情境源于生活 设问归于建模

陈文阳

摘  要：数学建模素养是数学学习评价的重要内容. 以一道期末考试题的命制和测评为例，谈谈如何从学生的实际生活出发创设情境、设计问题. 结合测评结果，从“在熟悉情境中发现问题并转化为数学问题的水平;选择合适数学模型表达要解决的数学问题的水平;创造性地改进数学模型精准解决数学问题的水平;运用数学语言准确表达建模过程和结果的水平”这四个方面分析学生的数学建模素养发展水平.

关键词：题目命制;生活情境;数学建模

数学建模素养是衡量学生数学学科核心素养的标准之一，是数学学习评价体系的重要组成部分. 如何命制题目才能有效评价学生的数学建模素养水平呢？笔者的做法是使题目情境源于生活、设问归于建模，即从学生的生活情境中寻找素材，围绕某个数学知识以考查学生的数学建模能力为目标设计问题，根据学生在解决问题过程中所表现的能力衡量学生的数学建模素养水平. 下面以一道期末考试题的命制和测评为例，谈谈笔者的一得之见，求教于大方.

一、题目命制过程

1. 命题背景

笔者曾参与区域性八年级下学期期末考试试卷的命制，需编写一道有关一次函数的实际问题作为试卷第23题（全卷共25道题），题目难度为中等偏上. 题目拟以实际生活情境为问题背景，考查学生综合运用一次函数、方程或不等式等数学知识分析和解决问题的能力，评价学生的数学建模素养水平，凸显数学知识的融会贯通和实用价值.

2. 确定母题

基于题目的教学导向性，笔者确定母题为人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册（以下统称“教材”）第102页的问题1. 该问题的背景是上网收费方式，是一次函数的实际应用题，其中蕴涵了分类讨论思想.

母题  怎样选取上网收费方式？

选取哪种方式能节省上网费？

3. 选择背景

共享单车的出现为人们的出行提供了便利，且学生对其较为熟悉. 于是，笔者决定把共享单车的收费方式作为题目的背景. 首先，笔者在互联网上查阅并分析不同品牌共享单车的收费方式;然后，选定了A品牌和B品牌共享单车的收费方式作为问题的原始材料. A品牌和B品牌共享单车的收费方式如表2所示.

4. 创设情境

根据网络资料，并参考教材中相关的语言叙述，初步创设问题情境为：2016年下半年开始，共享单车的风潮迅速席卷全国各大城市，各种品牌的共享单车似乎一夜之间就出现在广州的大街小巷. 现已知A品牌共享单车的计费方式为：初始费用为1元 / 时. 内设邀请机制，每邀请1位好友加入，1小时收费减少0.1元，最低减至0.1元 / 时，不足1小时按1小时计算;B品牌共享单车的计费方式为：0.5元 / 时，不足1小时按1小时计算.

5. 设计问题

基于题目既要考查基础知识、基本技能，还要考查思维过程、创新意识，以及分析问题、解决问题的实际能力，初步将问题设计如下.（1）甲同学准备使用A品牌的共享单车，设该同学邀请x（x为整数，[x ≥ 0]）名好友加入骑行，该同学每小时的车费为y元，试写出y与x的函数解析式;（2）若有A，B两种品牌的共享单车供甲同学选择使用，试根据甲同学已邀请好友的人数，给出经济实惠的选择建议.

问题设计的目标是考查学生建立数学模型描述实际问题（即写出函数的解析式）和分析问题、解决问题（即通过列、解方程或不等式给出问题解决的方案）的能力.

6. 修改情境

为了保证题目情境的真实性和适切性，笔者通过A品牌共享单车的APP了解到邀请好友的收费规则为：每邀请1位好友注册认证并充值押金成功，双方骑行单价均降低0.1元，骑行单价最少为0.1元 / 时，好友申请退押金后双方享受优惠失效. 参考收费规则，修改问题情境：把“初始费用”改为“初始骑行单价”，增加“注册认证并充值押金成功，则骑行单价”“骑行单价最低可降至”等文字语言.

为了减少学生的审题障碍，又添加例子对A品牌共享单车的收费方式进行说明——例如，某用户邀请了3位好友注册认证并充值押金成功，则骑行单价为0.7元 / 时. 为了避免无关信息对学生造成干扰，把问题的引入简写为“不同品牌的共享单车出现在城市的大街小巷”，使问题的表述更为简洁.

题目情境最终确定为：2016年下半年开始，不同品牌的共享单车出现在城市的大街小巷. 现已知A品牌共享单车计费方式为：初始骑行单价为1元 / 时，不足1小时按1小时计算. 内设邀请机制，每邀请1位好友注册认证并充值押金成功，骑行单价降低0.1元，骑行单价最低可降至0.1元 / 时. 例如，某用户邀请了3位好友注册认证并充值押金成功，则骑行单价为0.7元 / 时. B品牌共享单车计费方式为：0.5元 / 时，不足1小时按1小时计算.

7. 修改设问

对于设问，将骑行单价统一表述为“y元 / 時”，同时根据对情境的调整，完善设问的说法. 题目设问最终确定为：（1）甲同学准备使用A品牌的共享单车，设甲同学邀请x名好友（x为整数，x ≥ 0）注册认证并充值押金成功，甲同学的骑行单价为y元 / 时，试写出y与x的函数解析式;（2）甲同学要从A，B两个品牌的单车中选择一种使用，试根据甲同学已邀请好友注册认证并充值押金成功的人数，给出经济实惠的选择建议.

二、题目测评分析

此题着重考查学生的数学建模素养，测评学生对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题和用数学知识与方法构建模型解决问题的能力. 测评的结果显示：此题满分8分，平均分为3.61分，难度为0.45（全卷难度为0.65），得分率比第24题和第25题还低，满分率低于2%，约有50%的学生得分低于4分. 此题的测评结果反映了学生数学建模素养的水平还有待提高，主要体现在以下四个方面.

1. 在熟悉情境中發现问题并将其转化为数学问题的水平

若要解决此题，学生首先要从数学的角度分析共享单车的计费方式，理解各个数据的含义和数据之间的关系，并把数学关系转化为数学问题.

很多学生不会解此题的原因是不理解题意. 由于题目构思新颖、信息量大，学生不能从中提取出有效的数学信息，无法将实际问题和数学形式联系起来. 数学建模素养薄弱的学生，不能正确理解“双方骑行单价均降低0.1元”中单价的变化情况，以及“好友人数x”和“骑行单价y元 / 时”中参数x，y的实际含义，无法准确建立数学模型.

在实际问题的教学中，教师应当注重训练学生提取信息和转换信息的能力，培养学生阅读、领会和理解数学问题的习惯，这样才能提升学生在熟悉的情境中发现问题并将其转化为数学问题的水平.

2. 选择适当数学模型表达要解决的数学问题的水平

能够在熟悉的实际情境中，模仿学过的数学建模过程，选择适当的数学模型表达所要解决的数学问题，是解决此题的关键.

对于数学建模素养水平不足的学生，虽然能参照此题中的提示或模仿教材中的问题1，选择并建立了一次函数模型，写出函数关系式y = 1 - 0.1x，也能建立方程模型1 - 0.1x = 0.5表达A，B两种品牌的共享单车的骑行单价一样，但却不能建立不等式模型1 -0.1x < 0.5或1 - 0.1x > 0.5来比较骑行单价的大小，只能采用特殊值的方法验证说明. 这反映了其不能从运动变化的观点分析具体问题中变量间的关系，并用数学符号把问题中的数量关系转化为不等关系.

在实际问题的教学中，教师应当注重渗透函数、方程、不等式等数学思想，让学生感悟数学表达对数学建模的重要性，进而提升学生选择适当数学模型表达要解决的数学问题的水平.

3. 创造性改进数学模型精准解决数学问题的水平

此题非常规的地方是问题中的变量[x]的取值为整数，函数的图象是一些离散的点，而且当[x≥9]时，函数模型是常数函数. 这对学生来说是新的情形，要求学生能够根据问题的实际意义来验证结果，同时创造性地改进数学模型，得出新的函数关系. 在解题过程中，数学建模素养水平较高的学生能够在新的情境中创造性地写出常数函数[y=0.1，] 进一步得到分段函数，同时也能够准确地写出自变量的取值范围. 例如，[y=1-0.1x 0≤x≤9，0.1 x≥10] 或[y=1-0.1x 0≤x<9，0.1 x≥9.] 试卷分析显示，70%的学生不能写出常数函数[y=0.1，] 这反映了学生缺乏创新意识，对新情境的应变能力不足.

在实际问题的教学中，教师应当注重编制不落俗套的创新性应用问题，培养学生数学建模的迁移能力，使学生能够在解决非常规问题的过程中生成超越教材规定内容的数学知识，进而提升学生创造性改进数学模型，精准解决数学问题的水平.

4. 运用数学语言准确表达建模过程和结果的水平

此题对学生的数学语言表达能力有较高的要求. 数学建模素养薄弱的学生出现的表达错误主要有两个方面：一是模型的约束条件表达不正确，即漏写或错写了自变量x的取值范围;二是解决问题的表述不完整，仅简单下结论，即只回答选择某一种品牌共享单车实惠，而没有说理的过程或没有分情况说明选择建议的依据.

在实际问题的教学中，教师应当注重对学生数学语言表达能力的训练，强化说理和分类的意识，培养学生思维的严谨性，指导学生完整地表述自己的结论，逐渐提升学生运用数学语言准确表达建模过程和结果的水平.

三、结束语

《教育部关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》指出，试题命制要充分考虑城乡学生学习和生活实际，增强情境创设的真实性、典型性和适切性. 创设合理的实际情境，目的是引导学生用数学眼光看待生活中的问题;而设计蕴含数学模型的实际问题，目的是引导学生用数学方法分析和解决问题. 题目情境源于生活、设问归于建模，能有效评价学生的数学建模素养水平. 但如何命制题目才能对学生的数学建模素养水平给予精准评价，还有待进一步研究.

参考文献：