一道教材习题演变，让课堂更自然

罗秀丽

摘 要：七年级学生对于用二元一次方程组和一元一次不等式组解决实际问题，感到困难，因此，教师要精心选择和安排习题，让题目的过度自然，学生学习时思维自然顺畅，学生学习的积极性得到提高，学习能力得到升华。

关键词：二元一次方程组;一元一次不等式组;实际问题

一、教材习题

人教版教材七年级下册第八章复习题8第112页，拓广探索习题中的第10题，题目如下：某公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元。某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑。请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由。

这道题目给了三种型号电脑，但是题目要求买两种型号的，学生不知道去怎么选择，我们不妨先把此题目进行分解，让学生根据教师设计的题目，一步一个台阶，学生的思维会更加自然顺畅，学生在发现问题，提出问题，解决问题的过程中更容易获得成就感。

二、题目分解和解析

热身一：某公司有A型、C型两种型号的电脑，其中A型每台6000元，C型每台2500元.某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台这两種型号的电脑，请问可够买A型、C型的电脑各多少台？

分析：设A型购买x台，C型的购买y台，

答：A型购买3台，C型的购买33台。

这道题目给出了两种型号，大部分学生能独立解决此问题，因此，他们会觉得通过建立二元一次方程组模型解决实际问题可以独立完成，学生获得成就感，增强了自信心，学生的积极性最大限度的调动起来。

热身一变一变：某公司有A型、C型两种型号的电脑，其中A型每台6000元，C型每台2500元。某中学计划从这家电脑公司购进36台这两种型号的电脑，总费用不超过100500元，你设计几种不同的方案供这个学校选择，并说明理由。

分析：此题目与上一题目的区别是把“全部用于”改为“总费用不超过”，因此，此题需要建立一元一次不等式模型。

设A型购买x台，C型的购买（36-x）台，

解：设A型购买x台，则C型的购买（36-x）台，

6000x+2500（36-x）≤100500，

解这个不等式得：x≤3.

因为x为正整数，所以有三种方案，即：方案1：A型3台，C型33台;方案2：A型2台，C型34台;方案3：A型1台，C型35台。

这道题目对在上一题的基础上进行了简单的变式，学生通过变式可以体会出题目之间的联系和区别，同时也可以懂得在什么情况下建立二用一次方程组模型解决实际问题，在什么情况下建立一元一次不等式模型解决实际问题。

三、教材习题解析

某公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元。某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑。你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由。

分析：

问题一：对比热身一，此题目给了几种型号的电脑？需要几型号的电脑？有那几种选择？

问题二：每一种选择都可能吗？如何判断？

问题三：对于可能的方案，通过建立什么模型来解决？

对于问题一，学生通过分析和小组讨论，可以得出有三种选择，分别是：方案一：A型和B型;方案二：A型和C型;方案三：B型和C型。对于问题二，通过小组讨论，部分学生从看资金的总数100500元，尾数为500，而A型和B型的单价都是整千的，只有C型的单价的尾数500，因此在选择的方案中必须有C型次可以，所以只有方案二和放散三有可能。也有部分学生说可以看平均数100500÷36≈2792，也即是用100500元买36台电脑，平均每台的价格约是2792元，方案一，A型的单价是6000元，B型的单价是4000元，买这两种的平均单价在4000元到6000元之间，而2792不在4000～6000之间，因此方案一不可能，同理可知，方案二和方案三有可能。

解：若按照方案二购买：设购进A型电脑x台，C型电脑y台，

，

解这个方程组得：.

若按照方案三购买：设购进B型电脑 m台，C型电脑n台，

，

解这个方程组得：.

答：有两种购买方案，分别是：购进A型3台，B型33台;购进B型7台，C型29台。

此题是实际问题中的方案问题，对于此类题目，学生有困难，如果把此题直接呈现给学生，很多学生会无从下手，导致学生害怕此类问题，不愿意动手去做。有前面的热身作为铺垫，学生会顺着前面题目的思路，引发更深层次的思考，再结合小组讨论交流，问题就可以用迎刃而解了。

根据《新课程标准2012》数学要重视建立学生的数感，数感对于学生学习代数非常重要，在平时的教学中要帮助学生建立数感。在对问题二的思考和讨论的过程中，学生通过对各个数据的分析，在此过程中也建立了学生的数感。

四、教材习题再变式

某公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元。某中学从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，总费用不超过100500元，请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由。

分析：此题目与上一题目的区别在于，把“资金100500元全部用于”改为“总费用不超过100500元”。此题目也是有三种选择方案，类似于上题目的分析过程，可以知道，只有方案二：A型和C型和方案三：B型和C型有可能。从“总费用不超过100500元”可知，通过建立一元一次不等式模型来解决。

解：若按照方案二购买：设购进A型电脑x台，C型电脑（36-x）台，

6000x+2500（36-x）≤100500，

解这个不等式得：x≤3.

因为x表示的是台数，故x只能是正整数，所以x取3，2，1.

此时，购买A型和C型的方案如下：方案1：A型3台，C型33台;方案2：A型2台，C型34台;方案3：A型1台，C型35台。

若按照方案三购买：设购进B型电脑y台，C型电脑（36- y ）台，

4000y+2500（36-y）≤100500，

解这个不等式得：y≤7.

因为y表示的是台数，故y只能是正整数，所以y取7，6，，5，4，3，2，1.

此时，购买B 型和C型的方案如下：方案4：B型7台，C型29台;方案5：B型6台，C型30台;方案6：B型5台，C型31台;方案7：B型4台，C型32台;方案8：B型3台，C型33台;方案9：B型2台，C型34台;方案10：B型1台，C型35台。

综上所述，有以上10种购买方案。

此题目是在上题目的基础上，难度的梯度又大了一些，学生有前面的三题作为铺垫，对于此题目，可以沿着前面题目的思路去解决，经过小组的合作交流、讨论，学生可以合作解决。对于建立一元一次不等式模型来解决实际问题，学生感到更加困难，让学生通过题目之间的联系和区别，掌握在何种情况下建立一元一次不等式模型解决问题，通过上述几道题目的对比，提高了学生解决此类问题能力。学生的分析实际问题和解决实际问题的能力再一次得到升华。

五、教材习题再升华

某公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元。某中学现有资金99500元，计划全部用于从这家电脑公司购进三种型号的36台电脑。请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由。

问题一：对比上一题目，此题需要买几种型号的电脑？资金99500元需要用完吗？

问题二：你找到了几个等量关系？

问题三：通过建立何种模型来解决此题目？问题中隐含的对数字要求是什么？

本题需要三种型号的电脑都要买，并且资金99500元要全部用完，在此我们能找到的等量关系有两个，一个是：三种类型的电脑一共买了36台，另一个是：买电脑一共用去资金99500元，既然找到的是等量关系，此题目要通过建立二元一次方程模型来解决，并且在此题目中，所买电脑的台数都要是正整数。

解：设购买A型x台，B型y台，则购买C型（36-x-y）台，

6000x+4000y+2500（36-x-y）=99500，

此二元一次方程可以化简为：7x+3y=19，

根据题目的要求，x，y都必须是正整数，所以方程7x+3y=19的正整数解为，此时C型的台数为：36-x-y=36-134=31.

答：只有一种购买方案，即购买A型1台，B型4台，则购买C型31台。

对于此题目，大部分学生能找出等量关系并列出二元一次方程，学生的困惑是，有两个未知数，但是只列出了一个方程，没有办法接出方程的解。学生比较难想到此实际问题的隐含条件，每一种类型电脑的数量必须是正整数，也即是说，是求上述二元一次方程的正整数解，通过小组合作讨论，再结合教师适当的引导，学生可以完美完成此题目。通过此题目分析和解答，學生学会在以后实际问题中挖掘题目的隐含信息。

对于方案问题的解决，学生要根据题目提供的信息，找到等量关系或者是不等关系，建立二元一次方程组或者一元一次不等式的模型，再根据实际问题隐含的对解的特殊要求条件，找到相应的方案，还可以再延伸到最优的方案。

当前的教育倡导素质教育，素质教育的要求学生全面发展，注重数学核心素养的培养。在课堂的教学中，要充分发挥学生的主观能动性，让学生主动地去学习，在活动中养成习惯，在活动中获得知识和技能。根据前苏联教育家维果茨基的最近发展区理论，教学应着眼于学生的最近发展区，为学生在原有的基础上提供带有梯度的更难的内容，把学生的积极性和主动性调动起来，让学生的潜力得到发挥，超越现在的水平而达到下一阶段的水平。因此，教师在课堂的设计上，要有台阶，让学生一个台阶一个台阶的上，难度一点一点增加。通过对课本习题的变式，学生通过热身训练，结合题目一系列的变式，在这样的活动中，课堂更自然，学生的思维更顺畅。根据教师提供的一系列的问题，学生不仅进行的深层次的思考，又可以让自己的的潜能得到激发，能力得到提升。

教学中根据具体的教学内容，设计有效的数学探究合作活动，使学生经历数学知识的发生发展过程，积累数学活动的经验，及合作交流的经验。在解决建立二元一次方程组或者是建立一元一次不等式解决方案问题中，从基础出发，步步提升，注重启发学生积极思考，发扬小组合作、交流。教师做好学生教学活动的组织者、引导者、合作者，激发学生的潜能，鼓励学生大胆的思考、大胆创新。学生合作、交流寻找问题答案，学生是数学学习的主体，学生获得数学知识，是在学生积极主动思考的基础上，通过自主探索和接受学习的方式获得。学生只有积极的参与教学活动，才能在数学思维、发现问题、提出问题、解决问题方面得到发展，进而提升学生的逻辑思维、建立模型和数感的数学素养。

参考文献：

[1]章建跃. 数学教育随想录[M]. 杭州. 浙江教育出版社，2017.

[2]刘华为. 基于深度学习的初中数学课堂教学[M]. 上海：华东师范大学出版社，2020.

[3]曹才翰，章建跃. 中学数学教学概论[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.