核心素养观下“三主一变”的习题课设计

蔡卫兵

摘  要：在倍角三角形三边关系证明的习题课中，以“边角的转移方法”为主题，以“证法切入点的探究”为主线，以“正反关联、纵横比较”为变式，为学生搭建有依据、有目的、有意识的理性思考和研究讨论的平台，让学生学会运用数学的思维方式合乎逻辑地进行有条理的思考，从而促进学生思维的长远发展，同时有效培养学生的数学学科核心素养.

关键词：三主一变;习题课;倍角三角形;切入点

一、问题提出

在数学学科的教学过程中，教师要系统地向学生传授基础知识、数学思想方法及解题规律等. 但数学内容的抽象性、语言的符号性和推理的严密性，往往使学生觉得学好数学很难. 即便学生在课堂上掌握了所学知识，也未必能够灵活运用. 特别是在进行了一个阶段的学习后，面对一些综合性的题目，学生更感觉到无从下手. 要想解决这些问题，就需要充分发挥习题课的作用. 正如数学教育家刘应明所说，通过数学教学来培养学生的能力，最基本而又可行的方法，就是加强数学习题课的作用. 通过习题教学让学生理解概念、掌握方法、体验过程、领悟思想，提升学生分析问题和解决问题的能力.

然而，在实际的数学习题课教学中，有的教师仍然带领学生做着简单、机械的练习，追求做题的数量，采取题海战术;有的教师则把习题课变为作业讲评课，简单地更正对错;有的教师习惯于研究“怎样解”，较少问“为什么这样解”，更少问“怎样学会解”，忽略了探究过程中的辅助、转换等环节的设计;有的教师徘徊在一招一式的归类中，缺少观点上的提高或实质性的突破，对问题的提出和应用研究不足. 在这样的现状下，数学习题课不能与新授课相匹配，不能作为新授课的有益延伸和补充. 怎样才能更好地挖掘习题课的功能，促进学生数学思维的发展和数学学科核心素养的提升，是亟需解决的问题.

二、基本思路

在日常的习题课教学中，践行一题多思，体悟数学思维，构建以落实“四基”和学生的思辨感悟与有效发展为目标的“三主一变”教学模式，综合体现在“用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界”的过程中. 其教学形态是指准确把握教学主题，合理设计教学主线，以学生自学、小组活动和教师重点解析为基本教学组织方式，以“怎么做、怎么想到这样做、怎样解决同一类型的题”三步曲为操作模式的习题教学策略. 通过对习题本质的深入挖掘和方法提炼，达到追根溯源的目的，促进学生理性精神的提升，同时开启和丰富学生的心智.“三主”包括主题、主线和主体. 其中，主题指一堂课的核心知识和其中所蕴涵的数学思想方法、规律、策略，是教学内容的重点;主线是指连接课堂教学各个环节的主要脉络;主体是指教学对象（即学生），其外延包括学生的原有知识、经验，以及学生在学习时的情绪状态、交往状态和主动程度.“一变”是指在先学后教、以学定教的基础上，根据不同习题进行条件变换、结论探索、逆向思考、图形变化等多角度、多方位的探讨，强化思维的连贯性和知识的衔接性.

三、案例分析

1. 目标引领、理性探索，提高解决问题的目标感和计划性

题目  如图1，在[△ABC]中，[BC=a，AC=b，AB=c，][∠C=2∠B，] 求证：[c2-b2=ab.]

这是在一节倍角三角形三边关系证明的习題课中给出的题目，根据学习内容和学生的特点，确定这节习题课的主题为“边角的转移方法”，以“证法切入点的探究”为明线，以“转化思想、数形结合思想、模型思想”为暗线，以“正反关联、纵横比较”为变式，以问题启发学生有效思考，促进师生智慧互动为基调，以动手操作和合作探究为基本学习途径，循序渐进地使学生在变化中发现不变的本质和变化的规律，进而认识数学本质，提升问题解决能力. 美国数学家M.克莱因认为，数学是一种目标明确的思维活动，是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度. 为了提升学生解决问题的目标感和计划性，先由学生自主归纳并绘制关于倍角关系的处理方法、比例线段的证明方法、平方关系的构造方法的思考流程图，如图2所示. 避免思维的盲目性，以便及时、准确地调控思维方向，有效消除思维定势的干扰.

2. 挖掘问题本质、寻找切入点，体验构造基本图形的合理性和多样性

（1）从“倍角关系”切入.

证法1：如图3，过点C作CD平分∠ACB，交AB于点D，

则[∠ACD=∠BCD=∠B.]

所以[CD=BD，△ACD∽△ABC.]

所以[ACAB=ADAC=CDBC.]

所以[AD=b2c，BD=CD=abc.]

所以[AD+BD=b2c+abc=c.]

所以[c2-b2=ab.]

证法2：由证法1，得[CD=BD，△ACD∽△ABC.]

所以[C△ACDC△ABC=ACAB，]

即[b+ca+b+c=bc.]

化简，得[c2-b2=ab.]

证法3：由证法1，得[△ACD∽△ABC.]

所以[S△ACDS△ABC=ACAB2.]

如图4，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，

则[DE=DF.]

所以[S△ACDS△BCD=ACBC.]

所以[S△ACDS△ABC=ba+b.]

所以[b2c2=ba+b.]

化简，得[c2-b2=ab].

【评析】此题条件中的有效信息为“[∠C=2∠B]”，将倍角转化为等角推导出边之间的数量关系是常规解题路径. 证法1 ～ 证法3将倍角平分产生等角，由等角产生等腰三角形和相似三角形. 证法1利用相似三角形的对应边成比例分别表示[AD，CD，] 借助[AD+BD=AB]的等量关系，运用等量代换列出等式;证法2利用相似三角形的周长之比等于相似比求解，其关键是运用[AD+][CD=AB]的整体思想及两三角形周长可求的发现;证法3利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，结合角平分线的性质发现面积之比可求而建立等价关系.

证法4：如图5，作[∠DBC=∠ABC，BD]交[AC]的延长线于点[D.]

因为[∠ACB=∠DBC+∠D，∠ACB=2∠ABC，]

所以[∠DBC=∠D.]

所以[BC=CD.]

因为[∠A=∠A，∠ABC=∠D，]

所以[△ABC∽△ADB.]

所以[ACAB=ABAD，]

即[c2=bb+a.]

所以[c2-b2=ab.]

证法5：如图6，作∠DBA = ∠ABC，过点A作BC的平行线交BD于点D，则四边形ACBD为等腰梯形，过点A，D分别作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F.

根据“线平行，角平分，形等腰”的基本图形，可得[AD=BD=AC=b.]

易求得[BF=CE=a-b2，BE=a+b2.]

所以[b2-a-b22=c2-a+b22.]

化简，得[c2-b2=ab].

证法6：同上可得四边形ACBD为等腰梯形. 如图7，连接[CD，] 则[CD=AB，A，C，B，D]四点共圆.

由托勒密定理，得

[AB ∙ CD=AC ∙ BD+AD ∙ BC.]

所以[c2=b2+ab，]

即[c2-b2=ab.]

【评析】证法4 ～ 证法6通过半角加倍产生等角，由等角产生等腰三角形与相似三角形或等腰梯形. 证法4在[∠C]的外部将[∠ABC]加倍，作出符合运用三角形外角定理转化为等腰三角形与相似三角形的基本图形;证法5和证法6在[∠C]的内部将[∠ABC]加倍，直接产生等腰三角形或等腰梯形，借助“线平行，角平分，形等腰”的基本图形即能确定两底边、腰长及对角线长的等腰梯形. 证法5通过作等腰三角形底边上的高线即能沟通上、下底之间的联系，由此进一步想到利用勾股定理建立方程;证法6从目标上分析，将等腰梯形对角线的乘积与对边乘积之和建立联系，进而想到构造辅助圆，由托勒密定理直接获得奇思妙解.

（2）从“线段之和”切入.

证法7：如图8，延长[AC]至点[D，] 使得[CD=CB，]连接[BD.]

则[∠D=∠CBD=12∠ACB=∠ABC.]

所以[△ABC∽△ADB.]

所以[ACAB=ABAD，]

即[c2=b b+a.]

所以[c2-b2=ab.]

证法8：如图9，延长[BC]至点[D，] 使得[CD=AC.]

则[∠D=∠CAD.]

所以[∠ACB=2∠D.]

因为[∠ACB=2∠B，]

所以[∠D=∠B.]

所以[AB=AD，且△DAC∽△DBA.]

所以[CDAD=ADBD，]

即[c2=bb+a.]

所以[c2-b2=ab.]

【评析】证法7和证法8执果索因，先将结论进行等式变形，觀察式子特征进行联想，这是常见的“母子”型相似中的等积式，为此需要找到一个三角形的一条边长为[a+b.] 常用的策略是补短，在此基础上利用“等边对等角”既能联系已知条件中的倍角，又能出现以[c]为公共边且分别包含[b]与[a+b]的两个三角形相似，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决.

（3）从“线段平方”切入.

证法9：如图10，过点A作AE⊥BC于点E，在EB上截取ED = EC，连接AD.

由勾股定理，得[AB2-BE2=AC2-CE2，]

即[AB2-AC2=BE2-CE2=BE+CEBE-CE=BC ∙ BD.]

因为[AE]垂直平分[CD，]

所以[AC=AD.]

所以[∠C=∠ADC=∠B+∠DAB.]

因为[∠C=2∠B，]

所以[∠B=∠DAB.]

所以[BD=AD=AC.]

所以[AB2-AC2=BC ∙ AC，]

即[c2-b2=ab.]

证法10：如图11，过点[A]作[AE⊥BC]于点[E，] 在[EC]的延长线上截取[ED=EB，] 连接[AD.]

由勾股定理，得[AB2-BE2=AC2-CE2，]

即[AB2-AC2=BE2-CE2=BE+CEBE-CE=BC ∙ CD.]

因为[AE]垂直平分[BD，]

所以[AB=AD.]

所以[∠B=∠D.]

因为[∠ACB=2∠B，∠ACB=∠D+∠CAD，]

所以[∠D=∠CAD.]

所以[CD=AC.]

所以[AB2-AC2=BC ∙ AC，]

即[c2-b2=ab.]

【评析】证法9和证法10由边之间的平方和或平方差的结构特征想到直角三角形中的勾股定理，为此过点[A]作边[BC]上的高线，将含有平方的两边均置入直角三角形中，构成解直角三角形应用中的“背靠背”模型. 然后利用勾股定理将两边的平方差转化为同一条直线上两条线段的平方差，通过因式分解又向目标前进了一步，接着利用轴对称转移边角即可实现求解.

一题多解有利于培养学生的发散思维与创新能力，同时有利于构建知识网络、整合知识体系，能够让学生感悟证法的切入点与辅助线产生的合理性和灵活性，以及基本图形的简洁性. 在习题的分析过程中，显化、渗透或应用转换与化归思想，不仅可以使学生产生新的想法，而且能够聚焦问题的根本.

3. 变式拓展、联立联系，感悟问题内涵思维的关联性与灵活性

变式1：在[△ABC]中，[BC=a，AC=b，AB=c，c2-][b2=ab，] 求证：[∠C=2∠B.]

变式2：如图12，在[△ABC]中，[BC=a，AC=b，][AB=c，] 点[E，D]分别在[BC]的延长线及反向延长线上，[∠ABD=2∠ACE.] 求证：[c2-b2=ac.]

变式3：在[△ABC]中，已知[BC=a，AC=b，AB=c，][∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.] 求证：[1b+1c=1a].

关于变式1与变式2，学生根据前面所掌握的添加辅助线的方式（从倍角关系切入，从线段之和切入，从线段平方切入），运用类似于上述思路即可获得证法，限于篇幅，类似的解法不再重复. 关于变式3，其中蕴涵了从一般到特殊的数学思想，随着条件的强化，三角形的形状唯一确定而大小不定，但其三边满足调和平均数的关系，在类比思想的指导下挖掘问题本质，寻找切入点，有助于将内隐的解题经验可视化、结构化，从而升华解题经验. 对于变式3，可以从模型和三角形关系两个角度切入，得到如下几种证法.

（1）从已有模型切入.

证法1：因为[∠C=2∠B，]

所以[c2-b2=ab.]

因为[∠B=2∠A，]

所以[b2-a2=ac.]

所以[b+ac=cb， b+ac=ab-a.]

所以[cb=ab-a.]

化简整理，得[1b+1c=1a.]

（2）从三角关系切入.

证法2：如图13，作[∠DAC=∠BAC，] 交[BC]的延长线于点[D.]

则[∠DAB=∠B=360°7，∠ACD=∠ADC=540°7.]

所以[AC=AD=BD=b，CD=b-a.]

在此基础上可利用“角平分，线平行，形等腰”转移边角，并构造“X”型相似，如图14，过点[B]作[BE∥AD]，交[AC]的延长线于点[E.]

易证得[BE=AB=c，且△ADC∽△EBC.]

所以[ADBE=CDBC，]

即[bc=b-aa.]

化简整理，得[1b+1c=1a.]

证法3：在图13的基础上结合结论的等价关系“[b+cc=ba]”，截长补短，将b与c转移到同一直线上进行相加，由此获得“A”型平行相似.

如图15，延长BA至点E，使[AE=AD=b，] 连接DE.

易证得AC∥DE.

所以[BEBA=BDBC，]

即[b+cc=ba.]

化简整理，得[1b+1c=1a.]

证法4：如图16，作∠DAC = ∠BAC，交BC的延长线于点D，延长[AB]至点E，使得[BE=BD=][b，] 连接DE.

易证得[△ABC∽△EAD.]

所以[BCAD=ABAE，]

即[ab=cb+c.]

化简整理，得[1b+1c=1a.]

此时学生不仅拓展了对倍角三角形的认识，还积累了边角的转移方法和解题经验. 进一步发挥数学思想方法的上位指导作用，综合运用和强化转化与化归、类比、建模等数学思想方法，确定解题的方向和策略，领悟问题解决之道，抓住不变规律，掌握问题本质，在融会贯通中真正发展学生的思维潜力，重视培养学生思维的灵活性.

四、结束语

习题课是数学教学中的一种重要课型，它是对新授课的巩固，主要是引导学生运用已经学过的知识，形成一些数学的解题技能，从而加深对数学知识的理解，并培养学生的数学思维和数学意识.

因此，教師在习题课上讲授的例题和习题，要超越模仿和初步变式的阶段，应该进一步变式，并与其他知识和技能初步综合，引导学生深刻领会数学问题所内隐的数学概念，善于提炼出几何关系的本质，高观点理解数学知识的本真意义. 在解题前要善抓中心，在解题中要及时升华原有的解题经验，在解题后能汲取题目中蕴涵的基本思想，在解答切入点的探究中揭示问题的本质结构，而不是过多地聚焦于解题过程带来的直接结果——追求巧方法或简单方法. 随着习题题型的丰富、涉及范围的扩大、难度的提高，要让学生对解题经验有所悟，并进行初步的总结，形成知识结构体系.

核心素养观下“三主一变”的初中数学习题课应该围绕培养学生数学学科核心素养这一主旨进行，突出聚焦性、自然性、自主性、策略性、归一性. 以联系为核心，建立学生的认知结构;以探究为方法，提升学生的问题解决能力;以知识为载体，发展学生的数学学科核心素养. 习题内容的设计要关注学生的理解，解题活动的设计要促进学生的理解，解题评价的设计要落实学生的理解，引领学生在理解的过程中体悟问题解决思维的多样性和灵活性，体悟问题本质思维的发散性和深刻性，体悟问题内涵思维的关联性和广阔性，是教师培养学生数学学科核心素养的最佳时机，也是培养学生数学学科核心素养的有效途径.

参考文献：

[1]曹谷铭. 基于“问题聚焦”的习题课案例设计分析[J]. 中学数学教学参考（中旬），2019（3）：70-73.

[2]钱宜锋. 一道填空压轴题解答切入点的探究[J]. 中学数学教学参考（中旬），2019（4）：51-53.