平中见奇 以小见大

杨静霞

摘  要：以“能将矩形的周长和面积同时加倍吗？”一课为例，对正方形、正多边形、圆、矩形的“倍增”问题进行了层层深入的探究，进而深度思考综合与实践教学中生活与数学的关联性，通过挖掘其蕴含的规律和学科育人价值，阐述综合与实践活动对提升学生的数学学科核心素养的作用.

关键词：综合与实践;育人价值;提升素养

在数学教材中引入综合与实践活动，既是为了体现课程标准的要求，强化应用数学的意识，培养学生的综合实践能力和创新意识，也是为了锻炼学生综合运用所学知识的能力，从而提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力. 数学教学的目标不仅是让学生巩固“四基”，更重要的是培养学生的数学学科核心素养，发挥数学学科的育人功能. 基于此，上好综合与实践活动课，需要多方联系，使得数学与自然、数学与活动，相得益彰、相辅相成.

笔者在执教鲁教版《义务教育教科书·数学》（五·四学制）九年级上册第一章“反比例函数”综合与实践“能将矩形的周长和面积同时加倍吗？”一课时，发现这个课题巧妙地将代数知识和几何知识融为一体，实现了用代数方法解决几何问题的目的;同时在解决问题的过程中对培养学生学会研究数学问题的基本思路、渗透数学思想方法、锻炼学生的数学思维能力都有着非常积极的作用. 在此，笔者围绕本课例的教学过程阐述对综合与实践活动课的认识与思考.

一、教学内容说明

“能将矩形的周长和面积同时加倍吗？”一课是在学生具备了代数知识（一元二次方程、二元一次方程组、分式方程、反比例函数）和几何知识（矩形、正方形、正多边形、圆、相似等）的基础上，结合生活中的实际问题展开研究的，在研究过程中遵循由简单到复杂、由特殊到一般的方式，即从正方形到矩形再推广到正多边形和圆. 在解决问题的过程中，教师充分调动学生的知识储备，打通各知识点之间的联系. 既能实现代数知识之间的转化，即把方程组、分式方程、函数转化为一元二次方程来解决，也能把二元一次方程组变形为反比例函数与一次函数，借助画草图观察函数图象，由交点判断解的情况，渗透数形结合思想，又能把几何知识代数化，由相似多边形的性质（周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方），转化为方程来达到解决问题的目的. 解决问题的过程是数学知识高度抽象的过程，是直观想象的过程，是逻辑推理的过程，是数学运算的过程. 通过建立方程和函数模型，达到由特殊到一般、由一般到特殊、化繁为简的效果，体现了数学学科的抽象性、数学思维的严谨性和数学应用的广泛性.

二、教学过程设计

1. 常规积累，温故知新

（1）正方形的边长为a，它的周长是多少？面积是多少？长方形的长为m，宽为n，它的周长是多少？面积是多少？

（2）已知边长为1的正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？

【说明】通过第（1）题复习正方形、长方形的周长和面积公式，激活学生的思维. 第（2）题由边长为1的正方形开始研究，解决问题的过程会自然联想到以下问题：周长为原来2倍时该正方形的面积增加了多少？面积为原来2倍时，该正方形的周长又是怎样变化的？是否存在一个正方形，使其周长和面积同时是原正方形的2倍？由此，在解决问题的过程中不断发现规律，提出新的问题，得到结论，从而激活学生的思维，激发学生思考的兴趣和探究的热情.

2. 新知探究，总结规律

活动1：正方形“倍增”问题.

某公园栈道、古亭、小山风景如画，美不胜收. 春天到了，游人越来越多，停车场渐渐不够用了. 景区要把边长为10米的正方形停车场扩建成周长和面积同时是原来2倍的正方形停车场，你能利用所学知识，帮助工作人员实现这种设计方案吗？为什么？试在表1中呈现你的思路.

【说明】以学生熟悉的情境引入，激发学生爱家乡、建设家乡的热情，培养学生浓厚的学习兴趣，引起学生探究问题和解决问题的欲望. 尝试从“定周长”和“定面积”两个角度研究，为后面研究矩形的方法迁移做好铺垫.

追问：对于任意正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积同时是已知正方形的2倍？n倍呢？为什么？试在表2中呈现你的思路.

结论：对于任意正方形，都不存在周长和面积同时倍增的情况.

【说明】通过追问，进一步引导学生考虑任意正方形的周长和面积多倍增加的情况. 学生经历用字母表示边长并推理的过程，体会从特殊到一般的研究过程. 通过研究任意正方形周长和面积加倍的过程，发现若加倍前后两个正方形的相似比为k，则周长和面积同时加倍可以用方程k2 = k表示，解得k = 0或者k = 1. 显然，当k = 0时，不存在周长和面积同时加倍的正方形;当k = 1时，两个正方形全等. 通过及时总结、提炼出研究问题的方法，使得后面的拓展研究有“法”可依.

活動2：枚举.

思考1：除了正方形，还有哪些图形也具有“不存在同时加倍”这种特点？试举例说明，并思考原因.

结论：对于任意变化前后相似的平面图形，都不存在周长和面积同时倍增的情况.

【说明】首先，由正方形联想到正多边形和圆，把从正方形中得出的结论进行推广，体验发现的乐趣和获得新结论的惊喜，感受举一反三、化多为一的魅力. 其次，进一步反思：怎样才能够存在“周长和面积同时加倍”的图形？进而想到减弱对正方形的限制条件，另辟蹊径，联想到矩形可能存在“倍增”的情况.

活动3：矩形“倍增”问题.

如果将长20米、宽10米的矩形停车场，扩建成周长和面积同时是原来2倍的矩形停车场，你认为能否实现？类比前面的方法进行研究，尽可能多地想出探究解决的方法，完成后小组交流，并填写表3.

学生先独立完成，然后小组合作研究. 学生根据周长和面积公式发散思维，总结了如下四种解决问题的方法.

方法1：设扩建后矩形的长为x米，则宽为[60-x]米，由面积公式列出一元二次方程[x60-x=400.] 化为一般形式，即[x2-][60x+400=0.] 由[Δ>0，] 可知存在周长和面积同时为已知矩形2倍的矩形.

方法2：設扩建后的矩形的长为x米，宽为y米，列方程组得[x+y=60，xy=400.] 消元后转化为一元二次方程[x2-][60x+400=0.] 以下略.

方法3：设扩建后的矩形的长为x米，宽为[400x]米，由周长公式列出分式方程[x+400x=60.] 去分母后化为整式方程[x2-][60x+400=0.] 以下略.

方法2和方法3都可以转化为方法1得解.

方法4：把方法2中的两个二元一次方程变形为一次函数[y=60-x]和反比例函数[y=400x，] 画出函数图象，观察交点情况，判断解的存在性.

【说明】通过让学生类比正方形的研究方法和思路探究矩形的周长和面积“倍增”问题，体会用代数方法研究几何问题的一般思路. 在学生独立思考、小组交流的基础上，教师引导学生对得出的四种方法进行对比，发现方程组、分式方程、函数都可以转化为一元二次方程求解，图象法可直观判断存在性但数值有误差，准确性不足，因此，从中选出最优方法是列一元二次方程. 让学生在经历知识的形成过程中，体会建模、数形结合等数学思想方法在解决实际问题中的作用，提升学生的数学建模能力和直观想象能力.

思考2：对于任意矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积同时是已知矩形的2倍？为什么？填写表4.

当已知矩形长为m，宽为n时，设所求矩形的长为[x，] 那么它的宽为[2m+n-x.] 根据题意，可得[x2m+n-x=2mn，] 即[x2-2m+nx+][2mn=0. ]因为[Δ>0，] 可得[x1+x2=2m+n，x1x2=2mn，] 所以这个方程有正数解，说明这样的矩形存在. 解方程得[x1=][m+n+m2+n2]，[x2=m+n-m2+n2].

【说明】用优选出的列一元二次方程的方法，通过求解方程解释一般矩形的周长和面积同时“倍增”问题的存在性，让学生经历从特殊到一般的探究过程. 问题的设计层层递进，在步步深入的推进中，引导学生明确“存在性”问题的实质即是对“方程是否有解”的讨论. 这种用运算结果验证几何问题的“存在性”的方法，帮助学生建立了数学模型，有利于今后广泛推广使用.

3. 延伸思考，提出问题

问题1：正方形是特殊的矩形，为什么矩形能“倍增”而正方形不能呢？

问题2：类比本节课所学内容，你觉得矩形的周长和面积还可以怎样“倍增”或者“倍减”？

【说明】该环节意在激发学生不断思考，深入探究本节课的研究内容. 正方形是特殊的矩形，即满足思考2中[m=n]的情况，方程显然有解，但解为[x1=2+2m，] [x2=2-2m，] 说明把正方形的周长和面积同时倍增2倍后得到的图形是矩形. 而矩形的周长和面积虽然可以“倍增”，但“倍增”前后的矩形与原矩形不具有相似的特点. 问题2意在引导学生类比、猜想研究将矩形的周长和面积“倍增”为n倍或者“倍减”为已知矩形的[1n]的情况，引导学生不断发现和提出新问题，这不仅可以巩固研究方法，深入理解解决问题的基本思路，而且能培养学生的质疑能力和批判精神.

4. 课堂小结，归纳提升

通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识？用到了哪些数学思想方法？

【说明】反思使人进步. 教师引导学生反思解决问题的基本思路是发现问题、猜想结论、验证结论、形成规律、应用规律、拓展研究;用到的数学思想有数形结合思想、方程思想、函数思想、转化思想;用到的学习方法有类比、分类、从特殊到一般. 课堂小结有利于学生养成及时反思的习惯，同时不断渗透数学思想方法，提高学生的学习能力.

5. 布置作业，课后拓展

（1）解决课堂中提出的问题：拓展研究“倍增”或者“倍减”矩形的周长和面积.

（2）实践活动：运用本节课学到的方法，帮助家长至少解决一个实际问题.

【说明】一方面，要求学生在课后解决本节课还没有解决好的问题和困惑;另一方面，引导学生关注生活、关心民生，主动用数学知识帮助家长解决实际问题. 把本节课的研究方法延伸到课堂之外、生活之中，内化于心，真正实现数学的育人价值.

三、对综合与实践课程的感悟与思考

1. 综合与实践课程体现了数学与生活的关联性

源于实践，曲径通幽. 综合与实践课程的产生源于现实生活的需要，现实生活中的许多问题都可以用数学知识和方法来解决. 例如，本节课虽然是简单的周长和面积“倍增”问题，但是需要学生具备一定的阅读理解能力，能读懂题意，然后把生活问题转化为数学问题，建立数学模型，利用数学知识来解决问题. 这就要求教师把生活与数学融通起来，善于到生活中寻找情境，发现能够用数学知识来解决的现实问题，丰富综合与实践课程的题材. 本节课以学生身边的公园停车场的设计为问题情境，解决现实生活中存在的问题. 要解决问题首先需要关注到问题的细节，改造停车场，可以改造为同种图形，也可以考虑改造为不同的图形. 首先，仔细阅读领会文本的内容，分类转化为数学问题;其次，借助数学思想方法来解决问题，从而发挥数学为现实生活服务的功能，体现“数学来源于生活，又服务于生活”的宗旨.

2. 综合与实践课程涉及的内容具有综合性

纵横联系，浑然一体. 综合与实践课程的内容既然来源于生活中的实际问题，在解决问题的过程中，我们必然要用到多方面的数学知识. 例如，纵向来看，本节课用到了列方程（组）解应用题、反比例函数、图象法等;横向来看，要从“定周长”和“定面积”两个角度来进行探究;整体上看，运用数形结合思想突破难点. 其中既用到了几何中的相似知识，又用到了代数中的方程与函数模型，体现了代数与几何的融会贯通，及用代数方法解决几何问题的常规思路.

3. 综合与实践课程的活动中探究和思考的方法具有规律性

异中找同，归纳类比. 综合与实践课程的设计应遵循学生的认知规律，由易到难，由特殊到一般. 本节课中，首先研究的是最基础的正方形或者矩形，遵循由少到多、由数字到字母的顺序有序推进研究. 研究思路从特殊的图形到一般的图形，既通过计算验证了矩形周长和面积“倍增”成立，也通过推理验证了所有具有同类特征的图形都具有相同的性质，进而为后续的规律探索奠定了坚实的基础，这是在教师的引导下对科学规律的再发现与再创造.

4. 综合与实践课程具有数学育人价值

品之有味，平中见奇. 综合与实践活动课的开展，不仅让学生掌握了基础知识和基本技能，积累了基本活动经验，锻炼运用基本数学思想方法的能力，很好地落实了“四基”，更重要的是有效引导学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，提高了学生的“四能”，落实立德树人的根本任务，发展素质教育的功能，提升学生的数学素养. 本节课锻炼了学生的直观想象能力，体现了会用数学眼光观察世界;锻炼了学生的数学运算能力和逻辑推理能力，体现了会用数学思维思考世界;锻炼了学生的数学建模能力，体现了会用数学语言表达世界.

总之，综合与实践课程的研究对促进学生数学思维、实践能力和创新意识的发展，发挥数学学科的育人功能，促进学生人生观、价值观、世界观的形成起到了积极的作用.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]郭玉峰，黄彩英. 数学基本活动经验课程目标落实需关注的问题[J]. 中国数学教育（初中版），2020（11）：3-7，20..