基于Reddy 理论的新型波形钢腹板组合箱梁挠度计算

王 力 ，刘世忠 ，路 韡 ,2，牛思胜 ，毛亚娜

（1.兰州交通大学土木工程学院，甘肃 兰州 730070；2.西北民族大学土木工程学院，甘肃 兰州 730030；3.甘肃省交通运输厅，甘肃 兰州 730030）

波形钢腹板（corrugated steel web，CSW）组合箱梁以其自重轻、力学性能良好和造型美观等优点在我国公路桥梁建设中被广泛应用.然而这种组合结构下翼缘混凝土置于梁底，构造复杂，施工难度较大.为了克服混凝土底板浇筑困难，进一步减轻结构自重，国内学者提出了用带肋钢底板代替传统CSW 组合箱梁上混凝土底板的新型CSW 组合箱梁结构[1].

CSW 组合箱梁在竖向荷载作用下，腹板承担剪力比重[2]很大，其产生的剪切变形作用对组合箱梁整体挠度的贡献不容忽略.国内外学者主要通过解析理论[3-4]、有限元分析[5-6]和模型试验[7-9]等方法对CSW 组合箱梁的弯曲性能开展了大量研究，结果表明[10-11]：随着剪跨比的改变，剪切变形效应导致CSW 组合箱梁的挠度增大10%～40%，在计算中应考虑波形腹板的剪切变形效应.Johnson 等[12]通过有限元分析和室内模型试验，提出了波形钢板有效剪切模量计算公式.He 等[13]考虑剪切变形影响分别推导了跨中集中荷载或满跨均布荷载作用下的挠度计算公式.聂建国等[14]引入腹板剪切变形转角函数，提出了考虑剪切变形的弯曲变形简化计算方法.冀伟等[8]考虑了剪力滞效应和腹板剪切变形效应，通过能量变分法建立了CSW 组合箱梁挠度计算公式.上述研究主要针对传统CSW 组合箱开展研究，但对新型CSW 组合箱梁的相关研究成果较少，因此，有必要对该新型结构的竖向挠曲特征及影响挠曲的关键因素进行探究.既有研究表明，剪力滞效应仅使CSW组合箱梁的挠度增加2%左右，而剪切变形效应对其挠度贡献约为剪力滞效应贡献的20 倍～40 倍[6,15].然而在多数研究中，对于组合箱梁剪切变形的修正较为复杂，且假设截面剪力皆由CSW 承担，实际工程中上、下翼板不可避免地承担了部分剪力，因此，在挠度计算中会引起一定误差.

为了克服经典梁理论和考虑一阶剪切变形的Timoshenko 梁理论的局限性，Reddy[16]提出了一种三阶剪切变形理论，其假定剪切应力在组合梁梁高方向呈抛物线分布，并在顶缘和底缘满足剪切应力自由条件，从而避免了一阶剪切变形的修正系数问题.本文基于Reddy 高阶梁理论的轴向位移分布模式，考虑钢-混接触面滑移效应和全截面剪切变形效应，利用最小势能原理建立新型波形钢腹板组合箱梁控制微分方程和边界条件，并运用一阶常微分方程理论分别对集中、均布荷载作用下的组合箱梁挠度进行求解.通过室内模型试验和有限元模型对理论计算结果进行验证.本文计算方法为新型CSW 组合箱梁的计算分析提供了新思路，可为该类结构的设计计算提供必要参考.

1 计算理论

Euler-Bernoulli 梁理论假定梁横截面在变形前后均与中性轴保持垂直，其忽略翘曲和横向剪切变形的影响，故该理论通常适用于长细比较大的梁.对于梁截面横向剪切变形不容忽略的深梁和组合梁，该理论的计算精度相对较低.为了弥补其不足，Timoshenko 将梁横向剪切变形加入Euler-Bernoulli梁模型，并为了简化运动方程的导数，将给定横截面上的剪应变取为常数.Timoshenko 梁理论（一阶剪切变形梁理论）较Euler-Bernoulli 梁理论精度大幅度提高，但其难以满足梁在上、下缘应力为0 这一条件，为了修正该理论，就需要引入剪切变形的相关因子.为了克服Euler-Bernoulli 梁理论和Timoshenko梁理论的局限性，科研工作者们相继提出了多种高阶剪切变形梁理论，其中，以Reddy 高阶梁理论最具代表性.

1.1 基于Reddy 理论的CSW 组合箱梁位移

新型CSW 组合箱梁是由混凝土顶板（c 层）和波形腹板钢箱梁（s 层）通过剪力键连接而成，如图1所示.图中：L为梁长；x坐标为箱梁横截面位置；uc0和us0均为子梁横截面形心轴处的轴向位移；θc和 θs均为截面形心处的切向转角；ucs为子梁间的相对滑移梁；yc、ys和hc、hs为相应c 层和s 层的纵坐标和梁高.

图1 新型CSW 组合箱梁轴向位移场假定Fig.1 Axial displacement hypothesis of a new type of composite box girder with CSWs

组合箱梁沿梁高方向被各子梁的形心轴和层间剪力键分为4 个部分.

根据Reddy 高阶梁理论，考虑子梁i（i=c,s）的高阶剪切变形项的系数为 αi和 δi，则各子梁不同高度处（yi）的轴向位移为

不计剪力键的伸缩变形，假设两个子梁横向挠度相等，故剪力键的纵向错动位移ucs和组合箱梁横向挠度ω分别为

根据弹性力学基本理论，由几何方程和物理方程可以得到子梁i的剪应变 γi和剪应力 τi分别为

式中：Gi为子梁i的剪切模量.

由切应力互等定理可知，组合箱梁混凝土顶板上缘和钢底板下缘处横截面切应力均为0，即

另外，由式（1）和式（2）可得

1.2 有限元列式

由式(14)可知：ui中包含一阶导数项 φ.一般情况下，若泛函中的导数高于一阶时，要求许可函数在单元交界面上至少具有C1连续性，这时构造单元的插值函数通常较困难[17].为了避免这一高阶连续性问题，本文将 φ 作为一个独立的未知量，建立一个应变场，使其能够进行C0连续有限元计算.

组合箱梁c 层、s 层某一点的应力-应变关系可写为

式中：σi、εi和Ei分别为子梁i的正应力、正应变和材料弹性模量.

式中：Hi为yi的函数，与横截面相关；εi为x的函数.

组合箱梁各层的应变能为

层间剪切弹簧应变能为

式中：kcs为接触面上的滑移刚度.

以式（14）中各位移项为位移场的相关分量，根据等参元公式[18]，将各位移项以相同方式进行内插，位移差值函数f可表示为

运用MATLAB 编写了上述相关理论的有限元程序.程序流程如下：1）结构相关参数输入（节点坐标、截面参数、材料特性值、荷载和约束条件等）；2）计算单元刚度矩阵并组合后形成总体刚度矩阵KT；3）计算单元等效荷载列阵并组合后形成总体荷载矩阵PT；4）施加边界条件；5）运行求解.

2 模型试验及有限元建模

为了验证本文利用高阶梁理论求解新型CSW组合箱梁挠度的正确性，以景中高速上某40 m 新型CSW 组合简支箱梁为背景，按1∶5 缩尺制作了跨径为8.0 m 的等截面试验梁.组合箱梁梁高415 mm，桥面宽1 250 mm，底板宽600 mm.顶板厚65 mm，采用C50 混凝土浇筑，试验室测得混凝土顶板混凝土28 d 立方体抗压强度标准值为51.3 MPa.波形钢腹板高350 mm、板厚3 mm（见图2），底板及底板加劲肋厚5 mm，均采用Q235 钢材制作.试验梁栓钉直径均为10 mm，高39 mm，材质为ML15，在梁截面横向双排布置，横向间距40 mm，剪力钉kcs=180 N/mm2.

图2 波形腹板波段尺寸Fig.2 Unit band size of CSW

试验梁加载均布荷载（工况1）时，先在其顶板上与CSW 交界位置沿梁轴线方向均匀铺设两列红砖，然后在红砖上方沿梁轴线满铺钢板平台，最后，在钢板平台上均匀铺设红砖近似模拟均布荷载作用.跨中集中荷载（工况2）通过千斤顶、压力传感器和反力架配合施加.两种工况均分3 级加载，在底板下缘每米布置一组挠度测点，每组在横桥向布置2 个测点，试验现场如图3 所示.

图3 试验现场Fig.3 Test site

运用ABAQUS 有限元软件建立新型CSW 试验梁三维有限元模型.顶板混凝土采用C3D8 三维实体单元模拟，剪力钉采用C3D8R 六面体单元模拟，波形钢腹板、底板、底板加劲肋及横隔板均采用S4R 板壳单元模拟.剪力钉与腹板上缘钢板采用绑定约束，剪力钉和混凝土顶板采用面面接触.模型共有41 712 个单元，51 516 个节点.模型材料参数见表1，有限元模型如图4 所示.

表1 材料特性Tab.1 Material propoties

图4 试验梁有限元模型Fig.4 Finite element model of test girder

3 结果分析

运用本文计算方法求得新型CSW 简支箱梁在满跨均布荷载、跨中集中荷载作用下跨中截面的挠度值，边界条件及荷载示意见图5.然后与仅考虑腹板一阶剪切变形的Timoshenko 理论值（忽略本文理论的高阶项）、有限元（FEM）值及试验实测值（测试断面处两个测点的挠度平均值）进行对比，结果如表2、3.

图5 边界条件及荷载示意Fig.5 Boundary conditions and load schematic

表2 箱梁跨中挠度（工况1）Tab.2 Midspan deflection of box girder (case 1) mm

表3 箱梁跨中挠度（工况2）Tab.3 Midspan deflection of box girder (case 2) mm

由表2、3 可知：试验梁跨中挠度在表中所列的加载区段内基本呈线性变化，表明该梁处于弹性工作状态；两种工况下，FEM 值与实测值最大相差4.6%，验证了有限元模拟的可靠性；总体来看，本文理论值、Timoshenko 理论值、FEM 值和实测值吻合度较好，而初等梁理论值较前三者结果普遍偏小；两种工况下，本文理论值与FEM 值、Timoshenko 理论值分别最大相差0.78%和1.87%，与现场实测值相差0.16%～5.01%.由于试验梁在上述各工况下始终处于弹性状态，在此，仅对工况1（q=9.0 kN/m）和工况2（集中荷载为100 kN）进行分析，对比结果如图6 所示.

图6 箱梁挠度对比Fig.6 Deflection comparison of box girder

由图6 可知：运用本文理论计算得到的组合箱梁挠度 ＞ FEM 值 ＞ Timoshenko 理论值 ＞ 初等梁理论值；两种工况下，运用本文理论计算结果与现场实测值、FEM 值在全梁上吻合较好，而与初等梁理论值的相对误差最大超过10%，说明剪切变形及界面滑移效应对结构挠度的影响不容忽略.

4 参数分析

相较于初等梁理论，基于Reddy 理论的高阶剪切变形梁理论考虑了各子梁的高阶剪切变形，且子梁的剪切变形与剪力键变形相关.为此，下文分析连接件剪切刚度、跨高比、波形钢腹板型号和子梁高度比等参数对新型CSW 组合箱梁挠度变形的影响规律，分析结果如图7 所示.图中：ωp、ωE分别为跨中挠度的本文理论值与初等梁理论值.

图7 给出了改变接触面剪切滑移刚度、CSW 型号、子梁高度比对新型CSW 组合箱梁变形的影响.对比工况1、2 可知：集中荷载作用下高阶剪切变形引起的附加挠度普遍大于均布荷载作用结果.由图7（a）、（d）可知：组合箱梁跨中挠度比（ωp/ωE）随剪切滑移刚度（kcs）和跨高比的增大而减小.当跨高比 ＞ 19.2，且kcs＞ 180 N/mm2时，ωP/ωE＜1.05，表明该条件下采用初等梁理论计算结构挠度尚可满足实际工程中5%的精度要求；但当kcs和跨高比逐渐减小时，滑移效应和剪切变形引起的附加挠度值占比逐渐增加，挠度比也随之增大.由图7（b）、（e）可知：3 种腹板型号的箱梁跨中挠度比均随着跨高比的减小而增大；跨高比相同时，CSW 型号对挠度比的影响表现为1 型（1 000 型）＞ 2 型（1 200 型）＞3 型（1 600 型）；随着跨高比从3.6～19.2 逐渐增大时，CSW1000 型与CSW1600 型对挠度比的影响差异从3.7%逐渐降至0.4%，据此可见，跨高比越大，各型号CSW 剪切变形引起的挠度差异越小.由图7（c）、（f）可知：CSW 组合箱梁跨高比一定时，随着混凝土顶板（c 层）相对于波形腹板钢箱梁（s 层）变厚过程中，由于顶板的剪切变形效应增加，从而引起跨中挠度比呈增大趋势；当hc/hs＞0.18 时，挠度比随高跨比的变化速率显著加快.

图7 关键参数对组合箱梁挠度的影响Fig.7 Effect of key parameters on deflection of composite box girder

通过对新型CSW 组合箱梁多个参数的分析结果可以看出：跨高比、剪力键剪切刚度和子梁高度比引起的剪切变形效应对结构竖向挠度的影响较大，而波形钢腹板型号对其影响不明显.

5 结 论

1）基于Reddy 高阶剪切变形理论，考虑钢-混接触面剪切滑移效应和子梁高阶剪切变形效应，推导了新型波形钢腹板组合箱梁静挠度计算有限元列式，并通过模型试验、有限元模拟验证了本文理论的可靠性.本文解析计算方法为同类结构的挠度计算提供了新思路.

2）基于本文理论考虑新型CSW 组合箱梁全截面高阶剪切变形效应后，其挠度较初等梁理论增大约10%，较仅考虑腹板剪切变形效应情况增大约1.8%.随着跨高比逐渐增大，全截面剪切变形效应对挠度贡献逐渐减小.

3）跨高比和剪力键剪切刚度越小或子梁高度比越大，剪切变形效应对结构竖向挠度的影响越发显著，而波形钢腹板型号对箱梁挠度影响较小.