基于“问题引导”下的初中数学“锐角三角函数”教学探讨

应茜

【摘要】正所谓“学贵有疑，大疑则大进，小疑则小进”，由此可见问题的发现和解决对于个人能力提升来说，是有着非常重要的意义的.苏科版九年级数学教学中，有一个极为重要的知识点，那就是“锐角三角函数”知识.教师合理设计课堂问题，引导学生进行师生、生生对话，结合问题进行客观、全面的交流，则可以掀起思维的风暴，在培养初中生数学思维能力的同时，更让学生懂得如何应用数学知识去处理和解决生活中的实际问题，使其达到学以致用的目的和效果.本文就笔者理解下的初中数学“锐角三角函数”问题引导式教学方法来谈一谈，希望可以抛砖引玉.

【关键词】初中数学;问题引导;锐角三角函数;兴趣培养

兴趣的激发和维护，是保证课堂教学质量的关键因素之一.爱因斯坦曾说过，“兴趣，是最好的老师”，教育家孔子先生也认为，“知之者不如好之者，好之者不如乐知者”.作为初中数学教师，我们希望可以看到每位学生将数学学习作为一种乐趣，体验到成功和愉悦，而不是将数学学习当成负担和包袱，那样便失去了数学学习的意义.

一、初中数学课堂上设计教学问题的重要性

首先，从数学学科的性质来看，数学本身就是思维的体操，它非常重视思维的训练和开发，培养的是人的实事求是、客观分析、冷静判断的理性思维.但这种思维方式的开启需要有领导人，这一角色就是初中数学教师.教师只有扮演好该角色，为学生在学习前分析教材，设计科学而合理的问题，用以启发和思考，学生才会配合教师，在思维的锻炼中形成各种数学思维方法和求知精神.其次，问题的设计和提出是检验学生课堂注意力是否集中的有效依据.比如，同样是听课，对于同一问题，注意力集中的学生，就可以回答出教师的提问，注意力不集中的学生，则可能会模棱两可或者是答非所问.

二、合理设计问题，启发学生思考

1.结合学生已学知识，设计浅层问题

古语有云：“骐骥一跃，不能十步;驽马十驾，功在不舍.”问题的引导应该遵循循序渐进的规律和道理，只要学生每天都能前进一点点，那么即使是再小的进步，最终他们也可以凭借自己的努力，在数学学习中获得应有的收获.所以，初中数学教师在教学“锐角三角函数”的知识时，可以尝试从三个阶段对学生实施教学启发，其一是理论知识掌握阶段;其二是习题解答和生活场景应用阶段;其三是变式训练，让学生可以达到举一反三，触类旁通的综合性学习效果阶段.比如，针对“锐角三角函数”知识，教师首先需要让学生掌握一些基本的理论知识，如正切、正弦、余弦的概念，以及三角函数的概念等，其次，在此基础上引申出“特殊角的三角函数”和“解直角三角形”等问题和内容.学生如果前期的基础奠定不好，后期的学习效果自然也会越来越差.

比如，在前期的课堂教学中，教师如何给学生解释“正切”“余弦”和“正弦”的定义呢？对此，教材中已经给出了一个切实可行的方法，那就是结合学生上学期学过的“勾股定理”知识.数学教师可以先绘制一个直角三角形，然后启发学生回忆关于“勾股定理”的知识，如“谁来说一说，在一个直角三角形中，三条边有怎样的关系？大家可以先想一想上个学期我们学过的知识，再回答这个问题！”对此，学生可以轻松地回答：“斜边的平方等于两条直角边的平方和：a2+b2=c2，更可以写成c=a2+b2.”随后，教师就可以根据教材，启发学生思考，“那么，对于这个三角形中的一个锐角A，它的对边和邻边的比值如何书写呢？又可以表示为什么样的特殊数学语言呢？”到此，学生就可以根据教材的解释和教师的问题引导，而得到tan∠A=ab，从而领会到正切的含义.同理，正弦、余弦的概念，教师也可以结合“勾股定理”的知识而引申出，为实施接下来的“锐角三角函数”教学奠定基础.

2.结合多媒体投影技术，引导学生深度探究

在学生掌握了“正弦”“余弦”“正切”这些知识后，教师就可以尝试接下来的教学内容“特殊角的三角函数”，这里所讲的特殊角，主要集中在“30°、45°和60°”这三个角度方面，这是因为这些角度在计算和生活中最为常见、广泛.比如，众所周知，30°角的正弦函数值为12，那么，在确定一个角确实是30度的情况下，构建一个平面直角三角形，我们就可以通过对边与斜边的比值，求解出任何一个未知量，从而快速解决实际问题，这就是学习数学知识的意义和价值.苏科版初中九年级教材已经为我们准备得非常充分了，因为教材中已经将“30°、45°和60°”的正弦、余弦和正切的对应值都以表格的方式汇总出来了，这其实就已经省去了很多学生自己探索和发现的时间.但学习知识不能只停留在表面，而是要“知其然，更知其所以然”，因此，我们不仅要让学生记住每个特殊角的三角函数值，更要让他们知晓这些对应值是怎样来的.

为了激发学生的课堂学习兴趣，也为了能够让学生看得更加直观一些，教师可以将需要探究的锐角三角函数情境展示在多媒体的幕布上，并配合以问题作为启发，引导学生逐步思考和层层深入，最终寻找到特殊角的三角函数值究竟是如何得到的这一答案.下图就是笔者在教学中展示的多媒体教学情境.

笔者结合本图抛出问题：“从这幅图中，我们可以得到哪些已知量？”有的学生回答：“首先可以确定这是一个直角三角形，因为它有两个角都是45°，而根据三角形的内角和为180°的规则，我们就可以直接得出它是等腰直角三角形的结论.如果确定了它是直角三角形，那么，‘勾股定理也就可以使用了，我们也可以知晓它的两条直角边AB和BC是相等的.”于是，我又继续追问，“那么，我们如果假设其中的一条直角边为1，三条边的长度是不是也就可以知道了呢？我们以∠A为对象，谁来说一说它的tan 、cos和sin的值是多少？”这个问题可以有效地激发学生的思考兴趣.学生在一阵喧闹和嘈杂的探究中，就会根据“勾股定理”的三边关系，而得到∠A的正弦值为22，余弦值为22，以及正切为1.在探究结束之后，我们再来展示这张图片，如图.

之后，数学教师可以将“30°角和60°角”的三角函数值探究問题留给学生，让学生在课下成立学习小组，自行通过绘图和依靠三角形定理和角平分线的规则等进行合作探究.这样做不但可以让学生将课下的时间充分利用起来，更可以有效地培养学生的团队合作意识和自学能力，拓展和延伸数学教学的深度和宽度，让新时代的素质教育主张落到工作的实处.

3.结合生活实际问题，启发学生展开思考

学习数学知识并不是全部为了考试，因为从知识的来源来说，知识是来源于对生活的总结的，那么，最终也应该还原到生活当中去，让学生学会利用学到的“三角函数”知识，去解决生活中的一些现实问题，这样不仅可以使得学生体验到解决实际问题的乐趣和成就感，更可以让学生带着更加坚定的信念在数学的探索之路上一直走下去，从而引发新一轮的头脑风暴，也让教育家陶行知先生提出的“生活即教育”观念得到很好的印证.

比如，在教学指导完“特殊角的三角函数”知识后，我们就可以择取生活中的一个例子，利用太阳光投影让学生学会利用三角函数去解析某个物体的实际高度，以此验证学习数学知识的妙处和优势.具体来说，如：白天某一时刻太阳光线斜着照在了旗杆上，此时测得地面的旗杆影长为6米，测得阳光和地面此时的夹角为60°，那么请问学校旗杆的高度大约为多少米？（如有小数，保留到小数点后一位）.通过读题和分析题目中的已知量我们可以知道，在某一时刻，太阳光斜射照耀在旗杆上，其阳光和地面形成的夹角就可以看成直角三角形中的一个锐角，那么，此时我们就可以通过构建平面直角三角形的方式，求解出旗杆的高度.此时旗杆的高度就相当于三角形中一条直角边的长度，通过利用tan 60°=3=旗杆高/影长的知识，最终我们就可以计算得到旗杆的高度约为10.39米，而保留一位小数后就是10.4米.当然，应用三角函数知识可以解决的实际问题远远不止于此.在实际生活中，我们也可以通过测量某物的三条边、两个夹角等判断一个物体的角是不是直角，或者是根据三条边的对应值和已知的直角条件，求解出某个角的度数.所以在初中数学教学中，教师一定要善于设计问题，从学生的思维特点和兴趣激发点入手，引导学生从众多的条件中抽丝剥茧，进而高效学习并学以致用.

综上所述，当前初中数学教学中，我们应该重视“锐角三角函数”知识的教学，因为它在九年级阶段占据了十分重要的地位，更是学生学习中的一个难点.基于此，我们积极响应新课程改革和素质教育的号召，以问题的设计为支点，探究了如何调动学生思考問题的兴趣，提高课堂教学效率和质量的方法，如结合生活设计问题、展示多媒体教学情境以及从学生已知领域出发等，希望可以给优化初中数学教学工作者提供一些参考价值.

【参考文献】

[1]罗蓉，张昆.启发式数学教学的探索与实践——以“弧度制”概念教学设计为例[J].中学数学月刊，2020（06）：23-25，54.

[2]陈静.数学探究式教学案例探析——以任意角的三角函数为例[J].当代教育理论与实践，2020（03）：28-31.