基于教材例题挖掘的深度教学案例与分析——以“斜率之积为定值的问题探究”示范课为例

潘敬贞 (广东省佛山市顺德区容山中学 528303)

骆妃景 (广东省东莞市麻涌中学 523477)

陈焕涛 (广东省汕头市澄海中学 515800)

1 引言

随着《普通高中数学课程标准(2017年版)》的颁布，我们不得不思考：如何在课堂上实现教师的教育价值，实现“人”的教育？若从学科本身、数学内容、教师角色三个角度来考虑，深度教学就是体现数学学科本质，直击数学知识核心，反映教师教学有效程度的一种教育模式，其目的是促进学生的深度学习.从教师的角度来讲，深度教学是让学生进行深度思维的教学.而深度教学的对象是学生，于学生而言，深度教学则是以学生高阶思维发展以及关键能力的获得为方向的一种集认知、技能、情感为一体的数学学习过程.关于深度教学，我们的理解就是把一些重要内容“教活、教透、教深”.

打造“深度”数学课堂要“依纲靠本”，有机整合教材例题，创造性地二次开发教材例题，采用推广、变式、类比探究、改编等方式方法激活教材例题，构建深度教学.这样，一方面可以让教材例题更好地发挥其教学作用；另一方面可以帮助学生建构知识体系，巩固知识结构，提升学生解决问题的能力.笔者将基于D中学C老师的一堂示范课，探讨如何对教材例题进行挖掘，开展深度教学.

2 案例描述

课前，C老师将人教A版《数学(选修2-1)》第41页例3布置给学生，要求学生重做例题，温故知新，让学生以小组合作的方式挖掘例题条件和所求中数据的关系，并尽可能地把例题中的具体数值换成参数，探索椭圆是否真的有类似例题的一般性质与结论.

接下来，笔者将用“选择性课堂实录”法对课堂上学生的精彩表现进行描述.

片断1 教学过程中注重数据分析的引导

教师让学生小组合作进行例题数据挖掘及分析，期望学生能从数据分析中抽象概括出规律，进而推广到椭圆的一般性质与结论，由此提升学生的数据分析、数学抽象、逻辑推理等数学核心素养.

师：哪个小组来展示一下解答过程及数据分析？

片断2 教学过程注重对教材例题的变式探究与深度挖掘

教师引导学生从特殊到一般化的探究，最后得出一般性的性质与结论.在进行探究性深度学习时，完全靠学生自己独立探究显然不太现实，需要教师做好引路人.

师：哪个小组能把例题中的具体数值换成参数，探索一下椭圆是否真的有这样的一般性质与结论呢？

师：非常好，大家掌声鼓励！(教室里一片热烈的掌声，学习氛围浓厚)

生3：我们小组看到例题以及生2的变式1中，给出两点的坐标都是椭圆长轴的两个端点，我们小组把它改为椭圆短轴的两个端点，但我们遵循特殊到一般的研究方法，先对椭圆方程进行特殊化验证，看是否也有变式1的一般规律.于是我们小组做出了变式2.

图1

生3：我们小组猜想椭圆上异于短轴端点的任意一点与短轴端点连线应该也具有同样的性质与结论.

此时生4迫不及待地站起来斩钉截铁地说：椭圆上异于短轴端点的任意一点与短轴端点连线应该也具有同样的性质与结论，我们小组在生3的基础上进行了一般化的变式3，并得到了一般规律.

师：在例题以及变式1～3中点A，B都为椭圆的顶点，都关于原点对称，那椭圆上任意关于原点对称的两点是否也有同样的性质呢？哪个小组有这方面的探究？

全班学生热情高涨地在教师引导下继续探究.不一会儿，生5站起来提出了变式4并展示其小组的解答.

师：非常棒！经历变式1～4的学习，我们得到怎样的性质与结论?谁来总结一下？

师：非常好！大家掌声鼓励！(教室里响起热烈的掌声)

片断3 教学过程注重对教材例题的类比探究，深度拓展

为了让课堂更加高效，教师在引导学生类比圆的性质后给出了变式5，并给学生足够的探索时间，为学生提供足够的展示和交流的机会.由点差法引领，学生对圆的垂径定理作类比，获得了一个探究成果.

师：谁来分享一下探究成果.

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0),即x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，

师：探究这个问题主要用到点差法，思路自然，过程简洁，非常棒！我们知道，圆的切线与过切点的半径垂直，现在将直线AB进一步平移与椭圆相切于点M，大家来探索一下kAB·kOM的值.

师：谁来分享一下探究成果?

师：这个问题相对复杂，解决它需要较强的运算求解能力和推论论证能力，但生8做得很好，过程简洁、思维缜密！如果将椭圆迁移到双曲线，又将会得到怎样的性质与结论呢？请在课后完成变式7～9，下一节课上邀请大家来展示.

片断4 教学过程注重学生的应用体验与方法迁移

学生的情绪此时处于异常亢奋的状态，教师抓住时机教导学生学习数学要勤于思考，善于观察、类比、归纳、发现问题、提出问题、动手探索，最后反思总结、积累经验；同时引导学生对本节课的知识与方法反思小结，然后给出3道题供学生应用体验以及在不同的问题情境中迁移思想方法，训练和提升其解决数学问题的能力.

(1)求C的方程.

(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.证明：△PQG是直角三角形.

3 案例分析

执教本节课的C老师基本功扎实，教学经验丰富，对课堂有良好的把控力，他将人教A版《数学(选修2-1)》第41页例3在课前布置给学生，让学生分小组变式探究，并在课堂上分享探究成果，在疑难处进行有效的点拨，整堂课以学生为主体，充分体现了新课标教学理念.示范课活动结束后，各位专家及名师对本节课给予了高度的评价.

(1)教材的恰当选择，让教学有“效度”

高三学生需要怎样的课堂呢？教材是课程标准与教学大纲的载体，例题是教材的重要内容.教材例题是教材专家精雕细磨的产物，凝聚了专家们的智慧结晶.教材例题背后蕴含着丰富的背景内容和强大的教学功能，是提高学生解题能力、培育学生数学思维品质的重要素材.仔细研究近年高考题发现，高考命题主要以教材为依据但又不拘泥于教材，教材是众多高考中低档试题的直接来源.因此，在高三数学复习教学中要“依纲靠本”，可以根据学生的认知特点以及心理规律和学生当前的数学基础与数学能力等实际情况，全面研究课标、研究考纲、研究考题、研究教材例题，有机整合教材例题.在尊重教材例题的基础上，对教材例题进行推广、变式、类比探究、改编，由此激活教材例题，编写复习材料.可将教材例题由原先主要用来巩固知识、深化概念理解的知识立意改编成突出能力立意，突出数学思想方法的学习；可将教材例题的单纯解答问题改编成突出回顾复习知识，巩固知识结构；也可将教材例题由“结构良好”的封闭题改编成“思维发散”的开放题，如探究型存在性问题、探索性问题、归纳猜想和演绎证明等，创造性地使用教材例题，让教材例题更好地发挥其教学作用.

(2)学生的创造性表现，让教学有“宽度”

本节课从例题到变式4的难度都不高，教学环节环环相扣，符合学生的认知规律.从解答例题开始，学生在教师的引导下分析数据，提出一般性质与结论的猜想，然后以变式为载体从特殊点、具体数值到关于原点对称的任意两点、一般值的探究，最后得出一般性质与结论.在此过程中，学生经历了分析、猜想、探究、验证，从特殊到一般的学习过程，体会了研究数学的一般方法.学生从最初的不屑到最后得到一般性质与结论的震撼，获得满满的成就感，增强了学习数学和探究数学问题的信心.同时在思考、动手探究、协作学习、分享成果等过程中，得到了充分思考、互相讨论、动手实践、表达想法和展示的机会，也训练了思维，其数学运算、逻辑推理等数学核心素养以及理性精神都得到了培养.类比是探究发现新问题的重要途径，通过类比和引导得到变式5和变式6，把课堂推向高潮，最后将探究拓展迁移到双曲线，让学生课后完成变式7～9.整个过程中学生的学习热情高涨，得到了充分的实践和探索机会，数学能力得到有效提升，收到了实实在在的教学效果，发展学生的数学素养得到真真切切的落实.

(3)教学知识的灵活运用，让教学有“深度”

为了帮助学生实现知识的迁移和对知识的灵活运用，本节课深挖教材例题，积累常见小结论的意义，课上及时给出3道高考真题，让学生深刻感悟高考真题源于教材并高于教材，从而重视对教材例题的挖掘和探究.第一题(2015全国卷2文理20)的解答思路和过程与本节课探究问题的解题思路和过程基本相同，通过解答本道高考题让学生体会高考题来自于教材但又高于教材，让学生回归基础、回归教材，树立夯实基础的意识.第二题(2019全国卷II理21)第(1)问与课本例题的求解完全一致，第(2)问的问题情境有些复杂且有新意，通过问题分析并结合探究得到的性质与结论来进行解答，让学生有很好的应用本节课探究得出的性质结论以及解题思想方法的体验.第三题(2018全国卷3理21)主要是迁移本节课探究问题的解题思路和思想方法，将本节课学到的思想方法迁移到不同的问题情境中，让学生体验思想方法的应用，提高解题能力.