“立足基础，层层深入”的专题教学

鲍聪晓 董晓怡

摘  要：数学专题教学设计，既要关注主题内容的本质，又要关注学生的能力基础. 从基础出发，可以让学生轻松切入研究主题，引导学生低起点、小步子、层层深入地进行研究，使学生自然地发现方法、获得经验、运用经验. 通过由浅入深地实施专题教学，激发学生的深度思考，促进学生调动经验有效解决问题，提升学生的数学素养.

关键词：专题教学;数学思想方法;深化思维;轴对称

在教学中，教师常设计专题课来加强学生对知识或方法的深度理解与灵活应用. 专题教学不仅有利于学生归纳、概括出知识综合应用的范围，还有利于学生归纳出同类问题的解题规律与方法，在提升学生分析问题和解决问题能力方面有着不可替代的作用.

在教学中，很多教师以关注知识或方法的综合运用范围来设计专题，这种设计方式对知识的应用关注较高，也强调了对数学思想方法的运用，但却缺乏深层次的挖掘，欠缺细化思维的引导，缺乏深化思维的思想方法运用经验，往往使专题课变成相关问题的堆积，教学浅尝辄止，最终学生的学习仍然只停留在对所考查知识的认识层面，知道解题运用了哪些知识方法，涉及了哪些数学思想，仅此而已. 专题教学要以相关知识为载体，在知识层面夯实根基，在应用方面深挖数学思想，在思维层面拓展数学思维角度与思维深度，在数学思想层面引领学生探寻怎么思、怎么想，怎么运用数学思想. 让学生在专题研究中深度思考，探寻思维路径，深化思维方法，对学生获得经验起着重要作用，直接影响着学生数学素养的发展. 下面笔者以“轴对称的应用”专题教学为例，将自己的思考整理如下.

一、梳理教学环节，认识设计价值

1. 关注生活情境，夯实基础知识

情境引入：呈现生活情境，播放折叠剪纸动画.

师：在刚才的视频中，你发现了哪种图形变换？

生：轴对称.

师：大家回忆一下轴对称的相关知识.

通过学生的回答与补充，教师有条理地整理出轴对称的相关概念和轴对称的性质. 轴对称的性质主要有：成轴对称的两个图形全等（延伸出“对应边相等，对应角相等”）;轴对称图形对应点所连线段被对称轴垂直平分;对称轴上的任意一点到对应点的距离相等;对应线段或对应线段所在的直线如果相交，那么交点一定在对称轴上，且对称轴所在的直线平分它们所夹的角.

【评析】通过设计知识应用情境，有效调动学生回顾复习相关知识. 通过生活化的动画直观感知，引导学生回忆相关的图形变换，结合图形直观，助力学生回顾轴对称的性质，让学生从感性认识上升到理性认识. 这样的引入生动自然、直观明了，容易引发学生思考相关知识，调动已有经验，实现知识和经验的叠加，进一步夯实基础知识，激发学生的学习兴趣.

2. 强调思想方法，理清思维路径

类型1：轴对称性在路径最短问题中的应用.

例1  唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图1，将军在观望烽火之后从山脚下的A地出发，走到一条笔直的河流边l饮马后再到B地宿营. 试问怎样走才能使总路程最短？

[山峰A][营地B][河流l][图1]

生1：如图2，作点A关于直线l的对称点[A，] 连接[AB]交直线l于点P，沿线段AP，PB走才能使总路程最短.

[山峰A][营地B][河流l][图2] [P]

师：为什么？

生2：如图3，在直线l上任取异于点P的一点[P，] 连接[AP，AP，BP.] 由轴对称的性质，得[AP=AP，] [AP=AP.] 在[△APB]中，因为[AP+BP>AP+BP]，所以[AP+][BP>AP+BP.] 所以[AP+BP]最短.

[山峰A][营地B][河流l][图3] [P]

师：解决这个问题的关键是什么？

生3：关键是运用轴对称的性质，将点A，点B在直线l同侧转化为两点分别在直线l异侧.

【评析】通过有趣的问题情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，运用轴对称的思想方法将新问题转化为应用已经学过的知識解决问题. 从教材上的基础应用出发，学生很容易调动已有经验解决问题，避免了“尴尬”地告诉学生答案，把教学重点落在“使学生能够数学地思考”上. 通过学生思维过程的展示，让学生体会轴对称思想和转化思想，既培养了学生分析问题和解决问题的能力，又为下面复杂问题的解决做出铺垫.

3. 开阔思维角度，丰富思维经验

类型2：轴对称性在函数问题中的应用.

例2  已知抛物线[y=-x2+bx+4]经过[-2，n]和[4，n]两点，则n的值为（    ）.

（A）[-2] （B）[-4]

（C）2 （D）4

师：如何解决这个问题？

生4：将[-2，n]和[4，n]两点的坐标代入抛物线的解析式，联立方程组，解方程组即可.

师：我们知道二次函数的图象是轴对称图形，还有其他解决方法吗？

生5：易知点[-2，n]和[4，n]关于对称轴对称，所以[-b2 ⋅ -1=-2+42.] 解得[b=2.] 所以[y=-x2+2x+4.]

将点[-2，n]代入抛物线的解析式，解得[n=-4.]

教师引导学生总结方法：此题既可以用方程思想解决，也可以结合二次函数的图象特征，运用数形结合思想进行思考. 拓宽解题思路，实现一题多解.

【评析】此题是将轴对称性质与平面直角坐标系的坐标特征相结合，若学生不善于运用数形结合思想方法思考问题，就会选用代数方法通过联立方程组解决问题. 教师通过追问，引导学生运用数形结合思想进行思考，结合函数图象特征及坐标特征探寻不同解法，这有利于学生在思维碰撞与冲突中拓宽思维，发展直观想象素养. 最后，教师及时引导学生总结方法，理顺思维，有利于学生形成经验.

例3  如图4，一次函数[y=][-x+b]与反比例函数[y=kx x>0]的图象交于点[Am，3]和[B3，1.] 点P是线段AB上一动点，过点P作[PD⊥Ox]于点D，连接OP，若[△POD]的面积为S，则S的取值范围是      .

师：请同学们自主探究，然后交流展示.

生6：由点[B3，1，] 易求得一次函数与反比例函数表达式分别为[y=-x+4，y=3x x>0.] 所以点[A1，3].

设点[Px，-x+4 1≤x≤3.] 则[S=12x-x+4=-12x2+][2x]. 当[x=2]时，S取得最大值2;当[x=1]或[x=3]时，S取得最小值[32.] 所以[32≤S≤2.]

师：观察图形，当点P运动到何处时，[△POD]的面积S取得最值？

生7：当点P运动到线段AB的中点时，[△POD]的面积S取得最大值;当点P与点A或点B重合时，[△POD]的面积S取得最小值.

师：结合图形思考，你发现了什么？

学生小组讨论后展示.

生8：图中直线和双曲线都关于直线[y=x]对称，且根据反比例函数比例系数k的几何意义知，点P与点A或点B重合时，[S△POD=k2=32]. 又因为[S△POD]是关于x的二次函数，它的图象也是轴对称图形，从轴对称的角度分析可知，当点P运动到线段AB的中点时，[△POD]的面积[S]取到最值，即当[x=2]时，[S最大值=12×2×2=][2]. 所以[32≤S≤2.]

师：反思这两种解题思路，谈谈你的收获.

生9：第一种方法是有条理的逻辑思维方法;第二种方法是数形结合，观察图形特征进行探究，不仅形象、直观，而且能快速得到结论.

师：数形结合思想对于我们解决问题有着重要的意义，借助图形的几何直观，运用对称思想引领思维，可以开阔我们的思维角度.

【评析】二次函数、一次函数和反比例函数的图象都具有轴对称性，运用数形结合思想，从轴对称的角度分析可以更加快速地解决问题，也能使学生对函数图象的对称性有更加深刻的理解. 学生在层层深入的问题解法探索过程中获得思维方法，逐渐形成思维经验. 教师的追问意在使研究进一步深入，逐步培养学生的几何直观素养. 合作交流的方式可以让学生之间相互借鉴，体验一题多解，从而培养学生的发散性思维. 教师引导学生反思，可以促使学生丰富学习经验，发展数学素养.

4. 适当联系拓展，实现思维深化

类型3：轴对称性在折叠问题中的应用.

例4  在[△ABC]中，[∠C=90°，] [AC=BC=][62]，D是边AB上的一点，将[∠B]沿着过点D的直线折叠，使点B落在边AC上的点P处（不与点A，C重合）.

（1）如图5，过点D作[DH⊥AC]于点H，若[AD=7.]

① 尺规作图：在图中作出点P;

② 求DH和AP的长.

（2）若[AD=a]时，存在两次不同的折叠，使点B落在边AC上两个不同的位置，试直接写出a的取值范围.

[A][B][C][D][H][图5]

师：如何作出点P？

生10：如图6，由轴对称的性质，得[PD=BD.] 所以以点D为圆心、BD长为半径画弧，与AC的交点即为点P.

[A][B][C][D][H][图6]

师：如何求DH和AP的长？

生11：如图7，连接[P1D]. 因为[AC=BC=62，][∠C=90°，] 所以[AB=12.] 因为[AD=7，] 所以[P1D=BD=][5.] 因为[DH⊥AC]于点H，所以[DH∥BC.] 所以[DHBC=][ADAB，] 即[DH62=712.] 解得[DH=722.] 在[Rt△P1DH]中，[P1H=P1D2-DH2=22.] 因为[AH=DH=722，] 所以[AP1=AH+P1H=722+22=42.] 由圓的对称性，得[P1H=][P2H.] 所以[AP2=AH-P1H=32].

[A][B][C][D][H][图7]

师：如何求a的取值范围呢？

生12：a的取值范围为[6<a<24-122]. 因为点[P1]与点[P2]关于[DH]对称，所以只需考虑AC与[⊙]D相切时，即点[P1，P2]都与点H重合，及圆的半径等于直角三角形斜边长的一半时，即点[P1，P2]分别与点A，C重合两种特殊位置即可.

【评析】抽象的折叠问题使轴对称的应用进一步深入. 学生在不能直观看到折叠图形的情况下，需要调动已有经验，通过直观想象，运用轴对称的性质分析和解决问题. 此题通过设计尺规作图，使学生的思维得以细化，加深了对轴对称本质的理解，进而促使学生发现所作出图形的轴对称特征，优化思维，减少计算. 整体设计从特殊情况的研究拓展到一般情况的折叠，符合学生的认知规律，有利于学生在研究中体会从特殊到一般的思想方法，进而灵活运用分类及对称的思想方法解决问题，实现思维深化.

5. 及时归纳总结，实现智慧升华

师：试结合下面的问题对本节课进行总结交流.

（1）本节课重点研究了哪些问题？它们之间有什么关系？（知识联系）

（2）在解决问题的过程中运用了哪些思想方法？（思想方法）

（3）你收获了哪些经验？（经验素养）

【评析】在一节课即将结束之际，教师通过问题引导学生从知识联系、思想方法、经验获得、素养发展等方面进行归纳总结，意在让学生对本节课的学习有一个更清晰、更系统的认识. 本节课由浅入深的问题设计，使学生发现方法、获得经验、运用经验变得更加自然，活跃了学生的思维，激发了学生的求知欲望，增强了学生的学习信心，从精神上和能力上为学生的进一步学习打下了基础.

二、反思教学过程，提炼教学理念

1. 关注认知基础，探寻思维起点

专题课的设计要关注学生的认知基础和思维起点. 教师充分认识学生已有的数学知识和经验是确定教学出发点的依据. 把握学生要掌握的知识和经验与已有认知基础的“距离”是教师进行有效教学设计的依据. 本节课从学生具备的“知识根基”出发，选取研究问题的“出发点”，从简单到复杂，层层深入地呈现问题. 设计的4道例题由基础到综合，让学生经历由浅入深解决问题的过程，使学生的思维从起点生发到逐渐深化变得自然，有“柳暗花明又一村”之妙.

2. 凸显学生思维，助力能力提升

通过问题逐步延伸，促使学生思维不断深化. 本节课，在4道例题的解决中，教师对学生不同的思考方法有不同的预设，并且通过追问引导学生说出思维角度和思维过程，促进学生思维更加灵活与深刻. 问题解决后学习活动仍然在延伸，教师引导学生归纳反思，有利于学生认识思维过程，理清思维路径，形成思维经验. 通过思维的凸显，使学生对知识有更深刻的理解，对知识的应用有更清晰的认识，增强了迁移思维能力，提高了学生解决问题的能力.

3. 关注思想方法，发展数学素养

数学思想方法是对数学理论和本质内容的升华，是数学知识发生、发展的根本，是数学知识在更高层次上的概括而形成的数学观点. 在解题教学中渗透数学思想方法是对数学本质认识的表现，是学生体验思维一般化和程序化的有效途径. 教学中，教师引导学生运用思想方法探究问题，能使学生更准确地获取思考方向，更有效地理解问题情境，探寻解题办法. 在所学思想方法引领下的问题解决会让学生获得思维程序化的体验与经验，有利于发展学生的数学素养.

参考文献：

[1]章建跃. 核心素养统领下的数学教育变革[J]. 数学通报，2017，56（4）：1-4.

[2]王保东. 关注基础和思维习惯  合理引导学生思考[J]. 数学通报，2018，57（6）：49-52，57.

[3]李松林. 回归课堂原点的深度教学[M]. 北京：科学出版社，2016.