例谈圆锥曲线中的中点和对称问题

杨金军

解析几何是高中数学的重点内容之一，直线和圆锥曲线构成了解析几何的核心部分。圆锥曲线中的中点弦问题、对称问题一直是高考数学试题中的常考问题之一，这类问题常涉及直线与圆锥曲线的位置关系、方程与函数等重要的数学知识。纵观近几年各地的高考模拟试题和高考真题，我们会发现这类试题既注重对数学基础知识的全面考查，又注重对数学思想和思维方法的考查，而且.试题综合性强、题目新颖、灵活多样，对同学们的解题能力要求比较高。解析几何是高考数学的热点更是难点，所以有“得解几者得数学”之说，本文对解几中的中点弦及对称问题的求解策略进行探究，为同学们高考助力。

一、中点问题

直线和圆锥曲线相交弦的中点有关问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题，在高考选择题、填空题、解答题中时有出现，属于中档偏难题型。解决这类问题的常用策略有数形结合法、消元法、点差法、公式法等，具体选用哪种方法视问题实际背景而定。

例1（2020年衢丽湖三地市教学质量检测）已知椭圆T：+y=1，拋物线My=2p.x的焦点为F，且动点G（-1，1）在抛物线M的准线上。

（1）当点G在椭圆T上时，求|GF|的值;（2）如图1，过点G的直线l与椭圆T

交于P，Q两点，与抛物线M交于A，B两点，且G是线段PQ的中点，过点F的直线l，交抛物线M于C，D两点，若AC//BD，求直线l，的斜率k的取值范围。

评注：由中点坐标表示直线方程是圆锥曲线中最常见的中点弦问题，该类直线方程常用点斜式，关键是斜率的求解。在本题中，对于椭圆的中点弦一般采用“点差法”和“公式法”，使得计算简便。另外，在求圆锥曲线中变量的取值范围问题时，通常把该变量表示为另一个变量的函数解析式，利用函数思想求解，同学们不妨试试。

例2

（2020年9月全国月考试卷）如图2，已知抛物线E：y=ax（a》0）内有一点P（1，3），过点P的两条直线l，l分别与抛物线E交于点A，C和B，D，且满足AaPC，BP=xPD（a>0，1），已知线段AB的中点为M，直线AB的斜率为k。

（1）求证：点M的横坐标为定值;

（2）如果k=2，点M的纵坐标小于3，求＼PAB的面积的最大值。

解析：（1）设CD的中点为N，由AP=aPC，BB=xB，得B=DC，而=xP附，这说明AB//DC。

又因为M，N分别是AB，DC的中点，所以M，P，N三点共线。

评注：本题第（1）问起点较高，先要根据向量共线和相似的性质得到M，P，N三点共线，利用抛物线中点弦和中点坐标的关系式得到M=.xN，从而M，P，N三点的横坐标相等。第（2）问借助第（1）问的结论后，三角形的面积表达式就清晰明了，以|PM|为底，横向距离|.xx-xg|为高，利用韦达定理得到面积S关于点M的纵坐标l的关系式。在求解面积的最大值时，方法一利用导数求解;方法二利用基本不等式求解，这两种方法都是求解最值问题的常用方法。

二、对称问题

圆锥曲线中的对称问题主要分为中心对称和轴对称两种情况，其中中心对称是关于点对称，对于这类题型只需应用两点的中点坐标公式就可以解决;而轴对称是关于线对称，解决这类问题，要善于寻找几何关系，利用化归思想，把对称问题转化为中点问题、斜率问题及直线位置关系问题，从而实现“从陌

生向熟悉”“从复杂向简单”的迁移。

例3（2020年全国模拟）已知椭圆

评注：两点关于直线对称的两个关注点：①两点的连线与直线垂直;②两点连线的中点一定落在直线上，所以在解题的过程中要紧紧抓住“垂直”和“中点”，通过中点坐标公式和斜率公式，将这两个关键的几何条件代数化，进而用代数的方法研究几何问题，体现解析几何的本质。解答第（2）问的关键是如何应用对称关系表示出变量m的解析式，通过垂直得到斜率关系，中点是联结点，用点Q的坐标表示m，最后利用椭圆上的点的坐标范围求得m的取值范围。

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）如图4，若直线PA，PB关于直线PF对称，求证：直线AB的斜率为定值。

解析：（1）设椭圆的左焦点为F，则F（-2，0）。由椭圆的定义得2a=|PF1+|PF|=32+2=42，所以a=2/2，6=a2-c=2，所以椭圆C的标准方程。-1。

评注：对于直线关于直线的对称问题，要认真审题，透过表象看本质。在第（2）问中，直线PA，PB关于直线PF对称，而直线PF平行y轴，那么隐含的本质问题就是直线PA，PB的斜率互为相反数。找到这个关键的隐含条件，整个问题就可迎刃而解。

方法总结：点关于直线的对称问题是点

关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线垂直;②两点连线的中点在已知直线上。直线关于直线对称问题，包含两种：①两直线平行;②两直线相交。在解答题中通常是相交的关系，则需要我们去观察直线的位置关系，一般都是转化为斜率的关系式。

总之，在圆锥曲线的中点问题和对称问题中，都渗透“数形结合”的思想，如何把几何条件准确、合理地转化为代数表达式是整个解题的关键。

（责任编辑王福华）