把握主题 整体推进 渗透美育 发展素养——以“直线与圆的位置关系”教学为例

蔡海涛 (福建省莆田第二中学 351131)

林晴岚 张 洁 (福建教育学院数学研修部 350001)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：高中数学教学中，应突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法[1].这就要求在教学中立足核心概念，以核心概念为主线，重视单元主题，关注知识结构的完整性，系统完整地从表层到本质进行设计，从而引导学生深度学习.笔者以一节公开课“直线与圆的位置关系”(第1课时)为例，在单元主题下进行整体设计,更加关注在传授学科知识的过程中培养学生的数学思想方法、数学思维方式,关注在教学中渗透美育，关注发展学生的核心素养.现将这节课的教学过程、设计意图及课后反思整理成文,期待抛砖引玉.

1 教学过程实录

1.1 知识回顾，温故知新

师:同学们好！我们先来回顾一下，点与圆的位置关系有哪几种？

生1:点在圆外、点在圆上、点在圆内.

师:这三种位置关系是如何判断的?设点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2，请完成下表.

位置关系几何特征(点P与圆心的距离d,半径r)代数特征

生2:点在圆外的几何特征是d>r,代数特征是(x0-a)2+(y0-b)2>r2；点在圆上的几何特征是d=r,代数特征是(x0-a)2+(y0-b)2=r2；点在圆内的几何特征是d

设计意图直线是由点形成的,基于单元主题设计,回顾点与圆的位置关系可以让学生在探究直线与圆位置关系时类比点与圆位置关系的判断方法,即可从形和数两个角度来进行研究,把握好直线与圆的位置关系这一单元主题目标的切入点.

1.2 设计问题，创设情境

师:两位同学回答得很好！今天我们将学习直线与圆的位置关系，首先来回顾一下初中学过的知识.直线与圆有哪几种位置关系?

生3:相离、相切、相交.

师:这三种位置关系如何判断?有哪些方法?

生4:从公共点个数来判断——没有公共点时相离，有一个公共点时相切，有两个公共点时相交.从几何特征来判断——设圆心到直线的距离为d，半径为r,则当d>r时相离，当d=r时相切，当d

师:请观察几何画板,当直线l绕着点A运动到如图1的位置时,直线l与圆O的位置关系是什么?

图1

生5:相切.

生6:从我这个角度看,直线与圆是有两个公共点的,所以位置关系是相交.

师(笑说):两位同学坐在不同的位置,看到的交点个数不同,看来我们通过肉眼无法准确地判断直线与圆公共点的个数,那就有必要对直线与圆进行定量分析.我们知道,解析几何的基本思想就是用代数方法来解决几何问题,那么该如何用代数方法表示直线与圆的位置呢?

生7:建立直角坐标系,求出直线与圆的方程.

师:是的,在同一坐标系中求出直线与圆的方程.(边讲解边在几何画板中展示,如图2)接下来我们该如何求出公共点个数?

图2

生8:联立直线与圆的方程,方程组的解的个数即公共点的个数.

师:真棒!通过解方程组,得到有两个解,则交点就有两个,坐标如几何画板所示(图3).由此可见,刚才我们肉眼分不清的这条直线与圆的位置关系是相交,可以通过代数方法求出交点来判断位置关系.

图3

接着,教师再次利用几何画板拖动直线l绕着点A运动,显示直线与圆的方程,显示交点及坐标,从而得到直线与圆的位置关系,由此引出本节课的课题.

设计意图展示无法由图形直观观察直线与圆公共点个数时的情况,给学生带来认知冲突,从而自然引出研究直线与圆的位置关系不仅仅需要考虑定性关系,还需进行定量的研究.借此进一步推进解析几何的核心价值就是用代数方法来解决几何问题这一主线目标教学.

1.3 抽象方法，探索新知

师:根据刚才几何画板的展示,同学们能否归纳直线与圆位置关系的新的判断方法?

生9:求出直线与圆的方程,再联立两个方程得到方程组．若方程组有两个解,则直线与圆相交；若方程组只有一个解,则直线与圆相切；若方程组无解,则直线与圆相离.

师:很好!若方程组有两个解,求出的解有怎样的几何意义?

生9:这两个解对应的两组有序数对就是直线和圆的交点坐标.

师:两位同学回答得都很好,这就是用解析几何方法来研究几何量(直线与圆)之间的关系,建系求出方程,定量进行分析.

设计意图通过以上两个问题,让学生从几何画板展示的几种特殊情况中提炼归纳出研究直线与圆位置关系的解析法,渗透从特殊到一般的思想,发展学生的数学抽象素养.

1.4 学以致用，牛刀小试

师:下面通过一道例题来巩固刚才讲的知识点.

例如图4，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.

图4

师生共同完成该例题后,进行方法归纳,强调判断直线与圆位置关系的代数方法及求交点坐标的解题步骤.接下来,对本例进行变式.

1.5 变式训练，巩固提升

教师:投影出变式训练题:

变式1 已知直线l:mx+y-6=0(m∈R)和⊙C：x2+(y-1)2=5，则直线l与⊙C的位置关系为.

变式2 已知直线l:mx+y-2=0(m∈R)和⊙C：x2+(y-1)2=5，则直线l与⊙C的位置关系为.

变式3 已知直线l:(1+m)x+(1-m)y-2=0(m∈R)和⊙C：x2+(y-1)2=5，则直线l与⊙C的位置关系为.

请三位学生上台板演,其余同学独立完成,教师评讲.

设计意图通过例题分析、方法归纳、步骤梳理等教学环节突出本节课的重点.通过变式训练,进一步巩固直线与圆位置关系的解析法的解题步骤,突破本节课的难点,在题组训练中发展学生的数学运算素养.

1.6 尝试改编，拓展思维

师:通过以上的变式，各位同学对于例题的变式与改编有了一定的了解．下面我就把这个提出问题的“主动权”让给各位，由你们来尝试改编一道题目，让其他同学来完成，好吗？不过，有几个小小的原则——先尝试改变题目的一到两个条件，你们以小组为单位改编一道题目出来,必须是自己能够作答的题目．

学生听到这个特殊任务后,兴致盎然,跃跃欲试.过了十来分钟,全班六个小组陆续递交了他们的成果,有的小组还提供了两道题.大致可归结为以下几种:

(1)判断直线与圆的位置关系．

已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)和⊙C：(x-1)2+y2=5，判断直线l与⊙C的位置关系.

(2)已知直线与圆的位置关系，求参数的取值范围．

已知直线l:3x+y-6=0和⊙C：x2+(y-1)2=r2(r>0)，当直线l与⊙C相交时，r的取值范围为.

已知直线l:3x+y+m=0(m∈R)和⊙C：x2+(y-1)2=5，当直线l与⊙C相离时，m的取值范围为.

(3)已知直线与圆的位置关系，求直线或圆的方程．

已知直线l:3x+y-6=0被⊙C：x2+(y-b)2=5截得的弦长为2，⊙C的方程为.

学生讨论,交流作答.

设计意图教学目标需要问题来触动，只有围绕问题并基于问题解决的设计才是生动、有主题的教学设计.[2]这个教学环节的设计注重激发学生发现问题、提出问题，重视学生的思维活动，构建以生为本的课堂.[3]

1.7 小结反思，感悟提升

师:你在本节课上学到了哪些数学知识和方法?

生10:能判断直线与圆的位置关系，能根据位置关系解决一些简单问题，能类比、用代数方法解决几何问题.

师:你在本节课上能感受到哪些数学思想?

生11:函数与方程、化归转化、数形结合.

师:(课后思考题)通过这节课的学习，类比直线与圆位置关系研究方法，探究圆与圆的位置关系.

设计意图从点与圆位置关系的引入,到线与圆位置关系的研究,再到圆与圆位置关系的探究,这三个关系的串接形成了一个完整的知识架构,在本质上体现了部分和整体之间的和谐统一,渗透着数学的统一美.

2 课后反思感悟

2.1 重视数学教学的整体设计

对于数学教学，要重视整体设计[4]．教学过程中，教师如果没有对所学知识点在整个单元、整个章节甚至整个知识体系中进行整体设计，学生容易形成“只见树木不见森林”的学习状况，从而导致学习迁移能力较低.基于整体推进、关注核心素养落地的教学设计，应该把一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体设计.

“直线与圆的位置关系”一课是在学习“点与圆的位置关系”的基础上学习的，为后续的“圆与圆的位置关系”乃至“直线与圆锥曲线的位置关系”奠定了基础，起到了承上启下的作用.因此，这节课的教学可整体设计为：回顾点与圆位置关系→探究线与圆位置关系→探究圆与圆位置关系(课外)→探究直线与圆锥曲线位置关系(课外).

2.2 创设整体导向的问题情境

直线与圆的位置关系的导入有以下几种不同的方式.

方式1:投影海上日出的图片,如图5-7所示，配上李白的诗句:“日出东方隈，似从地底来.”引导学生发现直线与圆的位置关系.

图5 图6 图7

方式2:以小组为单位，由各组的成员拿出直尺(抽象成直线)和移动的圆形纸片，组织组员共同观察直线和圆的位置关系.

章建跃博士说过:“情景引入应从数学知识的发生发展过程需要来考虑，以数学内容的本质和学生的认知过程为依据设置情境，应强调从数学知识发展的逻辑必然性中提出问题,这样的情境才是具有数学含金量的情境,批判那些非数学本质的伪情境.”基于此，笔者对以上两种方式及笔者在本节课中创设情境的方式(前文已有说明，现将该方式记为方式3)进行对比，如下表.

创设情境主要优点主要缺点方式1借助图片和优美诗句,可充分调动学生的学习热情学生已在初中对直线与圆的位置关系有了定性的学习和认识,而本节课的目标是从定量角度来研究,因此偏离了本节课的主题方式2让学生动手操作,合作交流,可调动学生的学习积极性,增强学生课堂参与度这个活动是探究直线与圆的位置关系,而这个关系是学生已经认知的关系,所以该探究是个假探究方式3借助信息技术的融合,把直线“动”起来,由直线与圆的公共点个数无法确定,自然把直线与圆位置关系的定性研究迁移到定量研究

2.3 实施逻辑连贯的教学过程

数学课堂应该要实施逻辑连贯的教学过程[5]．

(1)从定性研究到定量研究

直线与圆的位置关系在初中已从定性上进行了研究.从定性角度研究直线与圆的位置关系，包括图形的定性性质与图形间的关系与性质；从定量角度研究直线与圆的位置关系，由相交交点的位置展开，利用代数特征来处理，即用代数方法来解决几何问题.两种研究方式既有联系又有区别.一般说来,可以由定性角度进行直观判断,再从定量角度进行验证.

整体来看，本节课以“变”入手研究“不变”，让学生经历直线和圆方程的变化过程，经历解决直线与圆位置关系问题的从简单到复杂的过程.在这一过程中，学生的知识逐步变得具有结构性，同时也会获得丰富的活动体验[6].本节课由数到形，再从形到数，充分体现“解析几何”的思想方法，在一个问题中提炼一类方法，产生“一花一世界”的效果[7]．

(2)从点圆到线圆再到圆圆

几何图形的代数表示就是点和直线,所以从点与圆的位置关系研究中可获得研究直线与圆位置关系的代数方法．可以利用直线的方程及圆的方程构成的方程组的解的个数来判断位置关系,这也是研究圆与圆位置关系的基础，由此实现从点与圆到直线与圆再到圆与圆位置关系研究的连贯性.

再从“更高的角度”来看,平面几何所研究图形的三个要素(形状、大小和位置)均可用方程来进行代数表示,进而再从代数角度来研究直线、圆的性质及直线与圆的关系问题.这种研究方法也是今后研究直线与圆锥曲线位置关系的基础.在运用代数方法研究几何问题的过程中，可拓展学生分析、解决问题的视野.

2.4 渗透美育让数学课美起来

在2018年9月全国教育大会上，习近平总书记指出，要努力构建德智体美劳全面培养的教育体系，形成更高水平的人才培养体系.时代呼唤教师要与时俱进,在日常教学中落实“五育”.

从研究点与圆的位置关系迁移到直线与圆的位置关系，呈现方法的统一美；在直线的运动变化过程中，得到动直线与定圆的关系从相离到相切再到相交，又到相切再到相离，呈现图形的对称美；直线与圆的位置关系可以从数和形两个角度来进行分析，呈现数学的和谐美.在教学中渗透美育，引导学生增强审美能力，引导学生去感悟、体验生活中的美，有助于激发学生学习数学的兴趣,同时让学生亲身体验到美、感受到美[8]，让美在数学课上荡漾.

2.5 主题设计中落实核心素养的培养

主题教学是以内容为载体、以内涵为主体的教学活动，其教学设计是基于大数据观、系统论，实现学生知识结构体系完整性的设计.[9]“解析法”是贯穿解析几何的知识主线，在直线与圆锥曲线的研究中有着非常重要的作用.“直线与圆的位置关系”是“解析法”主线的一个重要节点.本节课的重点是能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；难点是进一步体会用代数方法解决几何问题的思想.突出重点的关键在于根据主题和主线合理创设情境，关注学情变化．通过研究方程组解的个数和比较相关几何量的大小关系这两种不同方法，解决直线和圆的位置关系的判断问题，让学生领会数形结合思想，发展直观想象和数学运算素养；通过例题及变式，引导学生进一步探究解决几何问题的代数方法，提高应用意识，发展数学建模素养；通过例题的变式及改编，发展直观想象和数学运算素养.

不同数学核心素养既有联系又有区别,是一个有机的整体[9].围绕“解析法”主题展开教学，在关注学生知识技能掌握的同时也要关注他们相应数学核心素养水平的达成.核心是以内涵为主线，整体架构、单元设计、螺旋上升，挖掘数学学科的育人价值，整体建构学生的必备品格和关键能力，不断提升其数学学科核心素养.