联想策略下解析几何中角的问题处理

陈俊峰

解析几何是高考的热点和难点，角的问题是其中的重点内容之一，这类问题涉及知识点多，具有较强的灵活性和综合性，这就要求同学们在思考问题时能通过联想，建立知识之间的联系，并能充分依据条件，合理选择方法。

所谓联想，就是看到一个问题，想到与该问题相关的数学知识。联想到的知识越多，解决问题的可能性越大。本文尝试采用联想的策略对解析几何中角的问题处理做一些归纳整理，为这类题型的新高考备考提供一点参考。

一、由角联想到三角形内角，借助解三角形求解，体现知识交汇

解析几何中研究角的问题，可以把该角置于三角形中进行研究，特别是当三角形具备一些边角条件时，通过解三角形的方法进一步构建角和边的关系，从而解决问题。

例1（2020年山东模拟）已知椭圆

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）设直线l：c=-2，过点F2的直线交

椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分

别交直线l，直线AB于M，N两点，如图1，当CMAN最小时，求直线AB的方程。

解析：（1）设椭圆的左焦点为F（-c，

（2）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为零，于是可设直线AB的方程为x=

所以直线AB的方程为x+y-1=0或x一y一1=0。

点评：本题通过解Rt△AMN来研究CMAN的最值问题，选择恰当的三角函数是关键，在Rt△AMN中，边AM，AN的长度较易求解，所以选择△MAN的正切函数最为合理。解三角形的常见方法还有：正弦定理、余弦定理、面积法等。角的最值问题常常与函数、不等式等相结合，体现了知识的交汇，具有较强的综合性。

二、由角联想到向量夹角，借助向量工具求解，突出转化思想向量是联系数和形的有力纽带，能用坐标刻画，使得向量成为解析几何中研究几何问题的重要工具。角是有公共端点的两条射线组成的图形，若用直线的方向向量来表示角的两边方向，角的问题就转化为向量夹角问题，借助向量数量积的坐标运算成为解题的关键。

例2（2020年江西模拟）已知抛物线C：y'=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，D为线段AB的中点。

解析：（1）由题意得F（1，0），设直线l的方程为x=ty+1。

所以直线l的方程为

综上所述，的取值范围为

点评：本题把角的问题转化为向量夹角问题，把向量夹角为锐（直、钝）角的问题转化为向量数量积的符号问题，用坐标表示数量积，问题可简便地转化为不等式问题。整个过程突出转化思想，充分体现向量的工具作用。需要注意的是：解题过程中的xp?≠1，体现了转化的等价性，同学们应当引起重视。

三、由角联想到直线的倾斜角，借助斜率求解，彰显解析几何的本质

斜率是解析几何中刻画角的重要工具，若相关的角的顶点在x轴上，通过合理联想，将相关的角转换为直线的倾斜角，充分利用斜率的桥梁作用，建立起角與坐标的关系，彰显解析几何的本质。

例3（2020年广东模拟）已知椭圆

点评：本题中的AMB虽然不是倾斜角，但与其相关的匕MAB，CMBA分别为直线AM，BM的倾斜角（或倾斜角的补角），借助斜率刻画【MAB，CMBA，则需在△AMB中选择CAMB的正切函数进行运算。相比角的其他研究方法，利用斜率来计算角的大小，其优点在于计算量相对小，但需认真推敲转化的可行性，即相关的角必须是倾斜角或很容易与倾斜角建立联系的角。

解析几何是高考的高频考点之一，通过问题的解决，可以提升数据分析、数学运算、逻辑推理等核心素养。处理解析几何中角的问题，只需紧扣条件，从形和数两个角度展开联想，合理转化，问题便可得到解决。最后，针对解析几何的学习，给同学们提两点建议：一是多多联想，能促进知识的融会贯通和方法的迁移，发展思维的广阔性和深刻性;二是养成良好的运算习惯，厘清算理，优化算法，细心运算。

（责任编辑王福华）