圆锥曲线中的定点、定值问题易错点分析

周东贤

定点与定值问题一直都是圆锥曲线中的高频考点，在近几年的高考中层出不穷。圆锥曲线的有关定点、定值等综合性问题涉及圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，同时又与函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系。

从2020年的高考试题来看，圆锥曲线中的定点、定值问题难度较大，分值一般在12～17分，主要考查的核心素养是数学运算、直观想象、逻辑推理等。

求解该类问题，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能力要求较高，绝大部分同学对此类问题望而生畏。要解决它，需要同学们有扎实的基本功和较强的运算能力，以及不急不躁的应试心理状态。难度虽大，但大部分的方法都体现了解析几何的通性通法，以及运算技巧与基本功。

在第二轮复习中，我们要认真总结解题规律和方法，同时也针对同学们在做题中易错的地方进行归纳，避免在以后的解题中出现无谓的失分。

易错点1：设直线方程时，没有考虑斜率不存在的情况

例1已知椭圆C：2人.

=1（a>b>62

0）过点P（2，1），A，A。分别是椭圆C的左顶点和右顶点，且直线PA，与直线PA，的

（1）求椭圆C的标准方程。

（2）设不过点P的直线l与椭圆C相交

于M，N两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为1，试问：直线l是否过定点？若过定点，求出定点的坐标;若不过定点，请说明理由。

错解：（1）由题意易知A，A，的坐标分

当2k+6-1=0时，直线l的方程为y=kx-2k+1，过定点（2，1）;

当6k+b+3=0时，直线l的方程为y=kx-6k-3，过定点（6，-3）。

综上可知，直线l过定点，定点为（6，-3），或（2，1）。

易错点分析：（1）当我们求出k和m的关系时，别忘了判断此时判别式是否大于0！这是直线l与椭圆C相交于A，B两点的前提，若漏写，则是要扣分的。（2）解决圆锥曲线中的定点与定值问题时，注意对相关直线的斜率进行讨论，设直线方程时，一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前考虑。（3）對定点的位置要进行检验，防止出现不满足题意的定点。

正解：（1）由题意易知A，A，的坐标分

点睛：本题考查了利用韦达定理解决圆锥曲线问题，计算量较大，属于难题。本题有两个关键点：（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁，是解决直线和圆锥曲线位置关系的最重要的方法，体现了转化思想;（2）计算能力和计算技巧，在解决圆锥曲线问题时，计算能力和计算技巧至关重要。

易错点2使用韦达定理时，需要验证判别式是否大于0

例2已知椭圆c.+兴=1（a>

的离心率为寸，直线y=x+/6与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出定点的坐标。

易错点分析：（1）当我们求得k和m的关系时，别忘了判断此时判别式是否大于0。即3+4k'-m'》0是否成立，这是直线l与椭圆C相交于A，B两点的前提，若漏写，则是要被扣分的。（2）求出定点坐标时，需要对定点坐标进行检验，看看是否符合题意。如本题中当直线l过定点（2，0）时，刚好过右顶点（2，0），不符合题意，应该舍去。

综上可知，直线l过定点，且该定点的坐标为（号，0）。

易错点3：不会利用圆锥曲线的几何性质（对称性）简化运算，导致解不出来

例了在平面直角坐标系中，动点M到点F（2，0）的距离和到直线x=的距离的比是常数5。

（1）求动点M的轨迹方程。

（2）若过点F作与坐标轴不垂直的直线l交动点M的轨迹于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为P，当直线l绕着点F转动时，试探究：是否存在定点Q，使得B，P，Q三点共线？若存在，求出定点Q的坐标;若不存在，请说明理由。

分析：（1）设动点M的坐标为（x，y），由（x-2）+y_2/5-化简可得结果;（2）联立直线l与椭圆方程，根据韦达定理得?十xzxxp，由椭圆的对称性知，若存在定点Q，则点Q必在r轴上，设Q（1，0），根据PB//PQ列式，结合x+xx可求出1=之动点M的轨迹方程为号+y*=1.

（2）由题知F（2，0），且直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x-2）。

假设存在定点Q（l，s），使得P，B，Q三点共线，则PB//PQ且P（x，-y）。

又因为PB=（x;-xyz+y），PQ=（t-x，yi-s），所以（x2-x）（y1-s）=（y2+y）（t-x），即（xz-x【k（x-2）-s】=k（x+x;-4）（1-x），化简得2xx：-（1+2）（x+x）-s（-x+x+4t=0。

此时这个式子没有办法用上韦达定理，陷入了麻烦中。

易错点分析：由椭圆的对称性知，椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，利用关于x轴对称进行转化，若存在定点Q，则点Q必在ε轴上，这是解题的关键。

正解：（1）设M（x，y），根据题意知

（2）由题知F（2，0），且直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x-2）。

由椭圆的对称性知，若存在定点Q，则点Q必在x轴上，故假设存在定点Q（l，0），使得P，B，Q三点共线，则所//Q且P（r，一y）。

，5

故存在定点Q（可，o），使得P，B，Q三点共线。

（责任编辑王福华）