在数列中应用函数思想解题策略探究

胡魁勇

摘要：函数思想是学生在中学阶段接触到的最重要的数学思想之一。数列作为一种特殊的函数，充分利用函数思想解决数列有关问题，可以加深学生对数列的认识，提高学生分析问题和解决问题的能力，而现行教材较少涉及函数思想在数列中的应用。基于此，本文探讨了在数列中应用函数思想解题的策略。

关键词：函数思想  数列  解题策略

近几年，在高考试卷中，利用函数思想解决数学问题属于高频考点。通过建立函数关系或构造函数，可以充分运用函数的性质和图像分析问题、转化问题，从而解决问题。数列在初等数学和高等数学中都占有重要地位，在古代数学中更是处于中心地位。设计利用函数思想解决数列问题，有助于提高学生灵活、综合运用数学知识的能力，加深学生对数学方法的理解。特别是部分特殊数列和较为复杂的递推数列，如果学生用常规方法，则难以解决，而使用函数思想往往可化难为易、化繁为简，找到解题捷径。下面，笔者通过一些示例谈谈如何应用函数思想解决数列问题。

一、函数解析式的应用

数列是关于正整数n的函数，所以学生可以运用求函数解析式的方法——待定系数法、求数列通项公式和前n项和公式。

例1.（待定系数法）等差数列的前n项和为Sn，若S12=84，S20=460，求S28。

解：由题意可知，该等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数

∵设Sn=An2+Bn（A≠0）

∴     84=144A+12B

460=400A+20B

A=2

B=-17

∴Sn=2n2-17n

∴S28=1092

此题应用了二次函数解析式解题，二次函数是学生在初中就接触到的函数，较为简单。这道例题充分体现了函数思想在数列中的应用，激发了学生的学习兴趣，拓展了学生思路。

二、函数单调性的应用

例2.已知数列{an}，通项公式为an=（n+1）（      ）n  （n∈N），试问该数列有没有最大的项，若有，求出其项数;若没有，请说明理由。

解：该数列有最大的项，理由如下：

an+1-an=（n+2）（      ）n+1-（n+1）（      ）n = （      ）n

当n<9时，an+1>an，数列{an}单调递增

当n>9时，an+1

当n=9时，an+1=an，即a10=a9

数列{an}有最大值，其项数为9或10。

此数列既不是等差数列，又不是等比数列，用求出各项再研究其规律的方法不易完成。如果学生从函数思想出发，从研究函数单调性入手，并利用指数函数的函数值恒大于0，就简单得多。虽然解此题时需要掌握指数函数，但这个方法能拓宽数列最值的求解思路。

三、函数对称性的应用

例3.非零等差数列{an}中，前m项和Sm=Sn（m≠n），求Sm+Sn。

解：设Sn=An2+Bn（A≠0）

y=An2+Bn（A≠0）的圖像是一条过原点的抛物线

∵Sm=Sn（m≠n）

∴该抛物线的对称轴为x=

抛物线与x轴的交点其一为（0，0）

∴另一交点为（m+n，0）

∴Sm+Sn=0

此题由Sn=An2+Bn（A≠0）很自然就联想到了二次函数，从二次函数图像对称性入手，易于学生理解和掌握。

总而言之，在数列教学中，教师除了要注重理解和掌握学生数列基础知识外，还要适当渗透函数思想在数列相关问题中的应用，深化学生对数学思想方法的理解，达到提高学生数学核心素养的目标。

参考文献：

[1]刘正玉.浅谈高中数学教学中函数思想的应用[J].考试周刊，2014（9）.

[2]唐剑，王振新，李群，等.高等数学理论在高中数学教学中的渗透[J].阜阳师范学院学报（自然科学版），2018（1）.

[3]张刚.数列最值问题的求解策略[J].高中生，2017（9）.

（作者单位：重庆市开州区中和中学）