对2020年新课标Ⅰ卷压轴题的解法探究

刘彦永

摘 要：对2020年新课标Ⅰ卷文科第21题进行了试题分析、解法探究，旨在掌握这类试题的解题策略.

关键词：高考试题;压轴题;定点;解法探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0050-03

2020年高考新课标Ⅰ卷文科第21题，引起了笔者的深入探索和思考.题目如下：

已知A、B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG·GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

（1）求E的方程;

（2）证明：直线CD过定点.

一、试题分析

本题也是2020年高考全国1卷理科第20题，考查了曲线的方程和圆锥曲线中直线过定点问题.问题由浅入深，对计算难度、思维深度的要求逐步提高.考查学生的推理论证能力和代数运算能力.考查层次分明、区分度较高，能使学生充分展示理性思维的广度和深度和数学核心素养.

二、解法探究

本题第（2）问的解法很多，不同的解图1法体现不同的思维层次和思考角度，要求学生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.

解析 （1）根据题意作图如下：

由椭圆方程E：x2a2+y2=1（a>1）可得A-a，0， Ba，0，G0，1，故AG=a，1，GB=a，-1，因此AG·GB=a2-1=8，所以a2=9，椭圆方程为x29+y2=1.

下面对第二问深入探讨：

解法1 设点表线解决问题

（2）证明：设P6，t，则直线AP的方程为

y=t9x+3.

联立直线AP的方程与椭圆方程可得

x29+y2=1y=t9x+3，

整理得

t2+9x2+6t2x+9t2-81=0，

解得x=-3或x=-3t2+27t2+9

将x=-3t2+27t2+9

代入直线y=t9x+3，

可得y=6tt2+9，

所以点C的坐标为-3t2+27t2+9，6tt2+9，同理点D的坐标为3t2-3t2+1，-2tt2+1.

当直线CD斜率不存在时，即-3t2+27t2+9=3t2-3t2+1，解得t2=3，此时直线CD的方程为x=32.

当直线CD斜率存在时，直线CD的方程为y--2tt2+1=6tt2+9--2tt2+1-3t2+27t2+9-3t2-3t2+1x-3t2-3t2+1，

整理得y+2tt2+1=8tt2+369-t4x-3t2-3t2+1=8t63-t2x-3t2-3t2+1，即y=4t33-t2x+2tt2-3=4t33-t2x-32

综上所述，直线CD恒过定点32，0.

点评 对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点问题，设该直线上两点的坐标，建立点的坐标满足的方程，求出相应的直线，然后再说明直线过定点.

解法2 设点设线解决问题

设P6，t、C（x1，y1）、D（x2，y2），直线CD方程为x=ty+n（-3<n<3），则由x29+y2=1x=ty+n知（t2+9）y2+2tny+n2-9=0，

y1+y2=-2tnt2+9，y1y2=n2-9t2+9（*）

由三点共线知y1=t9（x1+3），y2=t3（x2-3），

即y21=t281（x1+3）2，y22=t29（x2-3）2.

由C（x1，y1）、D（x2，y2）在椭圆x29+y2=1上，知y21=1-x219，y22=1-x229.故y21y22=（x1+3）29（x2-3）=9-x219-x22，

整理得4x1x2-15（x1+x2）+36=0，

即4（ty1+n）（ty2+n）-15（ty1+ty2+2n）+36=0，

結合（*）式整理有2n2-15n+18=0，解得n=6（舍）或n=32，直线CD方程为x=ty+32，故直线CD恒过定点32，0.

点评 解法2巧妙利用坐标的平方，再结合点在椭圆上处理问题，这就是曲线代换，2011年四川理科高考圆锥曲线题就可以用曲线代换解决.反设直线也避免了讨论斜率是否存的情况，事实上，先讨论斜率不存在，再设直线CD方程为y=kx+m解决问题也会有巧妙处理技巧，在此不赘述.

解法3 整体法解决问题

同解法2可知，2tny1y2=（9-n2）（y1+y2）（**）

由三点共线知y1=t9（x1+3），y2=t3（x2-3），y1y2=x1+33（x2-3）=ty1+n+33（ty2+n-3）

整理得2ty1y2+3（n-3）y1-（n+3）y2=0，结合（**）式有

（2n2-9n+9）y1+（-2n2-3n+9）y2=0，

故2n2-9n+9=0-2n2-3n+9=0，解得n=32.

直线CD方程为x=ty+32，故直线CD恒过定点32，0.

点评 解法3利用韦达定理很难处理，然而利用（**）式进行替换，利用整体法就很巧妙地解决了问题.这种代数变形的技巧需要积累多了才能用得灵活.

解法4 先猜后证解决问题

证明：根据已知条件的特征和椭圆的对称性，可以猜想到该定点一定在x轴上.

同解法1得到点C-3t2+27t2+9，6tt2+9、D3t2-3t2+1，-2tt2+1.

当直线CD斜率不存在时，得t2=3，

此时直线CD的方程为x=32，过x轴上点M32，0.

当直线CD斜率存在时， MC=-9t2+272（t2+9），6tt2+9，MD=3t2-92（t2+1），-2tt2+1，

由-9t2+272（t2+9）·-2tt2+1-6tt2+9·3t2-92（t2+1）=0，知MC与MD共线，即直线CD过定点M32，0.综上所述，直线CD恒过定点32，0.

点评 面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点，然后再验证该点对一般情况是否符合.解法2利用先猜后证思想，不失为破解此类未知问题的一个巧妙方法.事实上，解答过程也可利用kMC=kMD证明直线CD恒过定点32，0.

解法5 参数方程解决问题

设P6，t、C3cosα，sinα、D3cosβ，sinβ.

当t≠0时，由P、A、C三点共线知sinα3cosα+3=t9，由P、B、D三点共线知sinβ3cosβ-3=t3，故3sinα3cosα+3=sinβ3cosβ-3，即3sinα（cosβ-1）=sinβ（cosα+1），利用二倍角公式有cosα2cosβ2=-3sinα2sinβ2.直线CD的方程为

y-sinα=sinβ-sinα3cosβ-3cosα（x-3cosα），令y=0有

x=3sin（β-α）sinβ-sinα=6sinβ-α2cosβ-α2-2sinα-β2cosα+β2=3cosβ-α2cosα+β2

=3（cosα2cosβ2+sinα2sinβ2）cosα2cosβ2-sinα2sinβ2=32

故直线CD过定点32，0.

当t=0时，直线CD的方程为y=0，也过点32，0.

综上所述，直线CD恒过定点32，0.

点评 利用参数方程巧妙地用一个参数表示出椭圆上点的坐标，结合三角函数公式快速解决问题.2010年陕西、辽宁、宁夏高考圆锥曲线解答题均可用参数方程解决.

解法6 极点极线解决问题

设P6，t，则点P的极线为23x+ty=1.因为直线CD与直线AB的交点必在点P的极线上，此点就是32，0，也就是直线CD恒过的定点.

点评 基于高等数学的极点和极线知识命题是命题人的一个常见思路，这在全国各地的考题中屢见不鲜.尽管此法简洁，但不宜作为解答题的解法，也不建议教师突出本解法而冲淡常规解法.值得一提的是本题的第（2）问与2010年江苏高考试题18题第（3）问本质完全一样，几乎就是“撞衫”题.

圆锥曲线中的定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就要用变化的量表示目标量，目标量不受变化的量所影响的那个点就是要求的定点.化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示目标量，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

圆锥曲线解答题主要考察学生的运算能力，因此在备考过程中要培养学生敢想、会算、有信心能算对.这就要求教师首先对试题的解法深入的探究，然后在教学中践行所掌握的知识技能和思想方法，最后使学生的思维更广阔、思想更深刻.

参考文献：

[1]王尚志.如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师， 2016（9）：33-38.

[2]韩毅，蒋晓东.椭圆的极点极线性质及推论[J].中学数学研究，2019（5）：2-5.

[责任编辑：李 璟]