以任务驱动促进合作学习的教学实践与思考

罗晓玲 罗利伟

【摘 要】高质量、层层递进的问题探究，能提高学生的学习兴趣，激发学生合作学习的内在机制，并能使他们在参与学习的活动中得到愉悦的情感体验。文章通过“直线和圆的位置关系”教学设计，以问题为驱动，在学生自主学习的基础上，促进学生合作学习内在机制的有效发挥，充分激发学生获取知识的愿望。

【关键词】问题驱动;合作学习;内在机制;教学设计

【作者简介】罗晓玲，正高级教师，全国优秀教师，首批春城计划高层次人才教学名师，昆明市名师工作室主持人;罗利伟，云南省安宁中学高中数学教师。

【基金项目】昆明市“十三五”规划课题“高中数学合作学习内在机制的实践研究”（ZY18041） 《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，教学要把重心放在促进学生学会学习上，积极探索有利于促进学生学习的多样化教学方式，引导学生自主学习、独立思考、动手实践、自主探究、合作交流等。在合作性的课堂教学中，师生、生生之间的交互活动是多边进行的，学生有更多的机会发表自己的看法，学习环境更为宽松，自主发挥的空间更为广阔;而通过高质量、层层递进的问题探究，能提高学生的学习兴趣，激发学生合作学习的内在机制，促使他们在参与学习的活动中得到愉悦的情感体验。笔者以“直线和圆的位置关系”高三复习课教学为例，通过以问题为驱动，促进学生合作学习内在机制的有效发挥，充分激发学生的学习动机。

一、教前思考

（一）教学疑难点的思考

本节课的内容为高三复习课，直线和圆是解析几何的基础，它对学生直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养要求较高。作为复习课，教学的重点应放在对直线和圆的位置關系的运用上，尤其需要关注以下问题：代数法对二次曲线具有普适性，那为什么要选择几何法来处理？应注意哪些问题？在动态过程中需准确把握几何关系，其转化条件是什么？如何联系相关知识解决问题？等等。

（二）教学环节的思考

首先，传统课堂教学大多以教师为中心，主要通过教师讲授达到教学目标，这在复习课的教学中尤为突出。在教学中，学生的“学”紧紧跟随着教师的“教”，“教什么”和“怎么教”是根据经验预设的，教师往往一讲到底，不注重课堂的生成。显然，这样的课堂不仅缺乏灵动性，而且缺乏学生的合作交流和深度思考，不利于学生的自主能力、创新能力的培养。其次，在传统的复习课中，虽然有的教师也会在其中加入合作学习的环节，但往往受限于教学任务量和时间，难以充分进行合作学习，基本上是流于形式。鉴于此，本节教学内容采取大单元的形式实施教学，对教学环节进行调整，将2课时的教学内容以大单元内容为线索，大体分为3个环节：课前（自主学习）→第1课时（合作学习）→第2课时（交流展示、精讲提升），教学设计图如图1所示。调整后的教学设计能够让不同层次的学生都参与到学习活动中，通过知识的连续性和层次递进，不断激发学生的合作意识，提升学生的合作技能。

（三）教学内容的思考

该教学内容是解析几何的基础，但它对数形结合、运算、综合能力的要求较高。为了让学生从基础入手，由低阶思维向高阶思维过渡，本单元基于“一题一课”为教学设计线索，以典例作为题根，立足基础，同时又能引出基本知识——圆的三种位置关系及判断方法。教师通过变式设计，让学生不断挑战高阶思维，为学生创造合作学习的机会，把直线从y=x+m变为y=kx+1，即从平移变为旋转;在圆x2+y2=4不变的情况下，分别探究位置关系、弦长等问题，营造一源多枝的生生不息的生态课堂。因此，本教学内容从基本知识和方法出发，逐步引申拓展，从简单的定性分析、定量计算到变式探究、分类讨论，再到综合探究、解决动态问题、渗入函数思想（如图2）。

（四）学生活动的思考

本教学设计将教学内容和学习任务进行分解，便于学生充分自主探究，合作学习，展示交流。课前，教师首先让学生自主学习。第1课时，教师组织学生小组合作学习;第2课时，学生交流展示和教师精讲提升。学生从自主学习到小组交流合作，再到小组交流展示，最后到教师精讲归纳，整个过程充分体现了学生的主体地位。学生活动设计如下。

学生活动一：自主练习。自主完成知识性和基础性的练习，并通过逐渐深入的变式题组，使一题多用，多题重组，给人以新鲜感，能够唤起学生的好奇心和求知欲，激发学生合作学习的意识和意愿。

学生活动二：小组合作。第1课时通过小组合作式教学，让学生一方面展示自己在自主学习过程中好的解题思路，另一方面通过同伴思维的碰撞，解答自己的学习疑惑，或是在已解决问题的基础上习得更简便的解题方法。

学生活动三：交流展示。在第2课时的交流展示环节，教师一方面让有成果的学习小组充分展示，另一方面也要让有困惑的学习小组提出质疑，使得各小组之间形成良好的交流氛围。教师在学生成果展示的基础上进行方法总结提炼，以及知识精讲拓展，通过丰富的学生活动，学生的探索能力得到进一步提升，培养了学生问题意识和合作精神。[1]

二、教学实践过程

（一）课前学习，产生疑惑

教师让学生课前自主探究典例和变式题，回顾圆的三种位置关系——相离、相切和相交，以及两种判定方法——“Δ-0”法和“d-r”法。

典例 已知圆O：x2+y2=4，直线l：y=x+m。问：直线l与圆O有怎样的位置关系？

问题1：若直线变为y=kx+1，还有其他的判定方法吗？

根据图象特征，该直线过圆内定点。对于如何确定直线与圆的位置关系，让学生在质疑中学会主动探究。

问题2：若直线l与圆O交于A、B两点，求AB。

该问题旨在帮助学生学会总结直线和圆的位置关系，掌握弦长的两种计算方法：几何特征法2r2-d2和代数特征法1+k2·x1-x2。

问题3：若∠AOB=60°，求直线方程。

问题3让学生感悟从不定（含参数）到定（限制条件）的过程，同时引发学生思考开放性问题，例如如图3，除了可以添加条件“∠AOB=60°”，还能不能添加其他条件？

（二）课堂合作，交流展示

由于学生基础的差异性，他们会产生不同的想法和疑问，于是便有了合作的动机。教师设置以下四种类型的探究性问题，难度逐渐上升，思维逐渐纵深，不断激发学生合作的意愿。

1.平移类问题探究

【变式1】在典例中，当m为何值时，圆O上恰有3个点到直线l的距离为1？

学生通过小组合作学习基本上能够解决这个问题。通过图形可知，该问题其实就是圆心到直线的距离和半径的关系。

师：你还能提出什么问题呢？

生：如果恰好有2个，1个，0个点到直线l的距离为1时，m分别为何值？

通过问题的进一步提出，以及几何画板的演示，教师让学生一起讨论。最后，教师引导学生用数轴进行总结（如图4）。

追问：如果直线固定，平移圆呢？

探究：已知直线l：y=x+2，圆O：x2+y2=r2（r>0），圆O上恰有2个点到直线l的距离为1，求r的取值范围。

该问题既是典例的变式，又是课本中的习题，其把典例中简单的三种位置关系上升到更深层次的位置关系，让学生加深对直线和圆的位置关系的理解。

以上教学设计在典例的基础上进行变式，契合学生的最近发展区。学生通过合作探究从动直线到动圆，认识到直线和圆的位置关系的本质是圆心到直线的距离d和半径r的关系，让学生感受知识的内在联系和一致性，培养学生的发散性思维和创新能力。[2]

2.旋转类问题探究

【变式2】将典例中的直线改为l：y=kx+2，圆O向左平移一个单位变为圆C：（x+1）2+y2=4，若直线l与圆C相切，则实数k的值为    。

变式2从旋转的角度研究直线和圆的位置关系，意在让学生认识到无论是从固定斜率到固定截距，抑或直线从平移到旋转，直线与圆的位置关系从本质上都没有发生改变。

3.对称类问题探究

【变式3·2018年高考数学全国Ⅰ卷第22题改编】若上述直线l改为l：y=kx+2，当直线l与圆C有3个交点时，求直线l的方程。

该题旨在让学生感受高考题其实就是源于一些基础的问题，只是考查的角度比较新颖。另外，在教学中，教师发现学生在解该题时在对绝对值的处理上会遇到麻烦，教师适时进行以下引导。

师：变式3与变式2相比，有什么变化？

生1：多了一个绝对值。

生2：它是一个偶函数。

师：那它还是一条直线吗？

（学生沉思不语。）

师：如果从偶函数的角度考虑，有绝对值应该怎么处理呢？

生（多数学生）：分类讨论，去绝对值。

生（少数学生）：画一半图形就可以了。

师：很好，那现在请大家进行小组合作一起来探究一下吧。

本题作为直线和圆的高考题有一定的难度，经过分析和提示后，很多学习小组能够画出大概图形，但是要准确地解出该题还是有一定难度。由于图形受绝对值和参数k的影响，这时需要教师引导学生先从代数分析得到直线的特征，再利用几何画板动态演示验证猜想，让学生直观感知k对直线l的影响，进而可以通过数形结合讨论直线l与圆C的位置关系。

4.综合类问题探究

【变式4】如图5，过点P（0，1）作圆O：x2+y2=4的两条互相垂直的弦AB，CD，求四边形ACBD面积的最大值。

该题学生在自主学习时较难顺利解答，但通过合作学习后，学习小组探究出以下解题方法。

方法一：利用待定系数法设直线方程，再利用弦长公式表達出弦长AB，CD，但得到面积的表达式较复杂，无法求出最大值。

方法二：设直线的斜率为k，可利用垂径定理表达出弦长，得到 S=24-1k2+1·4-k2k2+1。

教师让方法二的学习小组展示解题过程，但学生仍然无法根据函数关系求出最大值。

师：一定需要乘开吗？可否采用基本不等式处理呢？

这时学生发现，S=24-1k2+1·4-k2k2+1≤2·4-1k2+1+4-k2k2+12=7，当且仅当4-1k2+1=4-k2k2+1，即k2=1时等号成立。

师：结合图形，你知道1k2+1，k2k2+1分别表示什么吗？

生：圆心到直线距离的平方。

师：通过上述计算，可以知道它们有什么关系呢？

生：和为1（定值）。

师：结合图形你知道为什么是定值吗？

生：因为是矩形。

通过教师的引导，设点到两直线的距离分别为d1和d2，学生得到AB=2r2-d21=24-d21，CD=2r2-d22=24-d22，其中d21+d22=1，所以S=24-d21·4-d22≤2·（4-d21）+（4-d22）2=7。

在该展示环节，教师对展示的小组给予了充分的肯定，让学生体会到合作学习的好处。同时，这个过程也是学生能力提升和认知建构最重要的过程，问题解决的重点不在于解题结果，而在于如何想到这样做，如何与学生所学知识建立起联系，从形式到内容，增加学生对合作学习的认可，这也是学生对合作学习进行自我效能的阶段。

（三）课后合作，拓展升华

【变式5】若将上述点P改为直线2x+y-10=0上任意一点，过点P作x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，你能想到哪些可以研究的问题并解决呢？

①求切线长PA的最小值。

②分别求出△AOP和四边形AOBP的面积的最小值。

③求切点弦长AB的取值范围。

④当四边形AOBP的面积最小时，求直线AB的方程。

⑤当四边形AOBP的面积最小时，求其外接圆方程。

⑥求PA·PB的取值范围。

设置课后探究的目的，首先是继续巩固直线和圆的位置关系，尤其是切线问题，这是高考的热点问题之一，除此之外更重要的是再次强化小组合作学习的作用，从课前、课堂、课后的设置让学生体会到合作学习不拘泥于课堂，而是随时可以进行的自发的学习方式。

三、教学反思

1.问题导学驱动学生合作

问题导学的策略，使学生明确了自己的“知”与“不知”，并且可以准确把握学习的重难点，同时，基于认知压力，激发学生学的动机、合作的意愿;问题引导可以使学生对整堂课了然于心，便于学生安排自己的学;在问题的导引下，以解决问题为目标，进行合作学习，碰撞出思维的火花，使得问题解决成效最大化，体会合作的乐趣，培养合作精神。[3]

2.合作学习转变学生角色

在合作学习过程中，教师的讲或其他同学的讲都是学的资源，使学成为主动吸收和利用资源的过程，而不是“别人注入我接纳”的过程。学生的交流展示实质是讲解，是将自己学的过程和结果讲出来。学生由听众变为讲演者，并且讲演中要时刻面临其他同学和老师的评判、质疑和追问。为此，学生会积极调动各种资源，做全面的准备，这个准备过程就是自主地学的过程[4]，在这样的学习中，学生才真正是学习的主人。

3.自我效能认同合作学习

不论是在课前的小组互助，还是在小组乃至班级的展示活动中，学生会感到自己不再是孤独的学习者，周围有帮助他的人也有他能帮助的人。合作没有彼此的竞争，只有分享理解、共享意义。当合作有了实质性的成果，自我的价值在合作中得以体现，学生就会对合作学习产生更多的认同感。

总之，通过课堂实践发现，在问题导向下的合作学习课堂，学生的学习积极性要远高于传统课堂。在此过程中，教师的引导作用也尤为重要，只有有效的高质量的问题设计，才能为学生提供合作学习的契机，这样的合作学习才是高效和可持续的。

参考文献：

[1]祁平.新课程背景下数学教学的哲学思考[J].数学通报，2007（2）：18-22.

[2]谈雅琴.让思维贯通教学 讓学习真正发生：以“直线与圆的位置关系”高三复习课为例[J].数学通报，2017（9）：18-21.

[3]崔丽平.高中数学自主互助学习型课堂教学研究[D].济南：山东师范大学，2011.

[4]张小凤.基于合作学习的高中生数学问题意识及培养策略研究[D].济南：山东师范大学，2019.

（责任编辑：陆顺演）