经历数学表达 体会模型思想——以苏科版“从问题到方程”教学为例

孙 凯 (江苏省苏州市阳山实验初级中学校 215151)

张必华 (江苏省苏州市高新区教育发展中心 215003)

1 问题的提出

数学教育的育人功能在教学中体现为提升学生的数学核心素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界[1].所谓数学语言，本质就是数学模型，用数学语言表达世界就是构建数学模型表示现实事物的本质、关系和规律.能否将现实问题用数学语言正确地表达，是学生建构数学模型并体会模型思想的关键.模型思想作为初中数学十个核心概念之一，是一种基本的数学思想，是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.方程是渗透模型思想的良好载体，但在方程起始教学中往往出现对教学内容及其所反映的基本思想理解不够，教学站位不高、思想性不强的现象，使学生体会模型思想乏力，教学效益大打折扣.近期，笔者在全市范围内开设了一节“从问题到方程”的研讨课，下面结合个人对教学内容的理解，谈谈引导学生在用数学语言表达现实问题的过程中建构方程模型、体会模型思想的教学策略.

2 教学简析

2.1 教材理解

苏科版初中数学教材主编杨裕前老师在教材解读时指出：“通过比较可以看出，用方程描述这种相等关系最简明”.这句话指明本节课教学的核心目标是引导学生初步认识“方程”这个数学模型，感悟用“方程”这种数学模型来表达现实世界中已知量与未知量间的相等关系最为简明，在数学表达中体会模型思想.因此，这节课的教学目标是让学生经历用方程来描述现实问题中的相等关系，体会方程模型的优越性.

2.2 对“测井深”的质疑

有研究者认为，教材上提供的古代问题(测井深)在表述上有歧义，建议删除或更换一个问题.也有研究者认为，测井深问题中数量之间的相等关系不是很清晰，与上面问题情境中数量之间相等关系的关联不够，不利于整体教学目标的达成.关于表述方面的问题可以这样解决，比如在问题中添加图形描述“三折”的意义，或者提醒学生“三折”的意思.测井深问题中的相等关系属于“相同量”特征，而天平问题、篮赛积分问题都是描述的“相等量”，在内容设置上是有区别的，在这里我们要理解教材编写者的意图，不要盲目地删减或更换.通过测井深问题，学生会明白可以用不同的数量关系描述同一个量，在联系用字母表示数的基础上用方程表达相等关系最简明，既感悟列方程与用字母表示数的关系，又体悟方程的本质.

2.3 教学理解

教学围绕为什么学、学什么、怎么学等基本问题展开.有教师建议在创设情境环节中，应设计相对复杂的问题情境，让学生亲身经历问题的分析过程，感受学习方程的必要性，教学中以算术方法与方程方法的比较为教学主线，既感受为什么学，又指明学什么、怎么学.但笔者认为本节课的教学重点是数学表达和模型建构，课堂教学应聚焦于用数学语言建构方程模型的过程，教学中应适度减少算术法与方程法的比较过程，让学生感受到学习方程的必要性即可.因此，教学主线定位在如何审题、分析数量关系、用数学语言表达、建立方程模型、形成概念、体会模型思想上.

3 教学过程

3.1 问题激趣，直观感悟

师：同学们，我们在烧菜时会用到食用盐(400 g盐袋展示)，你们知道一袋食用盐的质量吗？

教学说明估算盐袋质量，激发学习兴趣.让学生经历先猜想，再用天平测量未知盐袋质量的活动，直观感知相等关系.引发思考：如何描述含有“未知的量”和“已知的量”等数量之间的相等关系？引入新课，板书课题.

3.2 探索归纳，建构模型

问题1如图1，怎样表达天平平衡所表示的数量之间的相等关系？你从图上可以获取哪些信息？

图1

学生分别展示图形表达、文字表达和符号表达(方程2x+1=5)等.

师：我们通过比较图形表达、文字表达和符号表达可以发现，符号表达最简明.你们认识数学式子2x+1=5吗？

师生共同回顾方程的定义，指出对数量之间的相等关系进行表达时，方程是最简明的.

教学说明呈现天平平衡状态下的图片，图形中蕴含的信息可以通过文字或符号来表达，让学生感受图形信息、文字信息和符号信息之间的内在联系，体会符号表达(方程描述)最简明.

问题2篮球联赛规则规定：胜一场得2分，负一场得1分.某篮球队赛了12场，共得20分.怎样描述其中数量之间的相等关系？

师：读题后，你有没有不明白的地方？

生1：负一场得1分是什么意思？打平了怎么办？

师：负一场得1分的意思是输一场也可以得到1分，在篮球比赛中没有平局，若在常规时间内恰好打平，需在加时赛中分出胜负.审清题意之后，你是如何表达相等关系的？

生2：胜场得分+负场得分=20分.

生3：设该队胜x场，那么该队负(12-x)场，可以用方程2x+1×(12-x)=20来表达.

追问：设胜了x场，你是怎样知道负(12-x)场的？

生4：胜的场数+负的场数=12场.

师：说明问题2中含有两个相等关系，可用下表来分析表达，请你尝试并展示表达方法.

问题2胜场数负场数总数场数12得分20

生5：12×2=24(分)，24-20=4(分)，4÷(2-1)=4(场)，说明负4场、胜8场.

生7：设该队胜场得分为y分，则负场得分为(20-y)分，可用方程来表达.

师：比较一下算术表达与方程表达等量关系时哪个更优越？在不同的方程表达中，哪种方法更简单？这与设未知数有关系吗？

教学说明通过学生的展示，得到算术表达、文字表达、方程表达等结果，在方程表达中既有一元一次方程表达，也有方程组表达.学生经历方程模型的建构过程，体会方程的优越、简明.在探索活动中，不能满足于感悟方程的简明，还应关注问题中的未知量、已知量和相等关系，引导学生通过表格体悟设不同的未知数、选用不同的相等关系会得到不同的方程模型，通过反思性学习，自主感悟方程建模的对比与优化.让学生通过比较发现，用算术方法思考比较困难，但结果比较直接；用二元一次方程组的方法思考比较简洁，但计算比较困难.以此启发学生思考，优化方程模型建构的方案.

问题3我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？

这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺(如 图2)；把绳四折来量，井外余绳一尺.问绳长、井深各几尺？

图2

师：审题后，有没有不明白的地方？

生8：“三折来量”的“三折”是什么意思？

师：(用绳子演示三折)弄清三折的意思后，完成问题探索并展示.

生10：若设井深为y尺，那么3(y+4)尺与4(y+1)尺表示的都是绳长，于是可用方程3(y+4)=4(y+1)来表达.

教学说明呈现我国古代问题，让学生感悟数学的发展史，体会用方程解决问题的必要性、优越性.在问题分析的过程中，学会用数学语言准确表达数量关系，建构方程模型，浸润方程思想.

3.3 尝试表达，体验建构

问题4我们知道，按图3的方式搭n条“小鱼”需要[8+6(n-1)]根火柴棒.搭n条“小鱼”用了140根火柴棒，怎样用方程来表达其中数量之间的相等关系？

图3

问题5今年小红5岁，爸爸32岁.

(1)用代数式分别表示x年后小红与爸爸的年龄；

教学说明搭“小鱼”问题和年龄问题相对简单，在教学中应注重挖掘其潜在的教学价值.一是加强前后知识间的联系，体会用字母表示数与列方程的内在关系；二是体会单值对应的思想，即n或x确定时，火柴棒数量与年龄也对应确定，反之亦然；三是体会方程表达问题中的相等关系更简明、优越.

3.4 观察概括，形成概念

师：观察我们得到的这些方程，你能把它们分分类吗？说说你是怎样分的.

师：观察这一类方程有什么共同特征.

生12：这些方程只有一个未知数，并且未知数的次数都是1.

师：我们把只含有一个未知数(元)并且未知数的次数都是1(次)的方程叫做一元一次方程.对于这个概念，你有什么感兴趣的地方吗？

生13：老师，什么是“元”？

师：你真棒，有宝贵的问题意识.为什么把未知数称为元？在我国宋元时期，创立了天元术，在解决实际问题时“立天元一为某某”，相当于“设某某为x”，后来我们把“元”看作未知数的统称.请你尝试给方程x+y=12，2x+y=20下个定义.

生(齐)：二元一次方程.

教学说明引导学生观察方程，归纳概括共同的特征，形成一元一次方程的概念.并通过类比的方法适时引导学生给出二元一次方程的概念.教学中通过追问培养学生的问题意识，提出“什么是元”的问题，以此为契机，渗透数学史、数学文化，培养学生追根溯源、热爱探究的学习习惯.

3.5 应用拓展、练习巩固(略)

4 教学思考

4.1 关注审题细节，突破教学难点

弄清题意是分析和解决问题的重要基础.教学中应关注学生审题习惯的培养，帮助他们学会审题、弄清题意.本节课设计了多个问题情境，特别涉及到古代问题，对学生理解问题、弄清题意提出了挑战.教师在指导学生审题时既要关注问题的整体条件，又要关注问题的具体细节.在整体理解语言表述的基础上，指出关键词或关键语句，弄清一些基本问题：未知的量、已知的量、相等关系等，同时还应弄清一些细节，比如教学中“负一场得1分”“平局怎么积分”“三折来量”等.关注审题细节，深刻理解实际问题中文字或图形表述的信息是正确进行数学语言表达、建构方程模型的保障，也是今后用方程解决实际问题的重要基础.

4.2 注重方法比较，感悟方程优越

“从问题到方程”的教学核心是引导学生认识方程模型，感悟用方程模型表达现实世界中已知量与未知量间的相等关系是最简明的.如何凸显方程模型是最简明的？用比较的方法是最好的方案.从问题1开始，引导学生感受相等关系的表达方法有图形表达、文字表达、算术表达、方程表达，在后续问题2、问题3的探索活动中，根据学生展示的情况，适时引导学生思辨不同表达方法的特点，通过比较感悟方程模型的简明、优越.

4.3 把握课堂生成，精准教学实施

教学设计是对教学过程的“预设”，在执行教学设计方案时，师生的互动往往会“生成”一些非预设性的资源，教师需要及时把握生成的动向，因势利导，适时调整预设的教学方案.比如《义务教育数学课程标准(2011年版)》在课程内容及实施建议的实例51中，建议在一元一次方程教学时，用四则运算的方法表达问题中的数量关系，意在引导学生比较并发现用算术方法思考问题是相对困难的，而用一元一次方程表达是最简明的.在教学中笔者却发现，选用方程法的学生最多，而选用算术法的很少.因此，教学中应迅速发现和捕捉学生的思维动向，及时调整“预设”的流程和方案，甚至改变原有的设计，以便更加顺畅地实施教学过程，完成教学任务，实现教学目标[2].

4.4 经历数学表达，聚焦模型建构

模型思想与数学核心素养中的数学建模有密切的关系，在初中阶段的数学教学中渗透模型思想是培养学生数学建模能力的有效途径.就方程的起始教学来说，要关注学生用数学思维分析、用数学语言表达现实问题中的数量关系能力的培养，更要注重模型思想的渗透.需要指出的是数学模型本质上是一种数学结构，从数学建模的范畴来看，本节课侧重的是数学模型的建构过程，即用数学的语言表达数学问题中的数量关系(用数学符号建立方程)，凸显了数学模型的获得过程，这是数学建模最重要的环节，但它并不是完整意义上的数学建模(如图4).

图4

比如在“测井深”的问题中，先由学生自主分析问题，弄清题意，经历把现实问题抽象成数学问题，用数学语言表达相关数量关系，用数学符号建立方程，获得数学模型.这一模型建构过程使学生系统掌握基础知识，感悟数学与现实世界之间的关联，加深对数学内容的理解，进一步体会模型思想.又如在一元一次方程概念形成过程中，了解、体会概念(即数学模型)的概括性、一般性，通过要素分析[3]，可引导学生把握一元一次方程模型的要点和结构，体会模型思想.