利用“量与率对应关系式”巧解分率应用题

崔伟 李明煜

[摘 要]在小学分率应用题教学中，教师的“教”与学生的“学”都存在着一定难度，究其原因，首先是教师授课语言受教学内容限制，不能做到生动形象，更无法直观展示，致使学生理解学习内容有障碍;其次是小学生抽象思维还不完善，在分析理解题意时容易出现偏差;最后是其题型多变，包罗万象，有相当多的学生不能够熟练发现其内在联系及规律，造成列式困难，直接导致计算结果不正确。通过利用“量与率对应关系式”辅助解答各类分率应用题，可操作性强，目的性明确，做到了对症下药。

[关键词]分率应用;比较量;标准量;解题方法

分率应用题在人教版小学数学教材中设计了四处，分别是六年级上册第一章“分数乘法”和六年级上册第三章“分数除法”，以及六年级上册第六章“百分数（一）”和六年级下册第二章“百分数（二）”。分率应用题是小学数学教学难点中的难点，尽管这些章节中的习题设计都符合课标中“学生能体会数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考”的要求，十分贴近生活实际，但由于六年级学生年龄小，感性认识还不够丰富，抽象思维能力还未最终形成，同时在生活实际中也很少接触到，学生对这些问题感到十分陌生，很难正确理解题意，最突出的问题就是经常将“单位一”确定错误，直接导致列式错误，得到的答案也是错误的。利用“量与率对应关系式”能避免这一错误，巧解分率应用题。

一、小学生解答分率应用题时存在的问题

小学生是在学习分数乘法时接触到有关分率应用题的，此时他们了解了怎样确定“单位一”，学会了画线段图，知道了“求一个数几分之几是多少，用乘法”这一概念。接着在学习分数除法时明白了“已知一个数的几分之几是多少，求这个数是求一个数几分之几时多少的逆运算，用除法解答”这一规则。最后，在学习百分数时能够感悟这两个运算规则对百分数应用题同样适用。他们在解答分率应用题时遇到的主要困难有：其一是比较复杂的应用题中难以确定“单位一”，而“单位一”确定不准确直接会导致学生列式不正确;其二是无法明确已知条件中给出的数量与分率之间对应关系。以上两个学习难点中，难点一的难度要高于难点二，因为学生可以借助线段图基本弄明白题目中数量与分率之间的对应关系，而对于题目中“单位一”是呈变化状态的情况学生就不容易区分清楚。例如：一列火车的速度是180千米/小时，一辆小汽车的速度是这列火车的5/9，是一架喷气式飞机速度的1/9，这架飞机的速度是多少？解这道分率应用题，第一步求小汽车的速度，火车速度是“单位一”;第二步求飞机的速度，飞机的速度是“单位一”。题中的“单位一”呈变化状态，对中等学习能力以下的学生而言，分别确定两次计算过程中那个数量是“单位一”着实困难。“单位一”确定不清，学生就无法明确这是一道求一个数的几分之几是多少的习题，还是已知一个数的几分之几是多少，求这个数的习题。而利用“量与率相对应关系式”解答类似应用题，不但针对性极强，非常容易操作，而且学生的解答正确率也非常高。

二、分率应用题中的“量与率”的对应关系

（一）分率应用题中的“量”如何分类

其实，分率应用题的知识框架中，题目中给出的数量本质上只有两类，我们可以分别称之为“比较量”和“标准量”。“标准量”是作为基准的那个数量，也就是我们常说的“单位一”，而“比较量”就是与“标准量”进行对照比较的那个数量。

（二）分率应用题中“量与率”存在何种关系

“比较量”与“标准量”之间有这样一种关系式：“比较量÷标准量=分率”。我们可以通过演示具体了解，例如：5比4多几分之几这个问题中，教师可以引导学生这样理解题意：用5比4多的部分同4作比较，5比4多的部分是比较量，4是标准量，得到的答案1/4就是分率，代表了5比4多四分之一。同理，4比5少几分之几这个问题中，题意就是用4比5少的部分同5作比较，4比5少的部分是比较量，5是标准量，得到的答案1/5就是分率，它代表了4比5少五分之一。

（三）利用除法關系式理解“量与率”之间的两种变换关系

在“比较量÷标准量=分率”这个关系式中，比较量相当于被除数，标准量相当于除数，分率相当于商。在除法关系式中，被除数=商×除数，除数=被除数÷商，利用以上两个关系式，可以比较容易得出：比较量=分率×标准量，标准量=比较量÷分率。直白地讲：求比较量是多少的应用题，就是“求一个数的几分之几是多少”的问题;求标准量是多少的应用题，就是“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题。

三、利用“量与率相对应关系式”解答分率应用题的策略

（一）利用“量与率相对应关系式”解答分率应用题优化解题过程

比较分数乘法、分数除法应用题与“量与率相对应关系”的知识架构，我们会发现“量与率相对应关系”的知识点通俗浅显，脉络清晰，目的性强，学生易于接受并掌握，实施操作也简单易行，具有传统教法无法比拟的优越性。以上述求飞机速度的应用题为例，先求小汽车的速度，小汽车的速度是火车速度的5/9，小汽车的速度是比较量，火车的速度是标准量，小汽车的速度=小汽车速度对应的分率（5/9）×火车的速度;再求飞机的速度，小汽车的速度是比较量，飞机的速度是标准量，飞机的速度=小汽车的速度÷小汽车速度所对应的分率（1/9）。利用以上方式分析解决问题，学生能够快速抓住要点并正确列出算式，为后期的计算正确提供有力的保障。

（二）利用“量与率相对应关系式”解答分率应用题容易出现的弊端

当然，自然界中任何事物都具有两面性。利用“量与率相对应关系式”解答小学分率应用题确有独到之处，但其自身也存在着显著缺陷。即容易固化学生思维，不利于培养学生深度思考的习惯。找出分率应用题中的比较量与标准量比确定“单位一”容易，利用“量与率相对应关系式”列出综合算式比画线段图分析问题快捷节省时间，有了规律可循，小学生自然不愿意劳心费神地思考分析，忽略了亲历探究，不利于学生发散思维的培养。

（三）利用“量与率相对应关系式”解答分率应用题扬长避短

首先，教师心中要明确“量与率相对应关系式”绝不是解决分率应用题唯一的方法，更不是包治百病的灵丹妙药，它只是解决分率应用题的一种辅助手段。教学这部分内容时一定要以教材为主，让学生先系统了解分率问题的知识点与习题类型，只有当学生学习遇到瓶颈时，才开始向学生渗透“量与率相对应关系”，这样才会有醍醐灌顶、茅塞顿开的效果。要特别注意学习的顺序，一定要先学习教材所给出的解决问题的方法，再让学生接触“量与率相对应关系式”，以免给学生造成先入为主的第一印象。合适的契机应该在学习分数除法应用题时最佳。过早接触，容易造成学生放弃思考走捷径;滞后接触，容易致使学生在较难的习题面前产生畏惧，降低学习兴趣，失去学习动力。此外，教师应该对所教班级的学生能力水平了然于胸，针对不同能力水平的学生分别提出不同水平的要求。如对学习成绩优异的学生，要求学生在列式前注释自己是怎样理解题意的;对中等能力水平的学生而言，要求他们在列综合算式前必须附上清晰标准的线段图;最后，针对学习热情不高的学生，要求他们列分步算式解答分率应用题，尽量保证他们每一步的算式列式正确，为解答正确打下基础，力争做到少丢分或不丢分。这样，坚持以教材为主，利用“两条腿走路”，教师在传授知识的同时，兼顾培养学生“探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性”这一课标中的要求。

数学知识是人类经过漫长又曲折的探索过程建构起来的，它的依据必须都是科学严谨的。虽然利用“量与率对应关系式”解答分率应用题经我个人验证颇有成效，也希望有更多的同事借鉴后在教学实际中应用，共同探索其可行性，发现其规律性，论证其科学性，完善其合理性，在求同存异的基础上将其归纳充实，集思广益，补齐短板，形成有科学依据的理论，从而更好地指导教育教学活动。

参考文献：

[1]陈大伟.有效教学[M].大连：辽宁师范大学出版社，2006.

[2]胡力波.小学数学教学中质疑能力和发散思维的培养[J].学周刊，2013，（05）.

[3]陈群英.小学数学审题能力培养路径研究[J].教书育人，2019，（07）.

（责任编辑 付淑霞）