浅析电磁感应中的变加速直线运动

郑浩宇

摘要：导体棒切割磁感线问题中往往涉及变加速直线运动。但高中阶段学生由于数学知识的限制，导致学生对这一类运动模型理解不到位。本文将从实际例题出发结合微元法和高等数学知识浅析其中合外力、加速度、位移、速度和时间等物理量之间的依赖关系，拓展解题视野。

关键词：电磁感应;变加速运动;微元法;微积分

电磁感应中导体棒切割磁感线做变加速直线运动是高中电磁学板块的难点。此类题目综合性强，涉及知识面广，难度往往也较大，能很好考察学生的思维能力，因此广受命题者的青睐。高中阶段解决此类问题通常用的是能量观点，但实际上可能由于命题者的疏忽，题目中给定的数据与事实不符，导致物理量之间的关系出现彼此不匹配的情况，容易对学生造成误导。那么能不能从变加速直线运动本身出发找出各个运动学的物理量之间的真实对应关系？下面通过两个基本模型进行探讨。

一、例1：如图1所示，水平平行放置两根足够长的光滑金属导轨，导轨间距为L，导轨左端连接一个阻值为R的电阻，一根质量为m的金属棒垂直于导轨横跨于两根导轨之上，空间存在方向竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场，整个回路除了电阻R之外其余电阻忽略不计。现在金属棒以初速度水平向右运动。求整个过程中：

（1）金属棒运动过的位移;

（2）流过电阻R的电荷量;

（3）金属棒的运动时间;

（4）感應电流的有效值。

分析解答：（1）金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，其v-t图象如图2所示，如果这是在数字化信息系统实验室里用传感器获取的真实v-t图象并辅以DISLab的软件确实可以求解运动的位移和时间，除此以外通常情况下并不能通过面积法求解位移，此时微元法可排上用场。

微元法是解决物理的常用方法，是从部分到整体的思维方法。隐含微分和积分思想，但在高中阶段应用微元法并不需要进行太复杂的数学运算即可得到结果，故微元法是高中生解决此类电磁学变加速运动问题的常用手段。

由，及，得，电流I与速度v有瞬时对应关系，安培力F安与加速度a也有着瞬时对应关系。再由定义式和可得，即，对整个过程求和，得，解得.

在极短的时间内，安培力可视为恒力，金属棒理应做匀减速运动，但由于此时间内速度变化量也是极小量，因此金属棒可视为匀速直线运动。该段时间的位移△x=v△t，对应v-t图象中的一个小矩形面积，把所有小矩形的面积求和就可得到整个过程的位移。推导过程中恰好含有v△t一项，因此用微元法求位移比较方便。此类问题中微元法起到化变为恒的作用，能对复杂问题进行简化。

（2）表面上看，求流过电阻R的电荷量需要知道金属棒的运动时间，实际上电荷量是由位移求得。

（3）关于金属棒的运动时间，微元法并不能直接求解，所以大多数高中生不会深入去探究，此时如果命题者随意给定一个时间值，就会破坏了运动学之间的依赖关系导致数据之间出现矛盾，因此命题者必须用到高等数学的微积分知识进行求解。

由，得，积分得，变形得，令v=v0（t=0），得到c'=v0，推出时间的函数式.

把末速度代入上式，得到，实际上当速度降低到接近零（即末速度为无穷小）时算得此段时间即为所求的解。具体的数值运算可参考例2。

（4）求出时间之后再结合电流有效值公式，不难算出此段时间感应电流的有效值。由，得，其中代表无穷小量。

二、例2：如图3示，相互平行的两根金属导轨，导轨间距为L=0.5m，与水平地面夹角为θ=30°，导轨顶端连接一个阻值为R=1Ω的电阻，一根质量为m=0.6kg的金属导体棒垂直于导轨横跨于导轨之上，导体棒由静止开始释放，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B=2T。导轨足够长，滑行过程金属棒始终与导轨保持垂直和良好接触，忽略一切摩擦及除电阻R外的一切电阻，取g=10m/s2，求：

（1）金属棒的最大速度;

（2）金属棒由释放直至最大速度所需的时间;

（3）金属棒由释放直至最大速度所运动过的位移。

分析解答：（1）由受力分析可知，当金属棒受力平衡时有最大速度vm，mgsinθ=BImL，，联合解得，代入数据得vm=3m/s

（2）由牛顿第二定律得，即，为了方便后面的运算，代入数据得，再由，得微分表达式，积分得，变化得，令，得，推出，最后得到时间t的函数式：，若代入v=3m/s则t无解（或理解为无穷大），换言之金属棒永远无法达到最大速度。当然这只是纯数学理论的情况，实际上当速度特别接近最大速度就可得所需的解，令v'=2.99m/s，此时速度误差为0.33%，解得时间t'=3.422s。

（3）此问有两种解法，第一种是运用积分公式，，得s=8.472m。第二种是运用微元法，由，得，代入数据解得s=8.472m.两种解法得到相同的解。

本题核心公式为加速度和速度的函数式：，时间和位移两个物理量都依赖此关系确定，但由高中物理运动学的基本公式无法直接在它们之间建立关系，都要从微积分的思想出发才可解得。如果命题者只是由动能定理等能量观点的关系式去拼凑数据，虽然从高中物理的层面看没问题，但是经不起深入的验算，在微积分等高等数学面前会露馅。

三、由于受到各种现实因素的限制，命题者在命制这类导体棒切割磁感线做变加速直线运动问题时，数据（如时间和位移）直接从实验中获得并不方便，但不能因此就任意给定，一定要以事实为依据。所以命题者在命制题目时必须用到高等数学知识或者微元法进行验证，避免出现与事实相悖的情况出现，使题目本身经得起推敲。

引入微积分数学知识解高中物理题，一方面是让学生早日接触近代数学知识，并能在多个物理变量互相影响的问题中抽丝剥茧，找到最直接的解题方法;另一方面可使物理教师更深刻地理解题目中的物理过程，拓宽视野，对物理教师提高教学能力应有一定的帮助。

参考文献：

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[2][范晓波].化难为易妙用“微元”——微元法在变加速直线运动中的运用技巧[J].2013.（12）.74-76

[3][熊志权].物理原来不能这样考[M].2012.成都：西南交通大学出版社

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