对折线段的操作，教师应让学生思考这一操作能产生什么——实质是平分平角，从而产生直角. 如果能明白关键操作的本质，那么学生就能化难为易，举一反三.

总之，数学实验要讲道理，要让操作合理化、数学化，让方法多样化，并在多样的方法中总结、提炼出共性，让学生在实验中感悟数学问题的本质.

参考文献：

[1]董伟林等. 初中数学实验的理论与实践研究[M]. 南京：江苏凤凰科学技术出版社，2016.