重视概念建构 指向数学抽象——“函数单调性”的教学设计与思考

丁宗国 (江苏省苏州实验中学 215011)

1 引言

数学抽象作为数学产生和发展的思维基础，反映了数学的本质特征，是数学学科核心素养的重要组成部分[1].数学抽象体现在数学概念和规则的获得过程中.数学概念以高度概括的形式呈现、用抽象的语言表达，其形成过程一般是从直观的背景、具体的材料中抽离出数学对象的本质特征，再对抽象概括出的对象给予一般的意义和数学符号的表示，最后根据意义和符号得出结论形成概念.正确理解抽象内容、合理设计建构过程是引导学生进行概念的意义建构的前提，也是发展学生数学抽象素养的关键.

单调性是函数的重要性质之一，在中学数学教学中占有十分重要的地位.但“函数单调性”的教学出现了一些不自然、不合理的问题：

①缺乏单调性概念的形成过程，平铺直叙地教给学生单调性的符号表示；

②单调性概念建构中图形语言、自然语言、符号语言之间转换不自然；

③概念的建构完全依赖于图形的感观认识，没有真正达到理性认识；

④单调性概念建构的整个过程散乱，没有体现本知识在单元中的地位.

上述问题的出现，都是由于不能正确理解概念的教学定位，没有实现建构过程中数学抽象素养的培育目标，使概念的教学停留于陈述性知识、程序性知识的层面，而本应有的解决问题的策略、数学推理的策略以及自己或他人数学思维过程的反思等策略性知识被丢失，这与单元整体性教学的理念不符合.

2 学生概念建构中的障碍分析

2.1 建构的思维落差较大

一般而言，函数单调性的建构过程包括两个阶段：第一阶段是建构函数单调性的具象意义，以图形语言和自然语言为主要的表征方式；第二阶段是通过探究将具象意义的语言用符号语言进行抽象的表征.两个阶段对学生的思维要求完全不同．第一阶段完全可通过对具体函数图象的观察得到变化趋势的直观感知，思维要求较低．第二阶段难在用符号语言来形式化表述单调性时，如何最大限度引导学生建构“自己的句子”.这其中又有两大思维难点：其一是“x增大”和“f(x)增大”中的“增大”如何用符号语言进行表示；其二是对于“函数f(x)随着x的增大而增大”，如何用符号语言表示“随着”.

2.2 认知的活动经验缺乏

学生进行活动的经验不足是建构困难的又一原因.在初中学习数学概念时，学生习惯于用符号语言表示静态的数学对象，却较少运用符号语言表示动态的数学对象.函数单调性的形式化定义恰恰就是用抽象的符号语言来表达动态的数学对象，这对刚刚进入高中学习的学生而言显得很不适应，表现出认知力不够.

2.3 语言转换的动机不足

建构函数单调性的过程实际上经历了三种语言的转换历程：先通过观察获得图形语言，后将图形语言转换为自然语言，再将自然语言用符号语言表示，进而运用规范严谨的符号语言来判断或证明函数单调性.该过程构成了概念建构体系时的语言转换系统，这个转换系统可能会让学生存有困惑，因为在初中学习函数均是由给定函数解析式作出函数图象，再运用函数图象研究问题，将函数图象的功能上升到一个较高的地位，为何还要用符号语言来表示函数单调性？这样的困惑不解决，很容易让学生产生“多此一举”的疑问.因此，概念建构过程中要让学生意识到用符号语言表征的必要性[3].

2.4 学习的逻辑要求加大

小学和初中阶段的数学学习往往运用合情推理(归纳与类比)的方法，对逻辑推理的要求相对偏低.进入高中后，数学学习更重视逻辑的严密性，更讲究过程的条理性，对学生理性思维的要求明显增加.函数单调性概念的形式化表示是学生进入高中后遇到的第一个逻辑要求较强的内容，尽管学生可以利用前面已经学习过的一次函数、二次函数、反比例函数等基本函数来理解函数单调性的形式化，但要完全理解“任意x1

3 教学设计

3.1 情境创设，导入新知

函数是描述客观世界变化规律的数学模型.研究变化中的不变性和规律性很有价值.因此，在研究函数的时候要抓住函数中保持不变的性质.

情境1 给出我国2020年1月19日至9月22日疫情确诊人数的变化图.

问题1.1观察全国新冠肺炎疫情图(图1)，这两张图的变化趋势是怎样的？

图1

从1月19日至2月28日，我国现存确诊人数在不断上升，从2月28日至9月22日左右我国现存确诊人数在下降，之后保持稳定；而全国累计确诊人数一直在增加，从1月19日至2月28日增长幅度比较大，从2月28日至9月22日左右增长比较缓慢.

问题1.2请进一步观察，全国累计确诊人数在5月到7月变化量很小，近乎一条直线，从图象上能看出这段时间人数是上升的趋势吗？

图象虽然直观，但有时并不能清楚地反映变化的趋势，由此指出用严谨的数学符号语言来表示函数单调性的必要性.

设计意图借助时政，通过全国疫情确诊人数变化图让学生感受确诊人数的上升、下降，了解我国抗击疫情的成效，感悟用数学的眼光观察世界，为用数学的语言表达世界提供准备.同时，情境中“近乎一条直线”的设计是为了让学生意识到用符号语言刻画函数单调性是必要之举.

情境2 请绘制初中所学习过的一些基本函数的图象.

图2

问题2.1你能描述这4个函数的变化趋势吗？

第1张图和第3张图是下降趋势，第2张图和第4张图是上升趋势.

问题2.2初中是如何描述上升、下降趋势的呢？

“上升”是“y随x的增大而增大”，“下降”是“y随x的增大而减小”.

问题2.3第2张和第4张图是在R上y随x的增大而增大或减小吗？

不是，在(0，+∞)上.

设计意图以学生已学函数作为载体，这是学生学习函数单调性的认知基础，对照绘制的函数图象，让学生直观感知单调性的描述性定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接，符合学生的认知规律.

3.2 聚焦建构，形成概念

问题3如何用符号语言来描述“y随x的增大而增大”呢？

问题3.1如何用符号语言表示“增大”？

“增大”意味着需要两个量比较(前面已学习了不等式表示实数大小)，“增大”表现的是一直的变化状态，这显然不可以用具体数值来刻画“一直”，可引导学生回忆初中学习过用字母表示数，由于字母具有一般性，逐步引出用字母和不等式来进行表达，即“x1

问题3.2如何将“随”符号化？

当x1

问题3.3如何将“任意”符号化？

前面已经学习过全称量词命题，以及函数概念的语言表示，可建构出：对任意x1，x2，当x1

问题3.4如何理解区间D⊆I?

结合问题2.3可知单调性概念是函数的局部性质，它与区间D密不可分，要让学生建立起单调性与区间D“永不分离”的认知习惯.

结合问题3.1～3.4的抽象过程，正式给出单调递增函数的定义：

设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果任意x1，x2∈D，当x1

问题3.5如何定义单调递减函数呢？

设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果任意x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么函数f(x)在区间D上是单调递减函数，区间D称为y=f(x)的单调减区间.

可以用图3来体现整个过程中的语言转换：

图3

设计意图通过聚焦研究帮助学生逐步勾勒出函数单调性的符号语言，让学生充分参与到概念的建构过程中，切身体验数学概念如何从直观到抽象、从文字到符号、从粗疏到严密的过程，让他们充分感悟到数学概念符号化的建构原则.通过逐层分解、逐步抽象的微观建构，真正提升学生在建构中的直观想象、数学抽象等核心素养.

3.3 多元表征，加深理解

活动1 辨析正误，初步理解

例1判断下列语句的正误.

(1)定义在R上的函数f(x)满足f(1)

(2)定义在R上的函数f(x)满足f(1)

(3)定义在R上的函数f(x)是增函数，则一定满足f(1)

活动2 构造反例，加深理解

引导学生从图象(形)和取值(数)两方面进行辨析，如-1<1，f(-1)

设计意图在完成概念的意义建构和形式化定义后，对概念意义的反思辨析是概念意义进一步分化和贯通的必要环节，是继续同化意义的过程.辨析正误和构造反例以突出单调性概念的本质理解，让学生在已有抽象成果中学会解构性理解，使学生从感性认识向理性认识过渡，促进学生对知识本质的理解与内化.

活动3 定义证明，深化理解

给学生示范运用单调性定义规范表达、证明单调性的完整过程，并概括出证明的一般步骤：取值—作差—变形—判号—定论.

设计意图单调性的证明是学生在函数学习时运用数学概念进行形式化推理的重要论证内容，对学生推理论证要求比较高．通过例题示范，让学生掌握证明函数单调性的基本程序，形成基本的表达规范，提升逻辑推理的素养.

3.4 归纳小结，形成经验

问题4.1本节课的学习历程是怎样的？

生活实际中的例子—已学函数的变化趋势—函数单调性的三种语言—函数单调性的定义—定义的应用

问题4.2如何对函数单调性进行定义？

直观感知图象—形成自然语言—抽象出符号语言

设计意图通过小结学习历程和定义过程，积累基本活动经验，这些经验为后续学习函数其他性质提供认知准备与思维范式，体现单元教学的整体性.

4 几点思考

4.1 立足单元教学，做到概念间的整体建构

为了达到整体把握抽象概念的目的，教学中教师应从单元教学的目标出发，统揽全局，将教学活动的每一步、每一个环节放到整个单元中考量，从更高的角度来审视和分析教材，突出教学目标和内容的整体性，体现教学过程和方法的一致性，使得单元知识的教学是统一的生成系统.若用“函数单调性”孤立地进行教学设计，容易导致概念的建构方式、所经历的思维过程、获得的活动经验不一致，其后果是认知的逻辑连贯性较差，获得的知识结构也不稳定.通过问题4.1引领学生回顾本节课的认知过程，让他们在后续学习函数的其他性质(函数的奇偶性、周期性等)时进行概念建构的同构活动，让他们不断感受到符号语言表征的一致性、语言转换的逻辑一致性、思想方法和数学观念上的一致性，实现前后知识的逻辑连贯性，确保学生建构的整体性和连贯性.

4.2 理解知识本质，真正实施数学抽象的过程

对教学内容的数学本质要有正确的理解，才能理解数学内容所体现的数学抽象素养，进而才能有效引导学生提升数学抽象素养.教师应加强对教学文本的解读能力，准确理解数学知识，真正领悟教材编写意图，设计合理的探究活动来发展学生的数学抽象素养．学生的抽象经验需要在探究活动中积累，抽象能力需要在探究活动中发展，数学抽象素养需要在数学抽象经验的积淀和升华中培育.将探究活动与数学抽象过程的程序方式相对应，由浅入深设计有关探究活动，逐步实现从具体到抽象的过程，让学生体验并熟悉数学抽象的“基本套路”，不断在活动中提升数学抽象素养.

4.3 重视同化过程，实现概念的意义建构

涂荣豹[4]指出：概念的意义建构并不是在一节课中、一次活动中就能够完成，它必须经过不断地运用，多次地反思，反复地辨析，而且有时还需对概念进行必要的解构和重构，才能对知识本质的理解逐渐清晰和深刻.这里要着重指出的是，概念的同化过程不是在概念生成初始阶段的一节课中就能全部达成的，尤其是“意义的综合贯通”，更不是在一两次课堂教学中所能完成，更多的是需要个人的体验与感悟.因此，需要在后续教学和解题感悟中，继续概念意义的同化过程，并通过个人的反思才能真正达到概念的“对象”与“过程”的平衡共存，真正实现概念的意义建构.