聚焦逻辑推理 巧构图形解题

吴发继

摘  要：在解题教学中，教师应该与学生共同探究、追根溯源、聚焦推理、深度思考，从不同角度探求解决问题的方法. 文章以一道几何题为例，浅谈在教学中要如何解题及为什么这样解题，并对问题进行反思、变式、拓展，从而使学生在解题中积累经验，内化解题方法，发展思维品质，提升数学素养.

关键词：逻辑推理;巧构图形;辅助元素

数学学习离不开解题，解题能力是一种综合能力的体现. 解题教学可以分为三个层次：第一个层次，只教“怎样做”，即简单解读解题过程;第二个层次，教会学生“怎样做”，即以知识转化为思路引领，追根溯源，明晰“怎么想到这么做”;第三个层次，教会学生类比，即由一道题拓展到一类题，追求“解一题，通一片”的效果. 笔者认为，解题教学的关键在于以下三个步骤. 第一步，怎么想，为什么这么想？第二步，怎么做，還有其他方法吗？第三步，反思，再拓展. 本文以一道几何题为例，浅谈如何运用以上几个步骤对典型问题与方法进行再探究、再拓展，意在加强学法指导，使学生能反思解题、学会解题，掌握基本的解题策略，领悟解题之道.

一、题目呈现与分析

题目  如图1，在四边形ABCD中，[∠BAD= ∠BCD=]90°，[BC=CD，AB=3，AD=4.] 求AC的长.

此题图形简洁、数据简单、条件清晰. 求线段的长，学生首先会想到以下3种思路. 思路1是运用勾股定理、相似等方法，却发现AC所在的三角形不是直角三角形，于是想到添加辅助线构造直角三角形来解决问题. 思路2是通过分析发现已知条件[AB=3，AD=][4]与AC有着某种关联，但是如何将其建立联系呢？能否将AB，AC，AD转化到同一个三角形中，这是一个难点，仔细分析，唤醒解题经验，发现利用旋转变换可以解决. 思路3是在四边形ABCD中，由[∠BAD=∠BCD=][90°]可以得到A，B，C，D四点共圆，利用圆的知识加以解决. 以上3种思路通过添加辅助线和严密的逻辑推理都能形成解决问题的方案，不断的将陌生的问题转化为较熟悉的问题，从而达到解决问题的目的.

二、解法探究

1. 构造直角三角形求解

解法1：如图2，过点A，C分别作[AE⊥BD，CF⊥BD，] 垂足分别为点E，F.

在[Rt△ABD]中，由勾股定理，得[BD=5.]

在[Rt△ABD]和[Rt△BCD]中，根据等面积法，分别求得[AE=][125，] [CF=52.]

在[Rt△ABE]中，由勾股定理，得[BE=95.]

在等腰直角三角形[BCD]中，由[CF⊥BD，] 得[BF=][12BD=52.]

所以[EF=BF-BE=710.]

由[AE⊥BD，CF⊥BD，] 易证得[△AEO∽△CFO.]

所以[AOCO=EOFO=AECF.]

所以[CO=2524AO，FO=2524EO.]

由[EF=EO+OF，] 易得[EO=1235.]

在[Rt△AEO]中，由勾股定理，得[AO=1227.]

所以[CO=25214.]

所以[AC=AO+CO=722.]

此解法从求线段长的基本方法切入，过程比较复杂，计算量也较大. 但这种方法是学生容易想到的方法，也贴近学生思维的最近发展区，是符合学生认知水平的自然解法.

2. 运用旋转变换求解

解法2：如图3，将[△ACD]绕点C逆时针旋转90°，得到[△ECB].

则[△ACD≌△ECB，∠ECA=90°.]

所以[AC=EC，AD=BE，∠ADC=∠EBC.]

在四边形ABCD中，易证得[∠ABC+∠ADC=180°，]

所以[∠ABC+∠EBC=180°.]

所以A，B，E三点共线.

所以[AE=AB+BE=7.]

在等腰直角三角形AEC中，由勾股定理，可得[AC=722.]

此解法运用了旋转变换，过程较为简单，计算量也相对较小，但难点在于如何想到利用旋转变换解题. 其实，对于这种方法，学生已经有过相关的解题经验，对于题目中出现已知几条线段的长，但线段较为分散且无法直接利用时，可以利用旋转变换加以解决. 旋转变换改变图形的位置，但不改变图形的形状与大小，有利于组合图形，构造出新的特殊图形.

3. 利用辅助圆求解

教师进一步引导学生深度思考：由条件中的[∠BAD=][∠BCD=90°]还能推出什么结论？师生共同探究、讨论，发现可以引入辅助圆来解决问题.

解法3：在[Rt△ABD]中，由勾股定理，得[BD=5.]

由已知条件，易证得[BC=CD=522.]

因为[∠BAD+∠BCD=180°.]

所以A，B，C，D四点共圆.

因为[BC=CD，]

所以[∠CAD=∠CBD=45°.]

如图4，过点C作[CM⊥AD，] 垂足为点M.

则[AM=CM.]

设[AM=x，] 则[CM=x，DM=4-x.]

在[Rt△CDM]中，由勾股定理，得[CM2+DM2=CD2，]

即[x2+4-x2=5222.]

解得[x=72]或[x=12]（舍）.

在[Rt△AMC]中，由勾股定理，得[AC=722.]

对于此种解法，如何才能想到添加辅助圆呢？此题中有一个关键条件就是[∠BAD=][∠BCD=90°，] 即[∠BAD+][∠BCD=][180°，] 通过对角互补得到四点共圆. 在日常教学中，教师要帮助学生多积累解题经验，反思解题思路，内化解题方法，从而提升学生的解题能力.

三、思维拓展

1. 借力旋转变换再探究

问题：题目中线段AB，AC，AD之间有怎样的数量关系？

教师引导学生进一步探究，在解法2中，如图3，利用旋转变换求AC长的过程中发现通过旋转变换可以将AB，AC，AD三条分散的线段集中到同一个三角形中构造出[△AEC，] 得到[△ACE]是等腰直角三角形. 由勾股定理易得[AE=2AC，] 即[AB+AD=][2AC，] 得到AB，AC，AD之间的数量关系.

通过以上分析发现，利用旋转变换解决等腰直角三角形问题时，可以将条件中分散的线段集中到一起构造出特殊图形，从而找到问题解决的切入点.

2. 借力旋转变换再拓展

变式：如图5，[⊙O]的半径为1，点A，B在[⊙O]上，C为[⊙O]内一点，[AB=AC，∠BAC=90°，] 求OC的最小值.

在上述题目求线段AC的过程中，已经讨论过当有等腰直角三角形时可以尝试利用旋转变换进行解题. 于是有如下解法.

解：如图6，连接OA，将[△OAC]绕点A顺时针旋转90°得到[△DAB，] 连接OB，OD.

由旋转，得[△OAC≌△DAB，∠DAO=90°.]

所以[DB=OC，AD=AO.]

所以在[Rt△OAD]中，由勾股定理，得[OD=2.]

在[△ODB]中，因为[BD>OD-OB=2-1，]

所以OC的最小值是[2-1.]

此题中，对于求线段OC的最小值问题，由学生已有的解题经验可知，条件中已知了[AB=AC，∠BAC=] [90°，] 从而联想到运用旋转来解题，将分散的线段集中到同一个三角形中，最后再利用“三角形任意两边之和大于第三边”使问题得到解决.

四、几点思考

1. 聚焦逻辑推理，唤醒解题思路

数学解题的核心在于如何分析问题、唤醒解题思路、提出解决方案，而解决问题的关键在于严密的逻辑推理. 对于问题的分析，教师要引导学生一层一层揭开问题的面纱，直击问题的核心，形成严密的逻辑推理思路，从而使学生对问题进行深入地理解. 对于学生来说，分析上述题目的难点在于如何构造一个线段AC所在的直角三角形. 给出的3种解法各有特点，无论哪种方法都需要一个解决问题的切入点. 解法1是作垂线，综合运用勾股定理、相似、等面积法，求解难度较大，但这是贴近学生认知水平的一种自然解法;对于解法2和解法3，学生不易想到，切入点也不同，一个是利用旋转变换将分散的线段集中到同一个三角形中，另一个是从四点共圆的角度思考. 这两种解法都需要学生有日常解题经验的积累.

解决数学问题首先要分析题目的条件和结论，思考解决问题的常用方法，唤醒学生在学习过程中积累的解题经验，制定解题方案，从而培养学生的思维能力，进而提高学生的解题能力.

2. 添加辅助元素，内化解题方法

解题教学的重点是培养学生从“怎样解题”到“学会解题”. 波利亚曾指出，引入辅助元素是拟定解题方案的常用方法. 如何引入辅助元素，从何处添加辅助线，这是解题的关键所在. 题目中要求线段AC的长，学生容易想到勾股定理、相似、等面积法等，也就是需要构造直角三角形. 结合题目条件具体分析，因为题目中两个直角三角形的各边长都能求出，运用等面积法可以求出斜边上的高，所以自然想到作两条垂线段. 解法2特点明显，要唤醒学生已有的解题经验，将分散的线段集中到同一个三角形中. 解法3需要学生有一定的分析问题的能力和解题经验作为支撑. 在四边形中，由两个对角互补联想到四点共圆，再根据圆周角定理得到[∠CAD=45°.] 如何利用45°这个特殊角呢？学生自然会想到等腰直角三角形，于是作一条垂线的思路自然生成，最后再根据勾股定理、方程等相关知识加以解决. 解题方法的不同代表思考的方向不同，切入点不同，学生要反思每一种解法，理解每一种解法的特点，并思考能否将这种方法迁移到其他问题的解决中. 这样长期的思考能使学生内化解题方法、提升解题能力、发展解题素养.

3. 反思解题过程，发展思维品质

数学教学应该是数学思维的教学，数学课堂应该是思维培养的主阵地. 波利亚把解题概括为四个步骤，即“弄清问题—拟定计划—实现计划—回顾反思”. 部分师生常常会忽略第四步，而回顾反思是對题目进一步的深刻思考，反思解题方法和解题思路，并进一步思考能否对问题进行变式和拓展等，意义深远. 反思上述题目，线段的转化常常需要借助图形变换，解题的过程体现了旋转变换的价值，方法简单、思维深刻，这种方法在等腰直角三角形、等边三角形、正方形等问题中都有着广泛应用.

对于解题教学，教师不能仅停留在会解题、会讲题的层面，更要教会学生解题，与学生一起反思知识中蕴涵的思想方法，总结方法的步骤序列，剖析步骤序列中的指导思想，感悟方法之中的思想策略. 通过解题后的反思使学生积累基本活动经验，领悟基本思想方法，进而将外在的学习内容转化为内在的精神力量. 解题反思是对问题进行再探究、再拓展，引发学生新的思考，有利于培养学生的迁移能力，使学生将已有的解题经验运用到新的情境中，从而发展学生的思维品质，提升学生的解题素养.

参考文献：

[1]刘华为. 中考压轴题：怎样解，为何这样解[M].西安：陕西师范大学出版总社，2014.

[2]钟鸣，蒋育芳. 挖掘障碍成因  建构深度思维[J]. 中学数学教学参考（中旬），2018（7）：54-56.