解决圆锥曲线中的最值与范围问题

浦春玲

高考在考查圆锥曲线时常综合其他知识进行，其中的范围和最值问题是较为典型的代表，是高考的热点问题，也是难点问题之一。这类问题综合性较强，常以几何与方程、函数、不等式等问题为载体，隐性条件较多，关系式复杂，难度较大。解决问题的关键是根据几何性质构建数量关系，将几何问题转化为方程、函数或不等式问题。下面通过几道最值或范围问题的解法探讨如何恰当选择解题策略，合理转化解题方向，希望对新高考模式下圆锥曲线的复习提供一点帮助。

一、巧设直线方程，简化目标形式求最值

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）设0为坐标原点，过右焦点F的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不在轴上），若元=+B，求四边形AOBE的面积S的最大值。

解析：（1）由26=2/3，可知b=/3。又

点评：经过一点（xoy）的直线方程一般设为y-y。=k（x-xo）（要考虑斜率是否存在的问题），也可设为x=l（y-yo）+xo（除去与轴平行的直线），选择哪种类型要先分析问题，把条件和目标联系起来，如消元后需要留下纵坐标y，则设第二种类型较好。引入合适的参数是简化计算的重要诀窍。解题时，要从分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构的特征出发，注意从整体结构入手确定参数（参变量）。本题利用平行四边形的性质将四边形的面积转化为三角形的面积求解。同学们还要学会巧设直线方程，使用韦达定理，利用基本不等式、函数的单调性求解函数最值。

二、抓住曲线定义，列出弦长式子求最值例2（2020年浙江模拟）如图2，已知抛物线的标准方程为y=2pxc（p》0），其中0为坐标原点，抛物线的焦点坐标为F（1，0），A为抛物线上任意一点（原点除外），直线AB过焦点F交抛物线于B点，直线AC过点M（3，0）交抛物线于C点，连接CF并延长交抛物线于D点。

（1）若弦|AB|的长度为8，求△OAB的面积;

（2）求|AB|、|CD|的最小值。

解析：（1）因为焦点坐标为（1，0），所以2p=4，所以抛物线的标准方程为y=4x。

设直线AB的方程为x=ty+1（t为斜率的倒数），A（x，y），B（xz，y2）。

（2）因为点A在抛物线上，所以可设A（a，2a），由第（1）问可知A，B两点的纵坐

點评：解析几何的本质特征就是用代数方法研究几何问题。若能引用已知的平面几何性质，将会收到事半功倍的效果。本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的几何关系及弦长问题。对于过抛物线焦点的弦长问题我们可以利用抛物线的定义将其转化为到其准线的距离求解。

三、利用二元变量，转化二次函数求最值例了（2020年浙江金华期末）已知抛物线C：y=+2，过抛物线C外的点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B。（1）若P（2，0），求两条切线的方程;

的动点，求△PAB面积的取值范围。

解析：（1）设过点P的切线方程为y=k（x-2），将其代人y=x+2，可得x？-kx+2k+2=0，所以0=k？-8k-8=0，解得k=4士2/6。

所以所求的两条切线的方程分别为y=（4+2/6）（x-2）和y=（4-26）（x-2）。

（2）设P（m，n），A（x，y），B（xg，yg），对y=x+2求导得y'=2x，则切线PA的方程为y-yi=2x（xc-x），又y1=x+2，则y=2xcx-y+4。同理，切线PB的方程为y=2x2x-y2+4。

又因为PA和PB都过点P（m，n），则（n=2xm-y+4，所以直线AB的方程为n=2x2m-y2+4，

n=2mx-y+4，即y=2mx-n+4。

（y=2mx-n+4，消去y整理得xc？联立y=x*+2，

-2mx+n-2=0，所以0=4m2-4（n-2）=4（m'-n+2）》0，由韦达定理得+x=2m，xxz=n-2，所以|AB|=/1+4m，lx-xl=2i44m.m-n+2。

点评：对于圆锥曲线中的最值问题，既要“以形助数”，启发思维，培养敏捷性，也要“以数助形”，精确刻画，培养严密性，使抽象思维和形象思维互相结合，相互渗透。本题考查抛物线的方程与几何性质、切线方程、韦达定理、三角形的面积公式等。在求面积的取值范围时，恰当运用消元思想把二元问题转化为一元问题，使运算得到简化，从而解决问题。

四、通过线段之比，转换坐标关系求最值

例4（2020届浙江绍兴模拟）如图4，已知椭圆

上顶点和下顶点，且|BC|《4，T（t，2）为椭圆M外的动点，且T到椭圆M上的点的最近距离为1。

（1）求椭圆M的标准方程;

（2）当t≠0时，设直线TB，TC分别与椭圆M交于E，F两点，若△TBC的面积是TEF的面积的k倍，求k的最大值。

解析：（1）由于T（0，2）到椭圆上的点的最近距离为2-b=1，所以b=1。

（2）直线TB的方程为y=-x+1，联立

所以k的最大值为。。

点评：将未知向已知转化，是一种重要的思想方法。通过变换，把不熟悉的、复杂的问题转化成熟悉的、简单的问题，把不规范的问题转化成规范的甚至模式化的问题。本题是以圆锥曲线与动直线为载体的三角形面积问题，涉及圆锥曲线的标准方程及几何性质、函数、不等式等基础知识，通过分析几何图形特征，选择恰当的方法表示三角形面积。当遇到线段长度的关系时，通常转化为坐标间的关系，简化运算。

圆锥曲线中的最值与范围问题是高中常见的问题类型，其解题的关键是联立方程，合理构建模型。概括来说，先根据题设条件，恰当选择某个与目标密切相关的自变量，并确定目标函数的解析式，在充分考虑函数的定义域、不等式的最值条件等前提下，应用函数的单调性、基本不等式、求导等方法进行计算，从而达到求解圆锥曲线中的最值与范围问题的目的。

（责任编辑王福华）