数学教育中关于学生、教师和学习环境的研究——《数学教育研究手册》第三册简介

王翠巧 (人民教育出版社课程教材研究所 100081)

蔡金法 (美国特拉华大学数学系和教育学院 19716)

作为《数学教育研究手册》的第三册，本书主要综述了数学教育中关于学生、教师和学习环境的最新研究成果，是前两册中介绍的理论和研究方法在这些具体领域的运用．第三册包含了这套手册的11章内容(第21～31章)，其中前六章依次探讨了语言的多样性、种族、身份认同、性别、数学参与及具身认知等领域的研究(第21～26章)；接下来的三章介绍了课堂对话、数学教学实践以及教师专业发展方面的研究(第27～29章)；最后两章讨论了能够支持学生学习和教师教学的相关领域的研究：课程研究与现代技术(第30、31章)．

本文首先简要介绍各章内容，接着选取这册书中几个具体的研究结果进行详细介绍，最后一部分提出几点阅读建议．

1 各章主要内容简介

数学语言既是数学学习的结果，又是数学学习的媒介．尽管数学语言的统一性相对较高，但不同种族的语言还是有所不同的，这直接影响了数学的学习方式．除此之外，和种族、性别等相关的社会身份也影响着学生的学习．这些组成了本书前四章的主题：语言、种族、身份、性别与数学．

数学可以看成是一种专门的语言．和日常语言相比，它具有自身的独特性，如抽象性、简洁性、形式化等，因此数学的学习具有独特性．同时，数学的学习又依赖于日常语言，它是通过日常的语言交流来进行的．那么语言和数学到底有着怎样的关系？不同的语言环境对数学学习有什么影响呢？第21章就介绍了在语言多元化环境下进行的数学的教与学．这一章首先介绍了数学教育中语言多元化研究的历史背景．接下来从人类认知、语言交流和社会政治三个角度，考察了相关研究．其中以认知为导向的研究，主要基于数学学习是要获取知识的观点，考察了第二语言环境对数学学习的影响．

数学作为一种文化活动的产物，必然会受到不同种族文化的影响，这种影响可能是正面的，也可能是负面的．那么如何利用好种族有关的文化，使其成为一种优势来促进学生的数学学习呢？这就是第22章要探讨的问题．该章梳理了5个和种族相关的研究主题(比如，研究学生的种族身份对其数学学习经历的影响)，探讨了种族是如何影响课堂层面的教与学，以及种族是如何在社会层面影响数学教育的等问题．最后为研究者们提供了研究种族与数学教育的四个指导性问题：(1)在这一研究中，种族是如何定义的？(2)在这一研究中，谁或什么被种族化了？为什么？(3)在这一研究中，对种族的看法是什么？种族因素对数学学习和参与有何影响？(4)这一研究对该领域和社会中普遍存在的种族认识有何贡献？

关于身份的研究，虽然在我们国家没有太多涉及，但是近年来在美国的数学教育领域却日益突出．每个人在学习数学时，都对自己有一个定位或预期.比如有的女生觉得数学是男生学习的学科，自己不一定要学数学，即使学也学不好；这是一种数学的自我身份认同．当然，对数学学习的身份认同还可能来自他人.比如人们通常认为，黑人学生数学差，亚裔学生数学好．这些观点把数学学得好和特定的身份相挂钩，势必会对数学的学习产生消极的影响．而数学是面向大众的，每个人都需要学习数学，因此构建积极的数学身份认同，让学生认为自己有能力学好数学就显得尤为重要，这正是第23章希望做的工作．这一章首先区分了个人身份(与特定社会情境相关联)和成员身份(与种族、性别、语言等有关)；接下来讨论了有关个人身份的研究，并对有关个人身份与成员身份的关系的研究成果进行了综述；最后指出了这些研究对于构建积极的数学身份认同的启示．

近些年的研究表明，虽然男生和女生的整体数学成绩差异很小，但是男性在高数学成就者中的比例明显较大．此外，自信心和职业选择方面也存在着明显的性别差异．这些都说明数学教育中的性别差异仍然值得关注．第24章就聚焦于性别和数学的研究，重点阐述了男女生在数学成绩和职业选择方面一直存在差异的原因．这一章指出，为了改变女性在数学相关领域占比低这一现状，需要对性别的刻板印象、教师的数学焦虑、学习者的自我认知、早期干预的价值等进行更为系统深入的研究．

有一句谚语说得好：“你可以把马牵到河边，但是你不能强迫它喝水．”如果把这句谚语应用到学生的数学学习中，实际上就强调了学生参与数学活动的情感因素，特别是学习的动机．第25章就试图通过对数学参与进行深入的剖析，来阐明以下两方面的问题：一是动机等情感因素是如何作为媒介来让我们学习数学的，二是如何在数学的学习中培养学生的数学情感，让他们进行深度的有效参与．

我们知道，语言是传递信息的一种重要方式，但数学课堂教学中的信息并不总是通过语言来传递的，它还可以有别的传递方式，比如肢体动作、手势等，这就产生了一个新兴的研究领域——具身认知．同第21章研究语言对数学学习的影响一样，第26章探讨了如何将这些信息的传递方式最大限度地利用起来，以促进数学的学习．

课堂教学实际上是一种师生互动的过程，那么师生互动到底如何动？我们经常说，以教师为主导，以学生为主体．这句话虽然重要，但对课堂教学的实际指导意义不大．教师应该如何去主导？主导到什么程度？怎么做才算突出学生的主体地位？主导和主体如何区分？实际上，课堂教学是通过师生的言语互动来进行数学活动，进而达到让学生学习数学的目的的．那么如何看待课堂中师生的语言互动？其在数学学习中扮演的角色是什么？第27章通过介绍不同的理论流派，考察了课堂言语互动给学生提供的学习机会．

第28章和第27章类似，都是考察如何通过一些教学实践活动，使得课堂教学给学生提供的学习机会最大化．第28章讲到了两个更为具体的教学实践：教师关注和引领讨论．教师关注是近十几年来比较热门的研究领域，它指的是教师在课堂教学中注意到学生所言所行，并作出即时性决策的一种能力．而引领讨论一直以来都是研究的热点，它反映了教师组织安排数学活动的方式．教师关注和引领讨论作为两个教学专长，都直接影响了学生的学习机会，都需要进行特别的训练．这一章就介绍了在课堂教学中教师是如何进行课堂关注和引领讨论的，以及如何去训练教师进行特别的关注和引领讨论，来促进学生的学习．

教师作为专业人士，需要不断地进行专业提高，这里的专业提高既包括教师的学科内容知识的提升，也包括教师教学知识的提高．那么如何帮助教师进行专业提高呢？这一直是数学教育领域的一个研究课题．第29章就以不同的专业发展项目为例，介绍了有关教师专业发展的最新研究．

课程不仅是教师学习的媒介，也是课堂上学生学习的资源，它在很大程度上决定了学生的学习机会．因此课程的演变在历次数学教育改革中都是很重要的一个抓手．第30章从预期课程、执行课程和获得课程三个层面来考虑有关课程的研究，其中预期课程主要指教科书的作者对数学应该教什么和如何教的期望，体现了教育目标；执行课程体现的是课堂目标；获得课程指的是学生实际所学到的．这一章最后，作者呼吁未来的数学课程研究需要改进研究方法，进行更多的跨国研究和纵向研究，协调不同的概念框架，重视数学课程知识库的建设．

信息技术的飞速发展，使得各个领域都在发生着前所未有的变化，教育行业也不例外．具体到数学的学习，信息技术对其有什么样的影响？会带给学生哪些新的学习机会呢？第31章就呈现了有关技术在数学学习中的作用的最新研究．这一章按照在数学学习中使用技术的四个目的，分类讨论了和数学学习有关的信息技术．对于每个目的，都从生产力和变革两个方面进行了讨论，其中生产力维度强调的是技术会影响数学；而变革维度则强调，技术会彻底改变数学的教与学．

2 一些结果及特点

这本书涵盖了数学教育领域的众多研究主题，其中涉及的结果和方法对数学教育工作者都是十分有价值的，限于篇幅，我们很难一一列出.本文希望通过聚焦两个研究问题，带领读者进入这本书的某一段话、某一小节、某一章甚至是紧密关联的某几章，进而去畅游整本书．接下来我们重点介绍两个跟实际教学密切相关的研究结果．

2.1 关注学生性别差异

我们知道，学生的个体差异是多方面的，比如语言背景、种族、性别等．只有充分了解学生的个体差异，才能更好地利用他们的语言的、文化的特征，为他们提供学习机会．例如，第24章“性别与数学的研究”就提到了和数学有关的性别差异．

首先，不同的内容领域(或数学问题类型)有着不同的性别优势．比如有研究表明，在解决度量方面的问题时，如果这个问题只是对公式的简单运用(例如，已知长方形的长和宽，求长方形的周长或面积；或者已知周长和长、宽中的某一个量，求另一个量)，女孩往往比男孩表现得好；而如果这个问题需要进行空间关系推理或空间想象时，例如，求不规则的空间几何体的体积(图1)[1]，或者估算地图上两点间的距离(图2)[1]，男孩一般表现得特别好．

图1 图2

其次，解决数学问题的方法上存在着性别差异．比如，一项研究发现：德国的小学女生在一些通过计数或画图来解决的题目上表现得更好，而男生在一些隐含着逆向推理的题目(如含有缺项的题目)上得分很高．再比如，美国的一项研究表明，在解决一道有关比例推理的应用题(某部电梯能承载20个儿童或15个成人，如果这个电梯里已经有12个儿童，那么它还可以容纳多少个成人)时，女生使用程序性的、按部就班的方法(图3)[2]或直接用加减法(比如，20-15=5，12-5=7或20-12=8，20-15=5， 8-5=3)的频率几乎是男生的两倍．

图3

最后，男女生的空间思维能力也有所不同．有研究发现：虽然女性在记忆空间位置方面有优势，但是大多数的空间思维能力显示出了不同程度的男性优势．这也解释了前面提到的，当度量问题涉及空间思维时，男生往往表现得更好．

造成数学学习的性别差异是多方面的，我们重点介绍和教师有关的影响因素．首先，教师关于性别的刻板印象会影响他们对学生的数学能力的看法．比如，有研究发现，只有当美国小学教师认为女生比男生学习更努力、表现更好时，他们才把女生与那些成绩相当的男生一视同仁．这就可能导致女孩在课堂上更勤奋，并做出更多的取悦教师的行为，在解决问题时更容易遵循教师教授的方法．其次，教师自身的数学焦虑也会影响女生的数学成绩．研究表明，低年级的数学教师大多是女性，而女教师比男教师有着更高的数学焦虑，这种焦虑会潜移默化地传达给学生，会对女生关于“谁擅长数学”的信念产生负面影响，并最终影响女生的数学成绩．

明晰了问题和原因后，教师如何进行有效的干预呢？第24章提出了一些可以借鉴的措施．比如，教师应该放弃在数学课堂上奖励好女孩的做法，应该鼓励女孩去“冒险”，去探索新的解题方法，去学会对数学问题进行推理；教师要充分利用信息技术等支持学生学习的资源，并通过一些教学手段来提高女孩的空间思维能力；教师要学着改变自身对数学学习的性别差异的刻板印象，减少自身的数学焦虑；教师可以帮助女孩调整心态，使她们远离“自己的数学能力是固定的”等想法．

2.2 利用技术支持改善教学

第31章“学习数学的技术”从多个维度整理了技术在数学中的作用，无疑是十分有价值的．这一章的一个独特之处在于把技术与基于科学的学习理论相联系，应用学习理论来指导数学学习中的技术应用．下面举三个具体的例子．

“认知负荷”理论认为，人类在短时记忆、信息处理等方面都存在着局限性，当需要处理的任务或信息的认知要求超过这些限制时，人类的表现就会受到影响．按照“认知负荷”的理论，在使用信息技术时就可以适当地进行“劳动分工”，即可以把数学学习的工作在人和信息技术工具之间进行分配，把一些不太重要的学习任务交给信息技术工具，让学生腾出更多的精力去解决一些高认知需求的数学任务．比如，利用信息技术可以快速、准确地进行计算的特点，在数学学习时可以适当使用计算器，以减轻学生常规的计算负担，让他们更多地关注更深层次的学习目标．

在数学的学习中，进行练习是不可或缺的，什么样的练习可以保证最优学习效果呢？这个问题很难有一个确定的答案，认知科学方面的文献为我们提供了一些基础的原则和建议[3]．按照认知科学的理论，显然信息技术在优化数学技能练习方面有着不可比拟的优势．比如，就练习的间隔而言，分散练习效果要比集中练习效果好[3]，而信息技术可以比教师或学生自己更容易实现间隔机制，让学生定期练习或复习较早时候掌握的数学技能．对于学生练习中出现的错误，给予及时的反馈要比延迟反馈更有利于学生的学习[3]，利用在线系统，在学生做完作业或者测试后，不用等待教师批改，就可以及时给予反馈，甚至是提供详细的解析步骤，而且可以生成相关的错误报告供教师参考．再比如，变式的练习题目比相似的题目更有利于学生掌握知识[3]，信息技术可以根据每个学生的练习情况，提供针对性的变式题目或进阶题目等个性化的学习资源，为他们提供更好的学习机会．

使用技术还可以促进对数学概念的理解，这里的概念是广义的，指的是数学对象以及思想方法等之间的关系或联系．信息技术在这方面的作用，一般和心智模型理论有关．我们知道，在数学学习中经常要运用一些形式化的法则(比如代数中的运算法则或者几何中的变换法则)．按照心智模型理论，人们理解并运用这些运算或变换的过程是在脑海中通过想象进行的，显然这是非常困难的．我们经常说数学要靠理解，不是死记硬背．那么信息技术就可以通过构造一个直观的、可操作的、遵循这些规则的计算机模型，并且允许学生进行人机交互，使得原本只能在头脑中想象的过程有了具体的载体，变得可视化和直观化，学生理解及运用这些规则就会容易很多．比如，如何发现一个数学性质，即如何在一个数学变化过程中发现不变的东西？以三角形的垂心为例，在信息技术软件中，学生任意画出三个点，以它们为顶点的三角形以及三角形中的各种度量关系及位置关系组成的一个几何系统就唯一确定了，作出这个三角形的三条高，容易发现它们交于一点．这是巧合还是必然？如果没有信息技术，要去判断并验证这件事就只能借助纸笔和直尺多画几个三角形，这种通过离散的、静态的几个特例得到的结果总是不大能让人信服，借助信息技术就可以随意地、连续地拖动三个顶点，那么整个系统(三角形及相关的度量关系和位置关系)就会动态地随之变化，在这个变换过程中发现：三条高始终交于一点．比如，△ABC的两个顶点B,C保持不动，连续地拖动A(图4)．这就是说，借助信息技术我们很容易发现变化中的不变性，也就是数学性质．

图4

3 阅读建议

基于本书的内容和特点，我们提出一些阅读建议．

3.1 用联系的眼光阅读本书

虽然每章都有一个核心主题，但是不同章节中有些内容是有联系和交叉的，又或者有的主题可能出现在不止一个章节中，只是每个地方的侧重点有所不同，希望读者能在阅读中发现其内在的联系．比如要解决第21章中的语言多元化、第24章中提到的教师的数学焦虑、第28章中的提高教师关注和引领讨论、第31章教师学会有效地使用技术等问题，都需要提供足够的专业发展机会使教师获得相应的知识、技能或专长，而专业发展正是第29章的主题．

3.2 用借鉴的眼光阅读本书

作为如此前沿且全面的一手的文献综述资料，这套书无论是对做研究还是对一线教学，参考起来都是非常方便实用的.建议读者在阅读时，可以结合自身实际，经常性地思考一下本书中的研究成果对自己的借鉴意义．比如作为一线教师，可以思考我们前面提到的性别差异现象在自己的学生中是否普遍存在，书中提到的干预措施是否可以借鉴．再比如，教师在教学中使用信息技术时，以前可能更多的是基于自身的经验或迎合公开课展示，结合本书中第31章，教师可以根据使用技术的目的背后的学习理论，结合教授的内容，更为科学地选择使用技术的方式．

3.3 用批判的眼光阅读本书

教育和教育研究作为关于价值的实践与理论，本身也内在地含着对批判思维的需要．正如这本书的很多章节，在最后都对相关的研究进行批判性分析一样，我们希望读者带着自己的思考去消化和吸收这本书，而不是被动地阅读．比如，可以思考书中的一些研究结果是不是放之四海而皆准的，特别是在中国的情境当中是否成立；一些理论是否能经得起实践的检验，每章中的组织框架适不适合自己的研究，涉及的研究方法有没有弊端.我们建议读者在阅读本书时，能够对相关主题的国内外研究加以比较，找出国内研究的特点和优势，以及存在的局限性和不足．