漫谈解析几何大题的四大优化策略

盛耀建

解析几何大题，是每年高考的必考大题，虽然常考，且题型也较为固定，但其依然是挡在考生面前的几座大山之一，得分率较低。那么如何破解这一难题，推翻这座大山呢？笔者认为，除了需要我们同学总结一些常见的题型，还需要掌握一些特殊的技巧，笔者就此整理了解析几何大题解题时的四大常见优化策略，供同学们复习备考时参考。

策略一：同构式

“同构式”侧重于“同构”二字，顾名思义，

结构相同。具体举例如下：

例/如图1，已知抛物线E：y'=2px（p》0）过点Q（1，2），F为其焦点，过F且不垂直于?轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足MPAB的垂心为原点O。

（1）求抛物线E的标准方程;

（2）求证：动点P在定直线m上，并求SaPAB的最小值。

ScQAB

解析：（1）由题意，将Q（1，2）代人y=2p.x，得2'=2p=p=2，所以抛物线E的标准方程为y'=4x。

（2）设l：x=ty+1（t0），A（x，y），

评注：第（2）问的解答关键在于“y，Y2

称之为“同构式”。需要进一步说明的是“同构式”是一个广义的概念，它可以笼统地称呼任意“结构”相同的式子，上面的例子属于“二次方程同构式”。

策略二叉积式

“叉积式”是一个简称，它实际上是指三角形面积的一个计算公式：“Sc=-XY2

2-XY|"，其中记向量以=a=（x，y），CB=b=（X;，Yz）。怎样运用这个面积公式？具体举例如下：

例2（2021年1月金華十校考试）已知：抛物线C：y'=4x，斜率为一1的直线l与抛物线C的交于A（x，yi），B（xz，yz）两点，点P（1，2）在直线l的右上方。分别过点P，A，B作斜率不为0，且与抛物线C只有一个交点的直线为l，l，ls。

（1）证明：直线l的方程是yy=2（x+x）;

（2）如图2，若lnl2=E，lNls=F，l2Nl=G，求△EFG面积的最大值。

解析：（1）证明略。（2）由（1）可得切线分别为l：y=x+1，

策略三：伸缩式

“伸缩式”指的是“椭圆与圆之间的伸缩变换”，当对圆进行伸缩变换后，圆中的一些性质被很好地保留了下来，等价地，将椭圆还原成圆，有些性质也是不变的，“伸缩式”解题就是借助了这些不变性，巧妙地进行灵活运用，那么哪些性质在伸缩变换时是不变的呢？例如，点分线段所成的比保持不变;两直线间或直线与曲线的相对位置关系保持不变;封闭区域的面积比保持不变;对应直线的斜率比保持不变等。具体举例如下：

例了已知F（-/3，0），F2（/3，0）为

（1）求椭圆C的标准方程。

（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，OAB的面积为1，G为椭圆C上一点，满足o=s+i0B，试问：s+是否为定值？若是定值，求出这个定值;若不是定值，求出s十l的取值范围。

评注：第（2）问的解答，我们两次巧妙地运用伸缩变换中的性质，第一次运用伸缩变换中“封闭区域的面积比保持不变”这一性质得到CA'O'B=兀-这一关键的结论，第二次运用“点分线段所成的比保持不变”这一性质了解题的计算量

策略四定义式

“定义式”指的是椭圆的第三定义（平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数且这个常数大于一1小于0，则动点的轨迹为椭圆，其中两定点分别为椭圆的顶点）的应用，概念的推广有些时候也会给解题带来方便。具体举例如下：

例4已知椭圆r的焦点在?轴上，一个顶点为A（-5，0），其右焦点到直线3x-4y+3=0的距离为3。

（1）求椭圆r的标准方程;

（2）设椭圆厂的长轴为AA'，P为椭圆上异于A和A'的任意一点，作AQLAP，A'QLA'P，AQ和A'Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程。

评注：①本题第（2）问的解决，椭圆的第三定义起到了关键性的作用，借助直线间的垂直关系，在斜率转换之间，自然而然地得到了答案，过程相当简洁;②事实上，关于椭圆的第三定义，我们可以运用伸缩变换来进行推导，不仅如此，我们还可以得到一个更加好用的性质，即椭圆上的点与椭圆上关于原点中心对称的两点的连线的斜率之积为定值。

解析几何大题的顺利解决，不仅需要扎实的计算能力，灵活的头脑，有时还需要一定的知识储备，身边如果能够带着一些解题的装备，那就可能收获意外的效果，上述解题策略虽然还不够全面，但常常用到，希望能够带给读者朋友些许启发！（责任编辑王福华）