以数学知识发生、发展的视角展开概念课教学

郑海山

摘  要：数学概念是数学思维的基础，是数学思维培养与提升的关键. 以“平方根”一课为例，从概念形成、特征表述、内涵与外延的应用等方面阐述平方根的发生、发展过程. 在教学中，教师应该尽可能地基于数学知识发生、发展的视角开展教学，使学生既能理解并掌握知识，又能合理地分析与思考，促进学生理解数学.

关键词：平方根;数学思维;概念课教学

教师往往在解题教学中强调逻辑，但是在概念教学中，却很少从蕴涵于概念知识中的认知视角、思想与方法等角度全面解析数学知识，故而不能设计出科学合理的教学表达方式，不利于培养学生的数学思维. 在概念课的教学中，教师要从数学知识之间的逻辑性，从符合数学思维的角度展开教学，以便更好地呈现数学概念发生、发展的过程. 笔者以“平方根”一课为例，对此进行探讨.

一、数学知识要素分析

本节课选自浙教版《义务教育教科书·数学》七年级下册（以下统称“浙教版教材”）第六章“实数”的第一节“平方根”. 教师在开展“平方根”一课的教学前，要充分认识到七年级学生因平方根概念、符号表示等较为抽象而存在理解上的困难. 要突破教学难点，教师要认识到有关知识的逻辑基础和思维过程，将知识发生、发展的过程充分展现给学生. 引导学生从本质上理解所学知识，才是真正意义上的数学理解.

1. 数学知识逻辑——为什么要学习平方根

研究对象的产生有一定的逻辑基础或源于生活中的真实情境，四则运算和乘方运算都有其逆运算：加与减，乘与除. 乘方是开方的逆运算，在运算领域比较容易理解，不容易理解的是为什么要有平方根. 如何理解平方根，以及后续对无理数概念的理解，这需要在教学中给予重点关注. 浙教版教材中利用“已知正方形的面积求其边长”的策略来引入平方根，恰好解决了以上的思考，体现了数学源于生活和生活数学化的过程，其学习的必要性彰显无遗.

2. 数学思维角度——如何研究平方根

理解平方根概念：作为运算结果，平方根是幂的底数，与幂为互逆关系;作为运算过程，开平方是平方的一种逆运算，但并不是唯一的，高中阶段还有对数运算. 因此，从平方根的生成过程开始，要将思维过程充分展现出来，使学生认识到平方根概念背后的逻辑性和合理性，在知识的产生环节多问“为什么”，逐步让学生学会研究作为结果和运算属性的概念.

3. 数学知识发生、发展的视角——为什么这样研究平方根

数学研究有其一定的方式和角度，教师要在教学中给予体现，使学生掌握研究的基本套路. 教师可以根据从特殊到一般的生成策略引导学生学习平方根概念，采用“阅读 + 列表”的形式对比平方根相关符号的表示方法，运用题组变式辨析概念之间的关系，注重代数的逻辑推理，从掌握研究方法和完整知识体系的角度帮助学生理解所学知识.

二、“平方根”教学设计

环节1：多角度创设情境，引出概念.

问题1：填空.

（1）[42=]    ;

（2）[-42=]    ;

（3）[        2=16.]

问题2：我们学过哪些运算？填写表1.

问题3：正方形的边长为7，则面积是     ;正方形的面积为100，则边长为     ;正方形面积为3，则边长为     .

【设计意图】制造易错点、对比点和冲突点引入教学，符合学生的认知基础和学习兴趣. 问题1以易错点为后续寻找平方根做好铺垫;问题2从运算关系、运算结果和符号表示进行对比，为探究新知、形成完整的运算体系做好准备;问题3设计了三个不同层次的填空问题，让学生明晰平方根源于实际，平方根符号的创造更是实际所需. 上述設计符合学生学情，知识体系的发生、发展也符合学生的思维过程.

环节2：从一般到特殊甄别核心概念，从特殊到一般生成性质.

问题1：根据材料回答问题.

材料：如果[x2=a，] 那么[x]叫做[a]的平方根. 例如，[±102=100，] 那么[±10]叫做[100]的平方根，也叫做100的二次方根.

（1）根据上述材料，检验表2中的[x]是否为[a]的平方根？为什么？

（2）判断对错.

① 5是25的平方根;

② 25的平方根是5.

（3）文字描述平方根的概念.

【设计意图】此环节从数学模型入手，建立从一般到特殊的概念呈现过程，增强学生对平方根概念的理解，特别是平方根结果的完整性，再进一步抽象为文字描述，让学生掌握抽象概念学习的一般方法.

问题2：分别说出49，[125]，0，-4的平方根. 你能发现[a]的平方根结果与[a]存在怎样的关系吗？

问题3：根据你的发现，尝试举例验证.

【设计意图】从特殊的例子中有目的地引导学生归纳一般性的结论，再引导学生根据自己发现的结论进行举例验证，让学生掌握运用不完全归纳法发现过程并验证结论的一般方法，使逻辑推理落到实处.

环节3：优化相关概念教学，凸显符号化.

问题1：3的平方根是多少？如何表示？

问题2：阅读浙教版教材第68页和第69页，确定在不同运算背景下给定的数[a，] 分别有什么要求？完成表3.

问题3：求             的运算叫做开平方，用“[]”是进行什么运算？

【设计意图】在问题“3的平方根是多少”的激发下，学生阅读的专注度和有效性得到提高. 采用“阅读 + 表格 + 讨论”的形式展开教学，从具体的可开方数到不可开方数，再到字母讨论，逐层表示平方根、正平方根、负平方根、算术平方根的异同点;充分发挥表格的层次性、有序性和对比性，强化各类平方根表示法的特征，同时利用从特殊到一般的思维方式，引导学生对[a]进行讨论，促使学生主动发现易错点，明晰相关概念.

环节4：知识运用与提升，注重集中思维与发散思维的培养.

练习1：求下列各数的平方根.

（1）9;          （2）0.36;      （3）[14];

（4）[1916];   （5）7.

练习2：先说出下列各式的意义，再计算.

（1）[2.25;]                 （2）[-121;]

（3）[-52;]             （4）[±-4-9.]

【设计意图】在学习平方根后，提供集中思维练习的素材，帮助学生掌握知识和技能，理清单一或多个知识点，规范答题，减少错误.

练习3：判断下列说法的正确性.

（1）5是25的算术平方根（    ）;

（2）-5是25的一个平方根（    ）;

（3）-6是36的算术平方根（    ）;

（4）6是36的一个平方根（    ）;

（5）36的平方根是6（    ）;

（6）0的算术平方根是0（    ）;

（7）0.01是0.1的算术平方根（    ）;

（8）-25的平方根是-5（    ）.

练习4：正方形的面积为7，它的边长为多少？

练习5：填空.

（1）16的平方根是      ，算术平方根是     ;[16=]      ;[±16=]      ;[-16=]      ;[16]的平方根是      .

（2）11的平方根是      ，算术平方根是      .

（3）根据平方根的定义，则[±a2]的值是     .

练习6：两个边长为1的正方形，能否拼成一个更大的正方形，所得的大正方形的面积是多少？边长又是多少呢？

【设计意图】对相关概念符号及其本质的掌握需要不断通过似是而非的情境加以提炼. 练习3通过判断题让学生辨析各概念之间的区别和联系，利用发散性问题激发学生的兴奋点，引导学生理清知识. 练习4让学生感受到平方根在生活中的运用，学会合理选择算术平方根和平方根. 练习5通过填空题组集中展现文字和符号描述，带领学生体验符号的简洁美，同时进行适当拓展，让学生了解根据定义解决问题是概念问题解决的常用方法. 练习6从正方形面积得到[2，] 从形的角度解释平方根的来源，丰富学习平方根的意义，同时为下节课的学习做好铺垫.

教师要引导学生从知识技能、思想与学习方法三方面进行课堂小结. 课堂小结不仅是要梳理知识，更是为了对今后学习类似的概念起到示范引领作用，为后续学习提供可借鉴的研究途径. 师生共同对本节课进行小结，如下图所示.

三、教学感悟

数学是思维的科学，数学教育要回归数学本来的面目，着眼于学生的长足发展，发挥数学的内在力量，挖掘数学内容中所蕴含的资源，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考.

1. 理解数学知识的本质，积累概念教学表达经验

教学的目的是使学生从“学会”逐步达到“会学”，这就需要教师有相应的数学知识的教学表达经验，而要具备这种经验，需要教师对概念体系的形成原因及概念的上、下位知识有清晰的认识，具备用高观点解释初等数学知识的能力. 例如，对于为什么要学习平方根，教师不仅需要从源于生活需要的角度思考，还要从数系扩充的角度考虑，充分知晓概念源于哪里、去往何處. 从平方根的本位知识角度考虑，教师需要知道底数、指数和幂三个变量之间的辩证关系，即从求幂（乘方）到求幂的底数（方根）再到求幂的指数（对数），从而从算法的视角理解概念的演变过程. 上述对概念产生理解的视角，能普遍运用于教师在概念教学中所要考虑的因素，使教师善于表达数学知识，使之更源于实际、更具数学味.

2. 理解学科教学知识，形成概念教学之道

学科教学知识的核心要素是理解学生和理解教学，因此，教师要关注教学内容，以及学生的学习能力与知识储备. 学生的认知基础决定了其有自己理解数学知识的角度和方式. 教师在理解学生和理解教学上水平的高低决定了其教学行为的有效性. 教学必须以学生的认知基础为出发点，深刻思考学生是怎么学的，以及教学内容的呈现方式与学生的学是如何匹配的. 本案例中，从培养学生的数学思维和矫正学生的学习错误两个角度去实施教学. 培养学生数学思维的有序性，就要从生活化和数系发展角度阐述平方根的由来和必要性，即从概念模型化（模型—具体—抽象）入手，阐述概念的生成过程，符合学生的认知规律，有利于凸显问题发现的基本方法和基本途径，同时能够为今后学习立方根等类似的概念做好思维有序性与方法的铺垫. 在平方根相关概念及符号的教学中，采用让学生自主阅读、表格任务、讨论研究等教学策略，能够使零散的知识有序化、对比化，起到引导学生思辨的作用，以达到矫正学生学习错误的目的. 上述对概念的发现、相关衍生概念的处理和概念甄别深化的过程，是基于学生的学习习惯与学习内容的契合度，最终形成教师对概念教学的行动策略和模式，使得教学行为更符合人与知识的共生发展.

3. 理解课程标准和教材，促进概念教学的有效性

教学不能脱离教材，也不能唯教材论. 教师要深入研究课程标准的内容和要求，以及教材的结构体系，要认真思考教学素材的选择和呈现方式等. 素材的选择应体现学生抽象数学概念、应用概念进行推理，以及利用所学知识解决问题的需要. 教师还要适当改编、补充具有挑战性的题组，推动学生的数学思考，引导学生纠错、辨错、对比、内化、创新，在解题中构建更加稳定、清晰、系统化的知识体系，同时促进学生的数学思维从低阶向高阶过渡，使学生的知识积累和思维能力得以提升.

参考文献：

[1]徐章韬. 面向教学的数学知识：基于数学发生发展的视角[M]. 科学出版社，2013.

[2]章建跃. 理解数学是教好数学的前提[J]. 数学通报，2015，54（1）：61-63.