加强教学内容启发性、关联性和有序性的思考——基于章建跃先生对《等式性质与不等式性质》一节的教材分析

高 炼 (天津师范大学教育学部 300387)

章建跃先生是人民教育出版社中学数学室主任，主要负责组织编写中学数学教材．他曾在中学从教十余年，在担任教研员、编审期间也经常深入中学课堂，与一线教师交流教学，积累了丰富的中学数学教学经验，在各类期刊杂志上发表了二百余篇关于中学数学教学的高水平文章．[1]在2019年“国培”计划——培训团队高级研修项目天津师范大学数学班上，章建跃先生通过讲解深化教改要求的数学课堂教学，深度解读了高中数学教材中《等式性质与不等式性质》一节的内容，使人由此体会到数学教材内容隐含的育人价值，并认识到加强教学内容启发性、关联性和有序性对教师教学和学生学习的重要意义．

2019年人教A版高一年级上册将不等式的性质分三个步骤引出．首先，提出两个实数大小关系的基本事实是研究不等式性质的前提条件；其次，使用“思考”栏目引导学生归纳整理等式的基本性质；最后，使用“探究”栏目引导学生根据等式的基本性质，类比猜想不等式的性质并进行证明．通过章先生对教材的分析，教材编写组对这部分内容作了精心的设计，使之具有严谨的内在逻辑性，体现知识的启发性、关联性和有序性．但在实际教学过程中，大部分教师并没有真正体会到教材编写者的意图，这导致教学不深刻、不灵动、不有序．数学是一门严谨的学科，它对培养学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等能力具有不可替代性的作用．然而这一切都需要教师首先深刻领悟教材内容，然后进行有效教学，逐步促进学生数学思维和数学能力的发展．

目前，针对数学教学内容的研究较多．如曹广福针对如何结合地方高校生源的特点以及地方经济建设对不同层次人才的要求，探索了分析类数学课程的教学内容及体系的改革与实践[2]；徐章韬从算法化的视角对中学数学教学内容作深入的知识分析[3]；汪丽香基于知识连续性、知识学习规律、知识概念内化、知识核心素养的内容重组四方面谈教学内容的调整[4]．但是，已有文献大多是从整体上谈教学内容的改革，或基于某视角谈教学内容的调整，鲜有从内容本身出发，研究教学内容的启发性、关联性和有序性．加强教学内容的启发性、关联性和有序性，有利于教师的教学和学生的学习，关系见图1．结合章建跃先生对《等式性质与不等式性质》一节教材内容的分析，对加强内容“三性”的意义进行初步探索．

图1

1 加强内容的启发性，引导师生对内容本质的理解

张奠宙先生认为，“教什么永远比怎样教更重要．”“教什么”的明晰度决定了“怎样教”的效度．[5]毋庸置疑，数学教材作为数学教学最基础的资源，同时也是最重要的资源.教师研究“教什么”的问题就应该仔细研读教材，在研读教材过程中抓住内容本质．而启发性的教学内容是师生理解数学、抓住知识本质的关键．加强内容的启发性，即利用科学、简洁、清晰的语言呈现出能揭示数学本质特征以及具有逻辑联系的教学内容，促使学生主动思考、积极探索，从而深刻理解知识内涵．此次数学新教材的编写在“思想性”“启发性”“联系性”等指导下，综合考虑了教师的教和学生的学两个方面，加强了知识呈现的启发性，既便于教师把握数学知识的本质，也便于学生阅读、理解，但最终都指向促进学生数学思维及数学能力的发展，从而达到培养学生数学核心素养的目的．那么在启发性的教学内容下，教师如何能抓住内容本质，促进自身的教学呢？

首先，教师应具有扎实的数学知识．拥有扎实深厚的数学知识是一名数学教师进行有效教学的基础，也是一名数学教师应该具备的基本素养．数学知识在教学实践中起着“载体”的作用，没有这个“载体”，启发性的教学内容对教师而言没有任何意义，数学教师的有效教学也无从谈起．

其次，教师应仔细阅读教材，对教材中的每一句话都应认真思考、琢磨，细品教材编写者设计此内容的意图．不能只注重具体知识点的教学，而忽略了具有关键作用的启发性教学内容．尤其是2019年在全国范围内逐步展开使用的数学新教材，相比于旧教材在结构和内容上都有较大的调整，教师更应该领会其精神，熟悉教材内容．

最后，教师应有意识地训练自己的析题、解题能力，在解题和析题活动中强化对知识的理解和掌握．相比于机械刻板地做题，这是一种以知识理解、思维训练、素养提升为基础和目的的解题活动．波利亚曾在《怎样解题》中指出：“一个重大的发现可以解决一个重大的难题，而在解答任何一道题目的过程中，也会有点滴的发现．”[6]教师的数学素养也正是在这“点滴的发现”之中逐渐培养和提升的．

《等式性质与不等式性质》内容的教学重点是要求学生掌握不等式性质及其应用，教材中由如何解不等式引出不等式性质的教学．如前所述，不等式性质的最终导出分三个步骤，首先就是明确两个实数大小关系的基本事实，它为研究不等式的性质奠定了基础.但是在一般情况下，仅仅提出实数大小关系的基本事实还不足以让学生理解知识的本质，大多数学生甚至教师并不明白将实数大小的比较转化为“数与式的大小关系”比较的真正目的．于是教材呈现出：比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．这句话是对基本事实的进一步解释说明，是在逐步启发引导师生理解代数的本质即运算．而在日常的教学中，多数教师并不重视这一内容的教学．对这一事实背后的原理讲不清、道不明，并且认为上述基本事实是理所当然的，对其认识停留在运用基本事实比较两个实数大小的层面[7]．这显然与我们的教学理念背道而驰．教师在教学过程中，应利用好教材，深刻解读教材中的每一句话，在讲解具体知识点的基础之上注重对知识背后原理的教学．在这里体现为应有让学生理解实数大小关系的基本事实是使实数的运算参与其中的意识，从而实现代数教学从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越．

2 加强内容的关联性，促进师生对思想方法的掌握

章建跃先生指出：数学思想方法体现在知识的相互联系中，即“联系出思想”[8]．加强教学内容的关联性，也即通过类比、比较等逻辑思维活动沟通各部分内容[9]，建立起新知识与旧知识之间的联系，便于教师深入理解教学，便于学生观察比较学习，也有利于学生在学习过程中形成正向迁移．在教学过程中，教师如果能注意到知识之间的联系并有意引导学生去发现这些知识的联系，可以有效促进学生的学习动机和兴趣，使得其学习更有效．此次新教材的编写注重真实背景问题的引入，让学生在问题解决过程中感受数学与实际生活的联系，体会数学的应用价值，体悟数学的模型思想．在学习方法的指导上，教材内容特别注意以数学概念、结论的形成过程为载体，引导学生开展“观察、实验、比较、归纳、猜想、推理、反思”等理性思维活动，促进学生对数学思想方法的掌握，逐步引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．[9]

《等式性质与不等式性质》一节教材中导出不等式性质的第二步是通过“思考”栏目呈现等式的基本性质，由于等式与不等式有许多共同之处，学生在学习不等式性质之前也学习过简单的等式基本性质，所以等式的基本性质是研究不等式性质时的类比对象．通过呈现学生熟悉的知识引出即将学习的新知识，加强知识之间的关联性，使学生联想到运用类比的方法探究新知识．

对于教材中的“思考”栏目：“类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？”在教学过程中，教师首先应引导学生归纳等式性质的共性(相等关系的对称性和传递性以及等式在运算中保持的不变性)，获得其中的数学思想；其次让学生通过类比，自主探究，从具体到抽象地归纳出不等式的性质，从而发展学生数学抽象、逻辑推理等素养．

3 加强内容的有序性，增强师生对数学整体的认识

章建跃先生认为：数学教材安排的学习内容必须是系统的、连贯的，后续学习需要的知识在前面必须出现过，不能有知识链条的断裂．[10]这在一定程度上也说明教学内容必须是有序的，有序的教学内容是培养师生清晰的数学思维的基础．加强内容的有序性，即教学内容的呈现必须反映学生的认知规律，体现“学生是如何学数学的”，同时必须体现数学的学科特征，反映数学的内在逻辑，做到内容的逻辑连贯性和思想方法的前后一致性．[11]由此利于教师系统有序地教学，利于学生螺旋上升地学习．2004年《普通高中数学课程标准(实验稿)》提出教材内容编排的模块化结构，但此结构容易造成教材中知识不连贯、无序，其实任何模块顺序都存在知识不连贯的问题，所以《普通高中数学课程标准(2017年版)》改变了课程结构，由“主题—主线—核心内容”的教学模式代替“模块化”教学，由此建立起高中数学内容的四条主线(函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动)之间的联系．因此教材的编写也具有良好的逻辑结构，使重要的数学思想得到螺旋上升的体现，可加强师生对学习内容的整体性认识．

经过前面一系列知识的铺垫，教材最终呈现出7条不等式的性质，它们并不是无序的，而是有其内在的逻辑．教师在教学过程中，不仅要明白具体的性质内容，更为重要的是要明白这7条性质呈现出来的结构．

教材内容：不等式7个性质的呈现

性质1 如果a>b，那么bb；

性质2 如果a>b，b>c，那么a>c；

性质3 如果a>b，那么a+c>b+c；

性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac

性质5 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d；

性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；

性质7 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．

以上不等式的7条基本性质的呈现不仅与等式的基本性质相对应，而且具有内在的层次性和有序性．其中性质1和性质2反映的是实数自身的性质；性质3和性质4是基本性质；性质5、6、7是由前面不等式性质2、3、4推导出来的性质．因此可以看出不等式性质的呈现严谨有序、层层递进，它们构成一个有序的整体．教师若能领悟到这样的思想内涵，对不等式7个基本性质的整体架构有清晰的认识，那么就能有效指导自身的教学:对基本的性质1～4进行清晰的讲解，而性质5～7则留给学生自主探究、独立思考的空间，从而使学生的数学运算、数学抽象、逻辑推理等素养在不等式性质的推理过程中得到发展．

4 结语

加强教学内容的启发性、关联性和有序性对教师的教和学生的学都具有积极的影响．加强教学内容的启发性，能有效引导师生对内容本质的理解；加强教学内容的关联性，可以促进师生对数学思想方法的掌握；加强教学内容的有序性，可以增强师生对数学整体的认识．教师作为学生学业路上的“引路人”，在实际的教学过程中，应深刻理解教材，在此基础上设计具有启发性、关联性、有序性的教学内容，让自己的教学更深刻、更灵动、更有序，致力于激发学生的学习兴趣，启发学生思考，从而更好地培养学生的“四基四能”，发展其数学核心素养．