直线与圆锥曲线的综合问题的易错点分析

钟国城

以直线和圆锥曲线为背景的综合问题是高考数学中的热点与难点问题，此类问题常与函数、方程、不等式及向量等知识交汇，难度较大。大部分同学在解决此类问题时普遍存在两个方面的困难：一是计算量较大;二是有许多易错的地方而不小心掉人陷阱。对于第一个困难，只要做题时养成踏实计算、“步步为营”的习惯，并在此基础上掌握一些解题技巧，就可以克服;对于第二个困难，大家在做题时感觉防不胜防，一不小心又出错了，为了更好地帮助大家克服这个困难，本文对此类问题中的易错点进行了剖析、归纳与总结，以期对大家的备考能有所帮助。

易错点1：忽略“直线的斜率不存在”的情形

例/（2021届河南省郑州市名校高三联考节选）已知椭圆方程为。+y'，-1。设直线l与圆x+y=2相切，与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，线段OA，OB分别与圆x+y'=2交于C，D两点，设△AOB，OCOD

S＼-的取值范围。

的面积分别为SS.求，

剖析：上述解法在假设直线l的方程为y=kx+m时，未考虑斜率不存在的情况，解题过程不完整，因此在引入直线方程时，需对直线的形态进行分析，对直线斜率是否存在作必要的说明。

正解：当直线l的斜率存在时，同错解，S}的取值范围为（2.，3/27求得s当直线l的斜率不存在时，其方程为x=土2。由对称性，不妨设x=2，此时A（/2，2），B（2，-2），C（1，1），

易错点2忽略对判别式的验证

例2（百万联考2021届高三模拟改编）已知椭圆

设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|G1+1印|=4。

（1）求椭圆E的标准方程;

（2）若直线l过点P（2，1），与椭圆E相交于不同的两点A，B，且满足OP=4PA.PB，求直线l的方程。

错解：（1）椭圆E的标准方程为二十3=1。（过程略）

（2）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆E相切，不符合题意。

当直线l的斜率存在时，设其方程为y-1=k（x-2）。

剖析：本题第（2）问中的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B，即联立直线l与椭圆方程后判别式必须大于0，这是韦达定理成立的前提。但在求解过程中，一直没有对此进行验证，因此解题过程不严谨，有可能产生不符合要求的解。

正解：（1）椭圆E的标准方程为0S

（2）前面的过程同错解，得到k一土2。因为直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B，所以对应方程①的△》0，即64k"（2k一1）*-4（4k*+3）（16k8-16k-8》0，即6k+

即y=2。

易错点3：忽略二次项系数不为0

例3（2021届河南省焦作市高三模拟节选）已知点P（4，4）在抛物线C：y=2px（p》0）上，直线l：y=kx+2与抛物线C有两个不同的交点，求k的取值范围。

错解：由抛物线C：y'=2p.x过点P（4，4），得p=2，所以抛物线C的方程为y'=4x。

由|y=kx+2，得kx+（4k-4）x+4=0。y'=4x

因为直线l与抛物线C有两个不同的交点，所以△=（4k-4）2-16k-16-32k>0即k《2。

因此k的取值范围是（-，2）

剖析：上述解法忽略了使用判别式大于0的“隐含”条件k'?0，所以当二次项系数含有参数时，首先要对系数进行判断，判别式与韦达定理的使用均建立在二次项系数不为0的基础上。若无法确定系数的符号，则需对系数进行分类讨论。

正解：前面的过程同错解，得（k'≠0，解得k《2，且k≠0。故k的（16-32k>0.取值范围是（-oo.0）U（o.台）。

易错点4：忽略变量的取值范围

例4（2021届江西省鹰潭市高三模拟）已知椭圆c.+兴-=1（a》b》0）的左焦点和右焦点分別为F，F2，M为椭圆上任意一点，当FMF，=60时，△FMF的面

积为/3，且.26=/3a。

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）设0为坐标原点，过椭圆C内的一点（0，l）作斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k，kg，若对任意实数k，存在实数m，使得k+kz=4mk，求实数m的取值范围。

剖析：上述第（2）问的解答中，在使用l的取值范围时，忽略了点（0，l）在椭圆C的内部，未得到t的准确的取值范围，从而导致m的取值范围求解错误。因此，在涉及多变量求取值范围时，一定要分析清楚变量之间的关系及对应的取值范围。

正解：（1）略。

易错点5：误把二级结论当作充要条件例5（2020年陕西省安康市高三联

考改编）设抛物线C：y'=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k》0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，AB|=8。

（1）求直线l的方程;

（2）求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程。

错解：（1）由题意得F（1，0），设直线l的方程为y=k（x-1），k》0。

因此直线l的方程为y=x-1。

（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2）。因为所求圆经过A，B两点且与抛物线C的准线相切，所以所求圆的圆心坐标为（3，2），半径为|AB|=4，故所求圆的方程为（x-3）'+（y-2）'=16。

剖析：上述第（2）问误把抛物线中有关焦点弦的二级结论“以焦点弦为直径的圆一定与准线相切”当作充要条件用于解题，从而导致解题思维不严谨，解题过程不完整。通过此题，我们要明确在解决解答题时，一不能直接使用二级结论，若使用的话必须经过严格的推理，二不能把结论与概念、定理混为一谈，把结论当充要条件。

正解：（1）同错解，得直线l的方程为y=x-1。

（2）同错解，得AB的中点坐标为（3，2）。所以AB的垂直平分线所在直线的方程为y-2=-（x-3），即y=+5。

设所求圆的圆心坐标为（xo，y。），则

易错点6：忽略椭圆参数方程中参数的几何意义

例6（2021届陕西省延安中学高三

剖析：上述第（2）问的解答中混淆了由OM_AB得出椭圆上A，M两点坐标的参数形式中“离心角”之差等于，从而导致求解出错。椭圆的参数方程中参数的几何意义与圆的参数方程中参数的几何意义完全不同，不能简单地套用圆的参数方程的使用方法。对于此题还是用普通方程来求解比较自然。

（2）过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，则|OA|=|OB|。

当直线l的斜率存在且k?0时，设直线l的方程为y=kx，代人椭圆方程，解得=

又椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|，则OM垂直平分线段AB，故直线OM的方程为y=-k。

总之，高考对直线与圆锥曲线综合问题的考查非常全面，难度不小，突出考查同学们的运算能力与综合分析能力。本文通过总结直线与圆锥曲线综合问题中的常见易错点，希望能帮助同学们在以后的解题中避免落人误区，提高答题的速度与准确率。（责任编辑王福华）