让学生经历概念抽象的深度思考过程

曹建军

摘  要：良好的教学设计是引导学生深度思考的基础，而良好的教学设计建立在教师理解数学、理解学生、理解教学的基础上. 在锐角三角函数概念的教学中，基于课程标准分析，明确学习要求;基于内容分析，理解数学本质及核心育人价值，确立教学重点;基于学情分析，把握学生的学习规律及难点. 在此基础上，整体设计教学活动，选择合理的课程资源，提出有针对性的数学问题，让学生经历概念的完整抽象过程，引发学生的深度思考，发展学生的数学学科核心素养.

关键词：锐角三角函数;数学抽象;深度学习

在一次研讨浙教版《义务教育教科书·数学》九年级下册第一章“解直角三角形”第1节“锐角三角函数”一课的教学时，发现许多教师对锐角三角函数的概念理解不深刻，难以引领学生经历概念抽象过程中的深度思考，教学效果不理想. 经过进一步的磨课，重新分析教学内容和学情，重新設计教学，提高了教学设计的品质，引发了学生在概念抽象过程中的深度思考. 现将研究与改进过程与大家分享交流.

一、基于课程标准与内容分析，明确学习要求与数学本质

1. 研究课程标准，明确学习要求

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）对锐角三角函数的学习要求是利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数. 我们认为其中明确了三个方面的问题：一是学习对象，即锐角三角函数;二是知识的生长点，即以相似的直角三角形为基础，对直角三角形的边角关系进行量化研究，抽象出锐角三角函数的概念，本质上是对三角形的边角关系的进一步研究;三是学习要求，即何为探索并认识？探索什么？认识什么？在这三个问题中，大家认为比较难理解的是“探索并认识”.

《标准》中有两类行为动词：一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”等;另一类是描述过程目标的行为动词，包括“经历”“体验”“探索”等.

“探索”是描述过程目标的级别最高的行为动词，是指独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识. 让学生经历“观察—归纳—猜想—证明”的整个探究问题的过程，使学生知其然，知其所以然. 这不仅是过程性教学的要求，更是积累研究经验、丰富研究方法与手段的必然要求.

“认识”是描述结果目标的级别较低的行为动词. 其同类词是理解、会，如认识三角形.“理解”的含义是描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系.

2. 分析内容，理解概念的数学本质

受高中任意角三角函数的影响，以及锐角三角函数单值对应的事实，许多教师认为本节课的教学要强调“函数味”. 但仔细研究《标准》，可以发现锐角三角函数在《标准》中属于“图形与几何”第二部分“图形的变化”中“图形的相似”的内容，可见它在初中数学中属于几何内容而非代数内容.

事实上，高中的任意角三角函数与初中的锐角三角函数是有本质区别的. 高中的任意角三角函数属于严格意义上的函数，我们会进一步研究它的图象和性质（研究对象是周期现象），而初中的锐角三角函数主要研究的是直角三角形中边角之间的定量关系，这从章名——“解直角三角形”可见一斑. 有的版本的教材直接将这种直角三角形中边与角的关系叫做“三角比”，应该是更为准确的. 高中阶段继续学习的解斜三角形，是对初中锐角三角函数内容的发展，只增加了正弦定理和余弦定理，本质上是对三角形边角关系的推广. 这些内容称为“三角学”，并非现代意义上的三角函数.

在一般三角形中，只要三个角的大小确定，其形状就会随之确定. 直角三角形由于其特殊性，只要一个锐角的大小确定，其形状就确定. 形状不变如何刻画？根据边之比即可. 因此，锐角三角函数本质上是用边的比值刻画“一个锐角确定一个直角三角形的形状”，也是对直角三角形相似的函数观点描述.

图1为本节课的课时知识逻辑结构图，有助于我们正确认识本节课内容的数学本质. 要研究直角三角形的性质，我们已经学过边的定量关系（如勾股定理）、角的定量关系（如两锐角之和为90°），但仍缺少边与角的定量关系. 研究发现，在直角三角形中，当锐角的大小确定时，边的比值也确定. 同时，发现当锐角的大小变化时，边的比值也随之变化，即两者之间存在单值对应关系，满足初中函数的变量定义. 因此，我们说直角三角形边的比值是与锐角的大小有关的函数.

实际上，在这一过程中，当明确了“锐角确定，边之间的比值随之确定”后，我们就可以根据角与边之比的对应关系解决边与角之间的转化，所以直角三角形的边的比值的不变性才是本节课的学习核心，即锐角三角函数的内涵是直角三角形中边与角的定量关系. 在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，直角三角形各边之间的比值随之确定，主要用于解直角三角形. 因此，降低锐角三角函数的“函数味”也就可以理解了.

综上所述，本节课的教学重点是定量研究直角三角形中边与角之间的数量关系，得到锐角三角函数概念，而不是比值与角之间的函数关系. 学生对其函数特征只要达到“认识”水平，即能描述锐角三角函数的特征和由来，阐述它与相似三角形、函数之间的区别和联系即可.

二、基于探索价值思考的教学改进

1. 初步设计

通过前面的分析，我们将学习活动的设计聚焦在直角三角形边与角的数量关系的探索上. 结合教学实践，并查阅了现行八个版本的初中数学教材，归纳得出了如图2所示的课时教学基本流程图.

首先，给出一个含有30°角的直角三角形，引导学生回顾“30°角所对的直角边是斜边的一半”和勾股定理，学生能够发现关于边的六个比值都是定值. 同时，发现有三组比值互为倒数，因此只取其中三个进行研究. 其次，观察含45°角的直角三角形，学生能发现这三组边的比值仍为定值. 经过对含有30°角和45°角的直角三角形的研究，当∠A = 68°时，学生自然能够猜想三组比值还是定值. 借助几何画板软件直观感受，发现确实如此. 再将∠A一般化为任意角度α，学生可以利用相似三角形的性质证明这一结论. 在整个过程中，学生发现当直角三角形中一个锐角的大小确定时，边的比值随之确定;锐角的大小发生变化时，边的比值也会变化，也就是角与边的比之间存在依赖关系，然后分别给出正弦、余弦、正切概念，最后总结给出锐角三角函数的定义.

2. 基于探索价值的思考

以上设计较好地解决了正弦概念的数学本质和“探索并认识”的定位问题，但仍存在不足，即教师单刀直入地提出了探索直角三角形的边角关系，直接给出问题：当固定一个锐角时，它的边之比是否确定？我们认为，这样的“探索”缺乏源头，研究对象的引入不够自然，其中的关键点是“告知式”给出的.

事实上，在采用这种设计教学时，教师与学生会有以下困惑：为什么研究三角形的边角关系，且只研究直角三角形的边角关系？如何想到用角与边的定量关系刻画直角三角形的边角关系？也就是说，这节课的难点在于学生是怎么发现直角三角形两个边的比决定了角度，或者角度决定了两个边的比. 显然，这才是更为关键的问题，是真正具有探索价值的问题.

对于为什么要研究三角形的边角关系，且只研究直角三角形的边角关系，可以从如下几个方面来思考. 第一，从确定三角形的条件中提出定量研究三角形边角关系的问题. 由“SAS”“ASA”“SSS”可知，三角形的形状、大小已经由这三组要素分别唯一确定，所以可以定性地得出结论：三角形的边与角之间存在确定的定量关系. 例如，由“SAS”可知，a，∠B，∠C都可以由给定的b，∠A，c唯一确定. 也就是说，一个三角形的两边及其夹角确定了，那么这个三角形的形状和大小就确定了，即其他三个要素也就确定了. 要素之间具体有什么数量关系？这需要进一步研究. 第二，特殊化降低难度. 一般三角形中由于要素关系多，研究存在困难，因此可以通过特殊化减少要素，降低研究难度. 直角三角形是最重要也是最简单的三角形，其中蕴含着很多重要的性质. 第三，一般三角形可以分解成两个直角三角形，从而可以利用直角三角形来研究一般三角形，说明以直角三角形的研究成果为基点可以进一步推广到一般三角形. 综上所述，直角三角形的边角关系相對简单，且具有可拓展性，从直角三角形开展研究是合理的.

对于怎样能让学生自然地想到研究边的比值，这并不是从直角三角形开始的，而应该从一般三角形的角度进行更为一般的思考. 三角形的定量性质，聚焦在边与边、角与角各自的定量关系上. 进一步的问题是：三角形的边与角之间是否存在定量关系？这实际上是发现和提出问题及明确研究路径的过程. 那么，三角形的边和角之间具有怎样的定量关系呢？由“两角分别相等的两个三角形相似”可知，由“对应角相等”可以确定“对应边成比例”;由“三边成比例的两个三角形相似”可知，由“对应边成比例”可以确定“对应角相等”. 也就是说，对于形状相同的两个三角形，无论其大小怎样变化，其边长的比值始终保持不变. 所以，我们可以通过研究边之间的比与角的关系得出三角形的边与角之间的定量关系.

3. 设计从背景到概念的探究活动，引领学生经历上述思考过程

环节1：由定性到定量，确定研究对象.

情境引入：如图3，有一座形如三角形的山坡，现测得斜坡的坡角∠A，∠B的度数分别为31°，43°，甲上坡行走了800 m，站在山顶的甲想：下坡还要走多长的路呢？

将上述情境抽象成以下问题.

问题1：在△ABC中，∠A = α，∠B = β，AC = a，求BC的长.

追问：△ABC中其余的边和角的大小能确定吗？你会求吗？

【设计意图】学生通过回顾全等三角形的判定，能够定性感受当三角形的两个角和一条边确定时，其余的边和角也就随之确定了. 对于问题1，学生可以通过三角形内角和求出∠C的度数，但是难以通过边的关系求得其余边的长度，这就引发了认知冲突，自然产生了研究边与角之间的定量关系的需要（如图4，研究问题的产生），也能够充分体会从定性到定量是数学发展的必然要求.

问题2：边与角之间的定量关系可以如何转化解决呢？

【设计意图】学生根据学习经验，知道从一般到特殊是解决数学问题的常用思路. 在一般三角形中难以解决的边角关系问题，可以尝试转化到特殊三角形中解决. 如图5，确定研究对象，即直角三角形的边与角之间的关系.

环节2：由特殊到一般，经历不变量的发现过程.

问题3：对于直角三角形中边与角的定量关系，你已经知道了什么？

【设计意图】学生对三角形中边之间的关系、角之间的关系比较熟悉，但对边角关系还只知道“大角对大边”的定性关系. 部分学生会想到在含30°角和45°角的直角三角形中，三边之间还有更为特殊的数量关系. 例如，在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，且三边之比是[1∶2∶3];在含45°角的直角三角形中，三边之比是[1∶1∶2]. 学生由此建立边之间比值的初步认识，但还不太确定这就是我们要寻找的不变量.

问题4：什么叫定量刻画？怎样定量刻画直角三角形中边角之间的关系？

【设计意图】学生根据经验，知道要定量刻画几何图形的性质，必须找到一个不变量，如用平方关系刻画直角三角形的三边关系. 但到目前为止，学生还没有找到. 为此，教师可以引导学生从最简单的特殊情形开始研究.

问题5：如图6（1），在Rt△ABC中，∠B = 90°，∠A = 30°. 若AC = 10，求其余边长.

如图6（2），在Rt△A′B′C′中，∠B′ = 90°，∠A′ = 30°. 若A′C′ = 20，求其余边长.

【设计意图】对于图6（1），学生能根据30°角所对的直角边是斜边的一半，求出边BC的长，再利用勾股定理求出边AB的长;对于图6（2），部分学生仍然会用同样的方法求解，也有部分学生会借助两个三角形相似解决问题. 通过计算及具体数据特征，学生能初步感受到：无论边长如何变化，30°角所对的直角边与斜边之比是定值，其他边之比也都是定值. 如图7，学生在不变量的目标指引下，能够发现以上结论.

问题6：我们已经发现含30°角的直角三角形中边的比值的不变性. 那么，其他角度的直角三角形中是否仍然这样呢？

我们可以再看一个例子. 在Rt△ABC中，∠B = 90°，∠A = 45°，当AC = 10或AC = 20时，分别求出其余边长.

【设计意图】通过具体的计算，让学生再次感受到当在含45°角的直角三角形中，各边的比值也是不变量.

追问：当∠A = 68°时，[BCAC， ABAC， BCAB]还是定值吗？

师生活动：先让学生思考，再用几何画板软件验证，发现当∠A = 68°时，[BCAC， ABAC， BCAB]仍为定值.

【设计意图】经历对含有30°，45°角的直角三角形的研究后，当锐角的度数一般化为68°时，学生能够猜想直角三角形的三边比值仍是定值，渗透从特殊到一般的思想. 教师借助几何画板软件进行演示，使学生能更直观地感受到“直角三角形中，当锐角角度确定时，三边之比皆为不变量”.

通过这样的研究，为后续猜想的证明奠定了基础，解决了关于为什么相似三角形是学习锐角三角函数基础的问题. 我们要研究的是一个三角形中的角和边之间比值的关系，怎样让学生想到用两个三角形的相似去证明呢？在含特殊角的直角三角形中，这样两组数值的设计能够让学生体会两个三角形是相似的，为后面一般化情况的论证提供了思路.

环节3：由直观到演绎，证明一般结论.

问题7：以上结论，对于任意锐角都成立吗？提出猜想并证明.

猜想：在直角三角形中，已知一个锐角的度数，其各边的比值不变.

【设计意图】学生根据前面含30°角的直角三角形的探索过程，能够想到用两个相似的三角形去证明猜想（如图8）. 通过一般角度的证明过程，渗透从特殊到一般的数学思想. 通过整个分析过程，培养学生用数学的思维思考问题的能力. 通过以上过程，我们发现直角三角形中，当角度确定时，边的比值确定;角度变化时，边的比值随之变化，也就是角与边的比值之间存在依赖关系，从而给出正弦概念，最后总结给出锐角三角函数的定义（略）.

三、教学反思

1. 努力提升概念教学价值，丰富概念抽象过程，将知识转化为智慧

数学概念凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想精华，是数学家智慧的结晶，蕴含了丰富的教育素材. 数学是用概念思维的，在概念学习中形成的思维方式、方法迁移能力也最强. 数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握知识，更重要的是让学生从中体验数学家概括数学概念的心路历程，领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛. 因此，数学课程应始终把学生放在第一位，不追求知识的丰富而追求知识的品质，从而丰富学生的学习经历，将知识的学习转化为自己的智慧. 就本节课而言，具体要强调的学科思维主要有以下几点.

一是从一般到特殊的研究策略. 当在一般三角形中无法解决时，将一般三角形的边角关系转化到直角三角形中，即转化到比较容易研究的特殊三角形中，为高中解任意三角形奠定思想方法的基础. 事实上，一些与一般三角形有关的后续定理（如正弦定理）正是转换到直角三角形中进行证明的. 例如，当无法找到不变量进行定量刻画时，教师可以引导学生从最简单的特殊情况开始研究. 由特殊得到启发，是数学发现的常用思维方式. 例如，毕达哥拉斯从地砖图案中发现勾股定理.

二是从定性到定量的研究路径. 把定性的结果变成定量的结果，是数学的基本追求，一旦定性的事物得到定量的表示，就意味着我们掌握了这个事物的变化规律. 从定性到定量，实际上是发现和提出问题及明确研究路径的过程. 锐角三角函数是初中阶段定量研究三角形的终章，形成了定量刻画三角形要素之间关系的完整结构. 事实上，学生已经积累了相关定量研究的经验，如用平方关系刻画直角三角形三边的关系等，具备了独立探究的基本能力. 因此，本节课的内容应是让学生再次经历这一研究路径的机会，对理性精神的培养也大有裨益. 对于“可以用什么来定量刻画直角三角形边角之间的关系？”学生如何找到“不变量”准确刻画这一数量关系是本节课的难点，但原来的教学设计回避了这一难点. 很显然，难点的突破可以有力促进学生数学思维的发展和数学素养的提升，对学生形成正确的数学观也是有利的. 也只有这样，“冰冷的美丽”才会成为“火热的思考”.

三是抽象数学对象的数学方式. 概念教学应该按“事实—概念”的路径，让学生经历“背景—研究对象—对应关系的本质—定义”的过程，获得锐角三角函数的定义. 也就是要让学生面临一个事实，分析这一现象中各种量及其之间的相互关系，然后建立一个函数来描述这种关系（概念）. 这是使研究对象简单化、本质化的过程，是培养学生数学抽象素养的过程. 总之，在锐角三角函数概念的教学中，教师要强调锐角三角函数是刻画边角关系的数学模型，要以“如何描述边角关系”为出发点，引导学生经历“背景—研究对象—对应关系的本质—定义”的抽象过程. 实际上，正弦概念的实质是命题，是对直角三角形的边角关系的另一种表述，它赋予了相似比新的数学含义. 在此过程中，数学思想、看问题的角度或观点发挥着决定性的作用，这是教师在数学教学中应引导学生认真体会的.

在改进后的学习活动中，学习的意义远不只是“让学生学会知识和学习知识的方法”，而是为学生提供了参与“发现”知识的机会，使学生能够像人类最初发现知识那样去面对问题、思考问题并做出判断，激发并培养自己敏锐的观察能力、正确的思考方式、适当的动手操作能力，等等，从而使数学教学的价值得以充分体现. 通过这样的探究过程，把前人积累的知识转化为学生个体的知识和观念（数学观念）;把前人从事智力活动的思想、方法转化为学生的认识能力和思维方式（数学思维）;把蕴涵在知识载体中的观念、态度转化为学生的行为准则（学习态度与责任）.

2. 高品位教学方案分析的一般流程与要点

数学课堂教学设计是教师依据课程标准和教材对教学内容进行加工、创造的过程. 教师对课程标准的理解、对教学目标的把握、对学生学习状态的了解和对课堂教学过程的驾驭能力，都会在教学设计中得到很大程度的体现. 因此，重视对数学本质的把握应该成为设计教学的基础和前提，重视通过师生双方的教学互动激发学生参与和探究的意识应该成为促进学生学习发生的有效手段. 进行课堂教学设计与教学目标达成的相关分析，能更好地从理念、方法和过程方面整体改进课堂教学，最大限度地提高数学教学的有效性.

教师能否设计出高品位的教学方案，取决于教师对学科整体结构的把握、对学科精神的领会，以及对学生水平与发展方向的确定. 若教师眼中的知识是有结构、有脉络、有内在联系的整体，就能够区分出哪些内容值得启发学生“经历”“发现”，哪些内容只需要知道或简单识记就足够. 同时，这个“再认识”的过程与初认识是不同的，是选择关键的、有意义的环节，进行逻辑的、结构的、系统的、有目的地展开的过程. 这样的过程正是学生个体认识应有的过程.

具体来说，分析的一般流程主要有以下几个方面：一是充分理解课程标准要求的内容与程度，以课程标准规范课程实施;二是明确内容的数学本质，帮助学生准确理解;三是对学生认知思维充分把握，探寻学科思维的关键;四是设计适当活动，创设真实的探索过程，从而实现“真探索”.

例如，本节课围绕“怎么发现在直角三角形中，当角度确定时，各边的比是确定的”这一关键问题开展探究，帮助学生实现了研究方法的突破，这显然是学科思维形成的关键. 又如，在寻找不变量的特殊情况研究中，从在一个三角形中直接研究边之比，到在两个三角形中具体量的计算，不仅顺利地得到了结论，也为后面证明思路的形成奠定了基础. 显然，这是更有意义的探究过程.

参考文献：

[1]曹建軍，王红权. 勾股定理逆定理需要证明吗：对“图形性质探索”的探索[J]. 教学月刊（中学版），2019（10）：29-32.

[2]章建跃. 研究三角形的数学思维方式[J]. 数学通报，2019，58（4）：1-10.

[3]郭华. 深度学习及其意义[J]. 课程·教材·教法，2016，36（11）：25-32.